15导数的应用专项训练（附答案）—2024届艺术班高考数学一轮复习

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1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B． (0, 3)
C．(1，4)D． (2，＋∞)
解析：选D 因为f(x)＝(x－3)ex，则f′(x)＝ex(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2，所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．
2．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A．(0，1)B．(－∞，1)
C．(0，＋∞)D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
解析：选D f′(x)＝3x2－6b，当f′(x)＝0时，x＝±eq \r(2b)，∴0＜eq \r(2b)＜1，解得0＜b＜eq \f(1,2)．
3．(2023·商洛三模)若函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x无极值，则a的取值范围为( )
A．[－3，6]
B．(－3，6)
C．(－∞，－3]∪[6，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
解析：选A 因为f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)无极值，所以(2a)2－4×3×(a＋6)≤0，解得－3≤a≤6，所以a的取值范围为[－3，6]．故选：A．
4．函数f(x)＝2x3－6x＋m有三个零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－4，4)
B．[－4，4]
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
解析：选A 由题意，函数f(x)＝2x3－6x＋m，
可得f′(x)＝6x2－6＝6(x－1)(x＋1)，
当x＜－1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
所以函数f(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值，
要使得函数f(x)有三个零点，
则满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（－1）＝－2＋6＋m＞0，,f（1）＝2－6＋m＜0，))
解得－4＜m＜4，
即实数m的取值范围是(－4，4)．故选A．
5．(2023·甘肃永昌第一高级中学期中)若函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2ax－ln x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3))上不单调，则实数a的取值范围为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，6))
B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，2))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，＋∞))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(1,2)))
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,6)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析：选C 由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2ax－ln x，
得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2a－eq \f(1,x)＝eq \f(2ax－1,x)．
因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3))上不单调，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3))上有极值点．
当a＝0时，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝－eq \f(1,x)