18两角和与差的正弦、余弦、正切公式专项训练（附答案）——2024届艺术班高考数学一轮复习

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A．eq \f(1,5) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(13,18)D．eq \f(13,22)
答案：B
2．(2023·大连适应性测试)设a＝eq \f(1,\r(2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin 56°－cs 56°))，b＝cs 40°cs 128°＋cs 40°cs 38°，c＝2cs240°－1，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
解析：选B 因为a＝eq \f(1,\r(2))(sin 56°－cs 56°)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(56°－45°))＝sin 11°，
b＝cs 50°cs 128°＋cs 40°cs 38°＝－sin 40°sin 38°＋cs 40°cs 38°＝cs(40°＋38°)＝cs 78°＝sin 12°，
c＝2cs240°－1＝cs 80°＝sin 10°，
又因为sin 12°>sin 11°>sin 10°，
所以b>a>c．故选：B．
3．(2022·内蒙古赤峰月考)－sin 133°cs 197°－cs 47°cs 73°＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),2)
解析：选A －sin 133°cs 197°－cs 47°cs 73°＝－sin 47°(－cs 17°)－cs 47°sin 17°＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)．
4．(2023·江苏联考)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且3cs 2α－8sin α＝5，则cs α的值为( )
A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(\r(2),3)D．eq \f(2\r(2),3)
解析：选D 由题意可知，3cs 2α－8sin α＝5，可化为3(1－2sin2α)－8sin α＝5，即3sin2α＋4sin α＋1＝0，解得sin α＝－eq \f(1,3)或sin α＝－1，因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以sin α＝－eq \f(1,3)，则cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(2\r(2),3)，故选D．
5．(2023·南宁模拟)已知θ为钝角，cs 2θ－sin 2θ＝cs2θ，则tan 2θ的值为( )
A．－eq \f(4,3) B．eq \f(4,3)
C．－eq \f(8,3) D．－eq \f(2,11)
解析：选B 由cs 2θ－sin 2θ＝cs2θ，
得cs2θ－sin2θ－2sin θcs θ＝cs2θ，
即sin2θ＋2sin θcs θ＝0，
所以eq \f(sin2 θ＋2sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝0，
得eq \f(tan2 θ＋2tan θ,tan2θ＋1)＝0，解得tan θ＝－2或tan θ＝0，
又因为θ为钝角，所以tan θ<0，
所以tan θ＝－2，
则tan2θ＝eq \f(2tanθ,1－tan2θ)＝eq \f(－4,1－4)＝eq \f(4,3)．故选：B．
6．(2023·江苏通州高级中学月考)若sin α＋2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝0，则sin2α－cs 2α＝( )
A．eq \f(2,7)B．2
C．1D．eq \f(5,7)
解析：选A 因为sin α＋2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝0，即sin α＋2cs αcseq \f(π,6)＋2sin αsineq \f(π,6)＝0，
即2sin α＋eq \r(3)cs α＝0，解得tan α＝－eq \f(\r(3),2)，
所以sin2 α－cs 2α＝eq \f(sin2α－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2α－sin2α)),sin2α＋cs2α)
＝eq \f(2tan2 α－1,tan2α＋1)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))\s\up12(2)－1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋1)＝eq \f(2,7)．
7．(多选)下列各式中，值为eq \f(1,2)的是( )
A．cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12) B．eq \f(tan 22.5°,1－tan222.5°)
C．2sin 195°cs 195°D． eq \r(\f(1＋cs\f(π,6),2))
解析：选BC 选项A，cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)))＝cseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，错误；
选项B，eq \f(tan 22.5°,1－tan222.5°)＝eq \f(1,2)·eq \f(2tan 22.5°,1－tan222.5°)＝eq \f(1,2)tan 45°＝eq \f(1,2)，正确；
选项C，2sin 195°cs 195°＝2sin(180°＋15°)cs(180°＋15°)＝2sin 15°cs 15°＝sin 30°＝eq \f(1,2)，正确；
选项D，eq \r(\f(1＋cs\f(π,6),2))＝eq \r(\f(1＋\f(\r(3),2),2))＝eq \f(\r(2＋\r(3)),2)，错误．故选B、C．
8．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，且3cs 2α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))，则sin 2α可以为( )
A．－eq \f(\r(35),6) B．eq \f(8,9)
C．－eq \f(\r(35),18) D．－eq \f(17,18)
解析：选D 因为3cs 2α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))，
所以3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2α－sin2α))＝cs αcseq \f(π,4)－sin αcseq \f(π,4)，
所以3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2α－sin2α))＝eq \f(\r(2),2)(cs α－sin α)，
即3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α－sin α))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α＋sin α))＝eq \f(\r(2),2)(cs α－sin α)，
解得cs α＋sin α＝eq \f(\r(2),6)或cs α－sin α＝0，
当cs α＋sin α＝eq \f(\r(2),6)时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α＋sin α))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,18)，cs2α＋2cs αsin α＋sin2α＝eq \f(1,18)，
即1＋sin 2α＝eq \f(1,18)，解得sin 2α＝－eq \f(17,18)；
当cs α－sin α＝0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α－sin α))eq \s\up12(2)＝0，cs2α－2cs αsin α＋sin2 α＝0，
即1－sin 2α＝0，解得sin 2α＝1．故选：D．
9．已知函数f(x)＝sin xcs x－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))cs x＋eq \f(1,2)，则f(x)的最小值为________．
解析：因为f(x)＝sin xcs x－cs2x＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(1＋cs 2x,2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，所以当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＝－1时，函数f(x)有最小值，最小值为－eq \f(\r(2),2)．
答案：－eq \f(\r(2),2)
10．(2023·苏州期中)已知a>0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－asin x的最大值为eq \r(3)，则a＝__________．
解析：a>0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－asin x＝(eq \f(1,2)－a)sin x－eq \f(\r(3),2)cs x，
由于feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))最大值为eq \r(3)，故
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－a))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＝3，
解得a＝2，或a＝－1(负值舍去)．
答案：2
11．(2023·广东六校联考)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))，x∈R．
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))的值；
(2)若cs θ ＝eq \f(4,5)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ －\f(π,3)))的值．
解：(1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋\f(π,12)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)．
(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ －\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ －\f(π,3)＋\f(π,12)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ －\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)(sin 2θ－cs 2θ)．
因为cs θ＝eq \f(4,5)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以sin θ＝eq \f(3,5)，所以sin 2θ＝2sin θ cs θ
＝eq \f(24,25)，cs 2θ＝cs2θ－sin2θ＝eq \f(7,25)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ －\f(π,3)))＝eq \f(\r(2),2)(sin 2θ－cs 2θ)
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(24,25)－\f(7,25)))＝eq \f(17\r(2),50)．
12．已知函数f(x)＝eq \r(3)sin xcs x－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋eq \f(1,2)，x∈R．
(1)若α、β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,12)))＝eq \f(\r(5),5)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(β,2)－\f(π,6)))＝－eq \f(3\r(10),10)，求sin(α＋β)的值；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c＝eq \r(3)，f(C)＝1，求a＋b的取值范围．
解：(1)f(x)＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1－cs（2x＋π）,2)＋eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1＋cs 2x,2)＋eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))．
∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,12)))＝eq \f(\r(5),5)，∴sin α＝eq \f(\r(5),5)．
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs α＝eq \f(2\r(5),5)．
∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(β,2)－\f(π,6)))＝－eq \f(3\r(10),10)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,2)))＝－eq \f(3\r(10),10)．∴cs β＝eq \f(3\r(10),10)．
∵β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sin β＝eq \f(\r(10),10)．
∴sin(α＋β)＝sin α cs β＋cs αsin β＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)．
(2)∵f(C)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C－\f(π,6)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C－\f(π,6)))＝1．
∵C∈(0，π)，∴2C－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(11π,6)))，
∴2C－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即C＝eq \f(π,3)．
∵c2＝a2＋b2－2ab cs C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
∴3＝(a＋b)2＝3ab
∵ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)．当且仅当a＝b时取“＝”．
∴3＝(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－eq \f(3,4)(a＋b)2＝eq \f(1,4)(a＋b)2
∴12≥(a＋b)2．即a＋b≤2eq \r(3)，当且仅当a＝b时取“＝”．
又∵a＋b>c＝eq \r(3)，
∴a＋b的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(3)，2\r(3)))．