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苏科版七年级上册第6章 平面图形的认识（一）6.4 平行同步达标检测题
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这是一份苏科版七年级上册第6章 平面图形的认识（一）6.4 平行同步达标检测题，共28页。试卷主要包含了3 相交线与平行线，57，5°C．25°D．67，8 °．等内容，欢迎下载使用。
考试时间：90分钟 试卷满分：100分 难度：0.57
姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•亭湖区期末）如图，把一个圆剪去一部分，所得涂色部分的图形周长比原来圆的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短D．经过一点有无数条直线
2．（2分）（2019秋•宿城区校级期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1的度数是∠2的3倍，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．67.5°
3．（2分）（2016秋•太仓市校级期末）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．（2分）（2022秋•泗阳县期末）已知∠α＝52°，则∠α的余角的度数为（ ）
A．38°B．48°C．52°D．128°
5．（2分）（2018秋•沭阳县期末）下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．两点确定一条直线
D．两点间的距离是指连接两点间的线段
6．（2分）（2016秋•锡山区期末）下列叙述，其中不正确的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同角（或等角）的余角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．两点之间的所有连线中，线段最短
7．（2分）（2022秋•玄武区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，OF平分∠BOD，若∠AOC+∠DOF＝39°，则∠EOF的度数为（ ）
A．77°B．74°C．67°D．64°
8．（2分）（2018秋•江宁区校级期末）如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2分）（2021秋•仪征市期末）如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，若∠2＝25°，∠3＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
10．（2分）（2019秋•扬州期末）下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（ ）
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021秋•泗阳县期末）如图，OE⊥AB于点O，OC为∠AOE内的一条射线，点D在CO的延长线上，OF平分∠AOD，在图中的所有角中，当与∠COE互补的角有且只有两个时，则∠COF的度数为 ．
12．（2分）（2022秋•建邺区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．若∠AOC的度数为2α．则∠EOF＝ ．（用含α的代数式表示）
13．（2分）（2022秋•镇江期末）如图，将一副三角板（三角板AMB和三角板CND）叠在一起，使两个直角顶点M、N重合，若∠AMD＝120°，则∠BMC＝ ．
14．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，已知点A是射线BE上一点，过A作AC⊥BF，垂足为C，CD⊥BE，垂足为D．给出下列结论：
①∠1是∠ACD的余角；
②图中互余的角共有3对；
③∠1的补角只有∠DCF；
④与∠ADC互补的角共有3个．
其中正确结论有 ．
15．（2分）（2022秋•仪征市期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠COB＝60°，则∠AOD的大小为 °．
16．（2分）（2022秋•溧水区期末）如图，OA⊥OB，垂足为O，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＜30°，若∠BOD＝∠AOC，OE平分∠AOD，设∠EOD＝m°，则∠COB＝ °（用含m的代数式表示）．
17．（2分）（2020秋•苏州期末）已知直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠AOC＝25°12′，则∠BOE的度数为 °．（单位用度表示）
18．（2分）（2022秋•海门市期末）一个角的余角比它的补角的大15°，则这个角的度数是 °．
19．（2分）（2016秋•建湖县期末）下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是 （填序号）．
20．（2分）（2021秋•新吴区期末）如图，将一副三角板的直角顶点O叠放在一起，∠BOC＝∠AOD，则∠BOD＝ °．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•南通期末）如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余角，且∠BOC＝4∠BOD．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若OE平分∠AOC，求∠BOE的度数．
22．（6分）（2023春•临清市期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，FO⊥OE，已知∠AOD＝70°．
（1）求∠BOE的度数；
（2）OF平分∠AOC吗？为什么？
23．（8分）（2020秋•淮阴区期末）如图，O为直线AB上一点，DO⊥OE，OC平分∠AOD，∠AOC＝24°，求∠BOE的度数．
24．（8分）（2022秋•建邺区校级期末）如图．
（1）∠AOB的余角为∠AOC，射线OM平分∠AOB，当∠AOB＝40°，求∠MOC的度数；
（2）若∠AOB的补角为∠BOD，射线ON平分∠BOD，试用含α的代数式表示∠AON的度数．（画出图形，并直接写出结果）
25．（8分）（2022秋•高邮市期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD于点O、OD是∠BOF的平分线．
（1）若∠BOE＝112°，求∠EOF的度数；
（2）∠AOC的补角是 ，∠AOC的余角是 ．
26．（8分）（2016秋•江阴市期末）如图，直线AB、CD相交于O，∠2﹣∠1＝15°，∠3＝130°．
（1）求∠2的度数；
（2）试说明OE平分∠COB．
27．（8分）（2022秋•海门市期末）已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部，∠COD＝60°．
（1）如图1，若∠BOD＝30°，求∠AOC的度数；
（2）如图2，若OE平分∠BOC，请说明：∠AOC＝2∠DOE；
（3）如图3，若在∠AOB的外部分别作∠AOC，∠BOD的余角∠AOP，∠BOQ，试探究∠AOP，∠BOQ，∠COD三者之间的数量关系，并说明理由．
28．（8分）（2021秋•苏州期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为 ；
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；
②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．
2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习
专题6.3 相交线与平行线（专项拔高卷）
考试时间：90分钟 试卷满分：100分 难度：0.57
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•亭湖区期末）如图，把一个圆剪去一部分，所得涂色部分的图形周长比原来圆的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短D．经过一点有无数条直线
解：由于两点之间线段最短，
∴把一个圆剪去一部分，所得涂色部分的图形周长比原来圆的周长小，
故选：C．
2．（2分）（2019秋•宿城区校级期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1的度数是∠2的3倍，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．67.5°
解：根据图形得出：∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
∵∠1的度数是∠2的3倍，
∴4∠2＝90°，
∴∠2＝22.5°，
故选：B．
3．（2分）（2016秋•太仓市校级期末）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
解：∵∠α和∠β互补，
∴∠α+∠β＝180°．因为90°﹣∠β+∠β＝90°，所以①正确；
又∠α﹣90°+∠β＝∠α+∠β﹣90°＝180°﹣90°＝90°，②也正确；
（∠α+∠β）+∠β＝×180°+∠β＝90°+∠β≠90°，所以③错误；
（∠α﹣∠β）+∠β＝（∠α+∠β）＝×180°＝90°，所以④正确．
综上可知，①②④均正确．
故选：B．
4．（2分）（2022秋•泗阳县期末）已知∠α＝52°，则∠α的余角的度数为（ ）
A．38°B．48°C．52°D．128°
解：∵∠α＝52°，
∴∠α的余角＝90°﹣52°＝38°，
故选：A．
5．（2分）（2018秋•沭阳县期末）下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．两点确定一条直线
D．两点间的距离是指连接两点间的线段
解：A、应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
B、应为同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误；
C、直线公理：经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线，故本选项正确；
D、应为两点的距离是指连接两点间线段的长度，故本选项错误；
故选：C．
6．（2分）（2016秋•锡山区期末）下列叙述，其中不正确的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同角（或等角）的余角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．两点之间的所有连线中，线段最短
解：A、两点确定一条直线，故A正确；
B、同角（或等角）的余角相等，故B正确；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C错误；
D、两点之间的所有连线中，线段最短，故D正确；
故选：C．
7．（2分）（2022秋•玄武区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，OF平分∠BOD，若∠AOC+∠DOF＝39°，则∠EOF的度数为（ ）
A．77°B．74°C．67°D．64°
解：∵EO⊥AB，
∴∠EOB＝90°．
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠BOF＝2∠DOF，
∴∠AOC＝∠BOD＝2∠BOF，
∵∠AOC+∠DOF＝39°，
∴3∠BOF＝39°．
∵∠BOF＝13°，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝90°﹣13°＝77°．
故选：A．
8．（2分）（2018秋•江宁区校级期末）如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ）
A．B．
C．D．
解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：B．
9．（2分）（2021秋•仪征市期末）如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，若∠2＝25°，∠3＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
解：
∵∠AOB＝∠COD＝90°
∴∠4＝∠AOC＝25°，
∴∠1＝∠EOF﹣∠2﹣∠DOF＝90°﹣25°﹣35°＝30°，
故选：B．
10．（2分）（2019秋•扬州期末）下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（ ）
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；
B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；
C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；
D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021秋•泗阳县期末）如图，OE⊥AB于点O，OC为∠AOE内的一条射线，点D在CO的延长线上，OF平分∠AOD，在图中的所有角中，当与∠COE互补的角有且只有两个时，则∠COF的度数为 120° ．
解：∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝∠BOE＝90°，
∴∠EOC+∠DOE＝180°，
∵与∠COE互补的角有且只有两个，
∴∠DOE＝∠AOE+∠AOF＝∠BOE+∠BOD＝180°﹣∠EOC，
即要求∠BOD＝∠AOF＝∠DOF＝60°．
此时∠COF＝∠AOC+∠AOF＝120°．
故答案为：120°．
12．（2分）（2022秋•建邺区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．若∠AOC的度数为2α．则∠EOF＝ 90°﹣ ．（用含α的代数式表示）
解：∵∠AOC＝2α，
∴∠BOD＝∠AOC＝2α，
∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∴∠BOE＝∠DOE＝α，∠COF＝∠EOF＝∠COE，
∴∠EOC＝180°﹣α，
∴∠EOF＝90°﹣，
故答案为：90°﹣．
13．（2分）（2022秋•镇江期末）如图，将一副三角板（三角板AMB和三角板CND）叠在一起，使两个直角顶点M、N重合，若∠AMD＝120°，则∠BMC＝ 60° ．
解：∵∠AMD＝120°，∠AMB＝90°，
∴∠BMD＝∠AMD﹣∠AMB＝30°，
∵∠CMD＝90°，
∴∠BMC＝∠CMD﹣∠BMD＝90°﹣30°＝60°，．
故答案为：60°．
14．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，已知点A是射线BE上一点，过A作AC⊥BF，垂足为C，CD⊥BE，垂足为D．给出下列结论：
①∠1是∠ACD的余角；
②图中互余的角共有3对；
③∠1的补角只有∠DCF；
④与∠ADC互补的角共有3个．
其中正确结论有 ①④ ．
解：∵AC⊥BF，
∴∠BCA＝90°，
∴∠ACD+∠1＝90°，
∴∠1是∠ACD的余角，故①正确；
∵CD⊥BE，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，∠1+∠ACD＝90°，
∴图中互余的角共有4对，故②错误；
∵∠1+∠DCF＝180°，
∴∠1的补角是∠DCF，
∵∠1+∠DCA＝90°，∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠1＝∠DAC，
∵∠DAC+∠CAE＝180°，
∴∠1+∠CAE＝180°，
∴∠1的补角有∠CAE，故③说法错误；
∵∠ACB＝90°，∠ACF＝90°，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠BDC，∠ACB，∠ACF和∠ADC互补，故④说法正确．
正确的是①④；
故答案为：①④．
15．（2分）（2022秋•仪征市期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠COB＝60°，则∠AOD的大小为 150 °．
解：∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∵∠COB＝60°，
∴∠DOB＝∠DOC﹣∠COB＝30°，
∴∠AOD＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：150．
16．（2分）（2022秋•溧水区期末）如图，OA⊥OB，垂足为O，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＜30°，若∠BOD＝∠AOC，OE平分∠AOD，设∠EOD＝m°，则∠COB＝ 2m或（180﹣2m） °（用含m的代数式表示）．
解：当OD在∠AOB内时，如图（1），
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD＝∠AOE＝m°，
∴∠BOD＝∠AOC＝90°﹣2m°，
∴∠COB＝90°﹣∠AOC＝90°﹣（90°﹣2m°）＝2m°；
当OD在∠AOB外时，如图（2），
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD＝∠AOE＝m°，
∴∠AOD＝2m°，
∴∠AOC＝∠BOD＝2m°﹣90°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣（2m°﹣90°）＝180°﹣2m°，
∴∠COB＝2m°或180°﹣2m°．
故答案为：2m或（180﹣2m）．
17．（2分）（2020秋•苏州期末）已知直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠AOC＝25°12′，则∠BOE的度数为 64.8 °．（单位用度表示）
解：∵EO⊥CD，
∴∠EOD＝90°．
∵∠BOD＝∠AOC，∠AOC＝25°12′，
∴∠BOD＝25°12′．
∴∠BOE＝∠EOD﹣∠BOD＝90°﹣25°12′＝64°48′＝64.8°．
故答案为64.8．
18．（2分）（2022秋•海门市期末）一个角的余角比它的补角的大15°，则这个角的度数是 40 °．
解：设这个角的度数为x，
根据题意得：90°﹣x＝（180°﹣x）+15°，
解得：x＝40°．
所以这个角的度数为40°．
故答案为：40．
19．（2分）（2016秋•建湖县期末）下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是 ①②③ （填序号）．
解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误；
∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误；
∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误；
∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确；
故答案为：①②③．
20．（2分）（2021秋•新吴区期末）如图，将一副三角板的直角顶点O叠放在一起，∠BOC＝∠AOD，则∠BOD＝ 70 °．
解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠COD
＝∠AOB+∠DOB+∠BOC
＝∠AOB+∠COD
＝90°+90°
＝180°，
∵∠BOC＝∠AOD，
∴∠AOD+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝160°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝160°﹣90°＝70°，
故答案为：70．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•南通期末）如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余角，且∠BOC＝4∠BOD．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若OE平分∠AOC，求∠BOE的度数．
解：（1）∵∠BOC与∠BOD互为余角，
∴∠BOC+∠BOD＝90°．
∵∠BOC＝4∠BOD，
∴∠BOC＝×90°＝72°．
（2）∵∠AOC与∠BOC互为补角，
∴∠AOC+∠BOC＝180°．
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣72°＝108°．
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝AOC＝108°＝54°，
∴∠BOE＝∠COE+∠BOC＝54°+72°＝126°．
22．（6分）（2023春•临清市期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，FO⊥OE，已知∠AOD＝70°．
（1）求∠BOE的度数；
（2）OF平分∠AOC吗？为什么？
解：（1）根据对顶角相等得，∠BOC＝∠AOD＝70°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠BOE＝∠BOC＝35°．
（2）∵∠AOD＝70°，∴∠AOC＝110°，
而∠FOC＝90°﹣∠COE＝90°﹣35°＝55°，所以OF平分∠AOC．
23．（8分）（2020秋•淮阴区期末）如图，O为直线AB上一点，DO⊥OE，OC平分∠AOD，∠AOC＝24°，求∠BOE的度数．
解：∵DO⊥OE，
∴∠DOE＝90°，
∵OC平分∠AOD，
∴∠AOC＝∠DOC＝24°，
∴∠BOE＝180°﹣90°﹣24°﹣24°＝42°．
24．（8分）（2022秋•建邺区校级期末）如图．
（1）∠AOB的余角为∠AOC，射线OM平分∠AOB，当∠AOB＝40°，求∠MOC的度数；
（2）若∠AOB的补角为∠BOD，射线ON平分∠BOD，试用含α的代数式表示∠AON的度数．（画出图形，并直接写出结果）
解：（1）∵∠AOB的余角为∠AOC，∠AOB＝40°，
∴∠AOC＝90°﹣∠AOB＝50°，
∵射线OM平分∠AOB，
∴∠MOA＝∠AOC＝20°，
∴∠MOC＝20°+50°＝70°．
（2）如图，∠AOB的补角为∠BOD，∠AOB＝α，
∴∠BOD＝180°﹣α．
∵射线ON平分∠BOD，
∴∠AON＝90°+．
25．（8分）（2022秋•高邮市期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD于点O、OD是∠BOF的平分线．
（1）若∠BOE＝112°，求∠EOF的度数；
（2）∠AOC的补角是 ∠AOD，∠COF，∠BOC ，∠AOC的余角是 ∠AOE，∠EOF ．
解：（1）∵∠BOE＝112°，OE⊥CD，
∴∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE＝112°﹣90°＝22°，
∵OD是∠BOF的平分线，
∴∠BOD＝∠DOF＝22°，
∴∠EOF＝90°﹣∠DOF＝68°；
（2）∵∠AOC＝∠BOD＝∠FOD，
且∠AOC+∠AOD＝∠FOD+∠COF＝180°，
∴∠AOC的补角是∠AOD和∠COF；
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC与∠BOC互补，
综上可知，∠AOC的补角是∠AOD，∠COF，∠BOC；
∵OE⊥CD，
∴∠AOC+∠AOE＝∠FOD+∠EOF＝90°，
∴∠AOC的余角是∠AOE和∠EOF；
故答案为∠AOD，∠COF，∠BOC；∠AOE，∠EOF．
26．（8分）（2016秋•江阴市期末）如图，直线AB、CD相交于O，∠2﹣∠1＝15°，∠3＝130°．
（1）求∠2的度数；
（2）试说明OE平分∠COB．
解：（1）∵∠3＝130°，∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠3＝50°，
∵∠2﹣∠1＝15°，
∴∠2＝15°+∠1＝65°；
（2）∵∠1＝50°，∠2＝65°，∠1+∠COE+∠2＝180°，
∴∠COE＝65°，
∴∠COE＝∠2
∴OE平分∠COB．
27．（8分）（2022秋•海门市期末）已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部，∠COD＝60°．
（1）如图1，若∠BOD＝30°，求∠AOC的度数；
（2）如图2，若OE平分∠BOC，请说明：∠AOC＝2∠DOE；
（3）如图3，若在∠AOB的外部分别作∠AOC，∠BOD的余角∠AOP，∠BOQ，试探究∠AOP，∠BOQ，∠COD三者之间的数量关系，并说明理由．
解（1）∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝120°﹣60°＝60°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠AOC＝60°﹣30°＝30°；
（2）∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC，
∵∠EOD＝∠COD﹣∠COE，∠COD＝60°，
∴∠EOD＝60°﹣∠BOC，
∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝120°﹣∠BOC，
∴∠AOC＝2∠EOD；
（3）∵∠AOP+∠AOC＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠AOC，
∵∠BOQ+∠BOD＝90°，
∴∠BOQ＝90°﹣∠BOD，
∴∠AOP+∠BOQ＝180°﹣（∠AOC+∠BOD）＝180°﹣（∠AOB﹣∠COD），
∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，
∴∠AOP+∠BOQ＝180°﹣（120°﹣60°）＝120°＝2×60°，
∴∠AOP+∠BOQ＝2∠COD．
28．（8分）（2021秋•苏州期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为 ∠BOC＝∠BOE． ；
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；
②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．
解：（1）∠BOC＝∠BOE．
理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOE，
故答案为：∠BOC＝∠BOE；
（2）①存在．
理由：∵∠COE＝130°，
∴∠COD＝180°﹣130°＝50°，
当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC＝∠COD，即10t＝25，解得t＝2.5；
当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t﹣50＝50，解得t＝10；
当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝50，解得：t＝31；
综上所述，t的值为2.5、10、31；
②∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝130°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE＝（130°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝40°，
∴∠AOC﹣∠BOE的值为40°
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
考试时间：90分钟 试卷满分：100分 难度：0.57
姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•亭湖区期末）如图，把一个圆剪去一部分，所得涂色部分的图形周长比原来圆的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短D．经过一点有无数条直线
2．（2分）（2019秋•宿城区校级期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1的度数是∠2的3倍，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．67.5°
3．（2分）（2016秋•太仓市校级期末）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．（2分）（2022秋•泗阳县期末）已知∠α＝52°，则∠α的余角的度数为（ ）
A．38°B．48°C．52°D．128°
5．（2分）（2018秋•沭阳县期末）下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．两点确定一条直线
D．两点间的距离是指连接两点间的线段
6．（2分）（2016秋•锡山区期末）下列叙述，其中不正确的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同角（或等角）的余角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．两点之间的所有连线中，线段最短
7．（2分）（2022秋•玄武区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，OF平分∠BOD，若∠AOC+∠DOF＝39°，则∠EOF的度数为（ ）
A．77°B．74°C．67°D．64°
8．（2分）（2018秋•江宁区校级期末）如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2分）（2021秋•仪征市期末）如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，若∠2＝25°，∠3＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
10．（2分）（2019秋•扬州期末）下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（ ）
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021秋•泗阳县期末）如图，OE⊥AB于点O，OC为∠AOE内的一条射线，点D在CO的延长线上，OF平分∠AOD，在图中的所有角中，当与∠COE互补的角有且只有两个时，则∠COF的度数为 ．
12．（2分）（2022秋•建邺区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．若∠AOC的度数为2α．则∠EOF＝ ．（用含α的代数式表示）
13．（2分）（2022秋•镇江期末）如图，将一副三角板（三角板AMB和三角板CND）叠在一起，使两个直角顶点M、N重合，若∠AMD＝120°，则∠BMC＝ ．
14．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，已知点A是射线BE上一点，过A作AC⊥BF，垂足为C，CD⊥BE，垂足为D．给出下列结论：
①∠1是∠ACD的余角；
②图中互余的角共有3对；
③∠1的补角只有∠DCF；
④与∠ADC互补的角共有3个．
其中正确结论有 ．
15．（2分）（2022秋•仪征市期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠COB＝60°，则∠AOD的大小为 °．
16．（2分）（2022秋•溧水区期末）如图，OA⊥OB，垂足为O，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＜30°，若∠BOD＝∠AOC，OE平分∠AOD，设∠EOD＝m°，则∠COB＝ °（用含m的代数式表示）．
17．（2分）（2020秋•苏州期末）已知直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠AOC＝25°12′，则∠BOE的度数为 °．（单位用度表示）
18．（2分）（2022秋•海门市期末）一个角的余角比它的补角的大15°，则这个角的度数是 °．
19．（2分）（2016秋•建湖县期末）下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是 （填序号）．
20．（2分）（2021秋•新吴区期末）如图，将一副三角板的直角顶点O叠放在一起，∠BOC＝∠AOD，则∠BOD＝ °．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•南通期末）如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余角，且∠BOC＝4∠BOD．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若OE平分∠AOC，求∠BOE的度数．
22．（6分）（2023春•临清市期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，FO⊥OE，已知∠AOD＝70°．
（1）求∠BOE的度数；
（2）OF平分∠AOC吗？为什么？
23．（8分）（2020秋•淮阴区期末）如图，O为直线AB上一点，DO⊥OE，OC平分∠AOD，∠AOC＝24°，求∠BOE的度数．
24．（8分）（2022秋•建邺区校级期末）如图．
（1）∠AOB的余角为∠AOC，射线OM平分∠AOB，当∠AOB＝40°，求∠MOC的度数；
（2）若∠AOB的补角为∠BOD，射线ON平分∠BOD，试用含α的代数式表示∠AON的度数．（画出图形，并直接写出结果）
25．（8分）（2022秋•高邮市期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD于点O、OD是∠BOF的平分线．
（1）若∠BOE＝112°，求∠EOF的度数；
（2）∠AOC的补角是 ，∠AOC的余角是 ．
26．（8分）（2016秋•江阴市期末）如图，直线AB、CD相交于O，∠2﹣∠1＝15°，∠3＝130°．
（1）求∠2的度数；
（2）试说明OE平分∠COB．
27．（8分）（2022秋•海门市期末）已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部，∠COD＝60°．
（1）如图1，若∠BOD＝30°，求∠AOC的度数；
（2）如图2，若OE平分∠BOC，请说明：∠AOC＝2∠DOE；
（3）如图3，若在∠AOB的外部分别作∠AOC，∠BOD的余角∠AOP，∠BOQ，试探究∠AOP，∠BOQ，∠COD三者之间的数量关系，并说明理由．
28．（8分）（2021秋•苏州期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为 ；
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；
②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．
2023-2024学年苏科版数学七年级上册同步专题热点难点专项练习
专题6.3 相交线与平行线（专项拔高卷）
考试时间：90分钟 试卷满分：100分 难度：0.57
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•亭湖区期末）如图，把一个圆剪去一部分，所得涂色部分的图形周长比原来圆的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短D．经过一点有无数条直线
解：由于两点之间线段最短，
∴把一个圆剪去一部分，所得涂色部分的图形周长比原来圆的周长小，
故选：C．
2．（2分）（2019秋•宿城区校级期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1的度数是∠2的3倍，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．22.5°C．25°D．67.5°
解：根据图形得出：∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
∵∠1的度数是∠2的3倍，
∴4∠2＝90°，
∴∠2＝22.5°，
故选：B．
3．（2分）（2016秋•太仓市校级期末）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
解：∵∠α和∠β互补，
∴∠α+∠β＝180°．因为90°﹣∠β+∠β＝90°，所以①正确；
又∠α﹣90°+∠β＝∠α+∠β﹣90°＝180°﹣90°＝90°，②也正确；
（∠α+∠β）+∠β＝×180°+∠β＝90°+∠β≠90°，所以③错误；
（∠α﹣∠β）+∠β＝（∠α+∠β）＝×180°＝90°，所以④正确．
综上可知，①②④均正确．
故选：B．
4．（2分）（2022秋•泗阳县期末）已知∠α＝52°，则∠α的余角的度数为（ ）
A．38°B．48°C．52°D．128°
解：∵∠α＝52°，
∴∠α的余角＝90°﹣52°＝38°，
故选：A．
5．（2分）（2018秋•沭阳县期末）下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．两点确定一条直线
D．两点间的距离是指连接两点间的线段
解：A、应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
B、应为同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误；
C、直线公理：经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线，故本选项正确；
D、应为两点的距离是指连接两点间线段的长度，故本选项错误；
故选：C．
6．（2分）（2016秋•锡山区期末）下列叙述，其中不正确的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同角（或等角）的余角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．两点之间的所有连线中，线段最短
解：A、两点确定一条直线，故A正确；
B、同角（或等角）的余角相等，故B正确；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C错误；
D、两点之间的所有连线中，线段最短，故D正确；
故选：C．
7．（2分）（2022秋•玄武区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，OF平分∠BOD，若∠AOC+∠DOF＝39°，则∠EOF的度数为（ ）
A．77°B．74°C．67°D．64°
解：∵EO⊥AB，
∴∠EOB＝90°．
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠BOF＝2∠DOF，
∴∠AOC＝∠BOD＝2∠BOF，
∵∠AOC+∠DOF＝39°，
∴3∠BOF＝39°．
∵∠BOF＝13°，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝90°﹣13°＝77°．
故选：A．
8．（2分）（2018秋•江宁区校级期末）如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ）
A．B．
C．D．
解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：B．
9．（2分）（2021秋•仪征市期末）如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，若∠2＝25°，∠3＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
解：
∵∠AOB＝∠COD＝90°
∴∠4＝∠AOC＝25°，
∴∠1＝∠EOF﹣∠2﹣∠DOF＝90°﹣25°﹣35°＝30°，
故选：B．
10．（2分）（2019秋•扬州期末）下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（ ）
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；
B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；
C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；
D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021秋•泗阳县期末）如图，OE⊥AB于点O，OC为∠AOE内的一条射线，点D在CO的延长线上，OF平分∠AOD，在图中的所有角中，当与∠COE互补的角有且只有两个时，则∠COF的度数为 120° ．
解：∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝∠BOE＝90°，
∴∠EOC+∠DOE＝180°，
∵与∠COE互补的角有且只有两个，
∴∠DOE＝∠AOE+∠AOF＝∠BOE+∠BOD＝180°﹣∠EOC，
即要求∠BOD＝∠AOF＝∠DOF＝60°．
此时∠COF＝∠AOC+∠AOF＝120°．
故答案为：120°．
12．（2分）（2022秋•建邺区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．若∠AOC的度数为2α．则∠EOF＝ 90°﹣ ．（用含α的代数式表示）
解：∵∠AOC＝2α，
∴∠BOD＝∠AOC＝2α，
∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∴∠BOE＝∠DOE＝α，∠COF＝∠EOF＝∠COE，
∴∠EOC＝180°﹣α，
∴∠EOF＝90°﹣，
故答案为：90°﹣．
13．（2分）（2022秋•镇江期末）如图，将一副三角板（三角板AMB和三角板CND）叠在一起，使两个直角顶点M、N重合，若∠AMD＝120°，则∠BMC＝ 60° ．
解：∵∠AMD＝120°，∠AMB＝90°，
∴∠BMD＝∠AMD﹣∠AMB＝30°，
∵∠CMD＝90°，
∴∠BMC＝∠CMD﹣∠BMD＝90°﹣30°＝60°，．
故答案为：60°．
14．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，已知点A是射线BE上一点，过A作AC⊥BF，垂足为C，CD⊥BE，垂足为D．给出下列结论：
①∠1是∠ACD的余角；
②图中互余的角共有3对；
③∠1的补角只有∠DCF；
④与∠ADC互补的角共有3个．
其中正确结论有 ①④ ．
解：∵AC⊥BF，
∴∠BCA＝90°，
∴∠ACD+∠1＝90°，
∴∠1是∠ACD的余角，故①正确；
∵CD⊥BE，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，∠1+∠ACD＝90°，
∴图中互余的角共有4对，故②错误；
∵∠1+∠DCF＝180°，
∴∠1的补角是∠DCF，
∵∠1+∠DCA＝90°，∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠1＝∠DAC，
∵∠DAC+∠CAE＝180°，
∴∠1+∠CAE＝180°，
∴∠1的补角有∠CAE，故③说法错误；
∵∠ACB＝90°，∠ACF＝90°，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠BDC，∠ACB，∠ACF和∠ADC互补，故④说法正确．
正确的是①④；
故答案为：①④．
15．（2分）（2022秋•仪征市期末）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠COB＝60°，则∠AOD的大小为 150 °．
解：∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∵∠COB＝60°，
∴∠DOB＝∠DOC﹣∠COB＝30°，
∴∠AOD＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：150．
16．（2分）（2022秋•溧水区期末）如图，OA⊥OB，垂足为O，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＜30°，若∠BOD＝∠AOC，OE平分∠AOD，设∠EOD＝m°，则∠COB＝ 2m或（180﹣2m） °（用含m的代数式表示）．
解：当OD在∠AOB内时，如图（1），
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD＝∠AOE＝m°，
∴∠BOD＝∠AOC＝90°﹣2m°，
∴∠COB＝90°﹣∠AOC＝90°﹣（90°﹣2m°）＝2m°；
当OD在∠AOB外时，如图（2），
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD＝∠AOE＝m°，
∴∠AOD＝2m°，
∴∠AOC＝∠BOD＝2m°﹣90°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣（2m°﹣90°）＝180°﹣2m°，
∴∠COB＝2m°或180°﹣2m°．
故答案为：2m或（180﹣2m）．
17．（2分）（2020秋•苏州期末）已知直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠AOC＝25°12′，则∠BOE的度数为 64.8 °．（单位用度表示）
解：∵EO⊥CD，
∴∠EOD＝90°．
∵∠BOD＝∠AOC，∠AOC＝25°12′，
∴∠BOD＝25°12′．
∴∠BOE＝∠EOD﹣∠BOD＝90°﹣25°12′＝64°48′＝64.8°．
故答案为64.8．
18．（2分）（2022秋•海门市期末）一个角的余角比它的补角的大15°，则这个角的度数是 40 °．
解：设这个角的度数为x，
根据题意得：90°﹣x＝（180°﹣x）+15°，
解得：x＝40°．
所以这个角的度数为40°．
故答案为：40．
19．（2分）（2016秋•建湖县期末）下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是 ①②③ （填序号）．
解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误；
∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误；
∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误；
∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确；
故答案为：①②③．
20．（2分）（2021秋•新吴区期末）如图，将一副三角板的直角顶点O叠放在一起，∠BOC＝∠AOD，则∠BOD＝ 70 °．
解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠COD
＝∠AOB+∠DOB+∠BOC
＝∠AOB+∠COD
＝90°+90°
＝180°，
∵∠BOC＝∠AOD，
∴∠AOD+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝160°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝160°﹣90°＝70°，
故答案为：70．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•南通期末）如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余角，且∠BOC＝4∠BOD．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若OE平分∠AOC，求∠BOE的度数．
解：（1）∵∠BOC与∠BOD互为余角，
∴∠BOC+∠BOD＝90°．
∵∠BOC＝4∠BOD，
∴∠BOC＝×90°＝72°．
（2）∵∠AOC与∠BOC互为补角，
∴∠AOC+∠BOC＝180°．
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣72°＝108°．
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝AOC＝108°＝54°，
∴∠BOE＝∠COE+∠BOC＝54°+72°＝126°．
22．（6分）（2023春•临清市期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，FO⊥OE，已知∠AOD＝70°．
（1）求∠BOE的度数；
（2）OF平分∠AOC吗？为什么？
解：（1）根据对顶角相等得，∠BOC＝∠AOD＝70°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠BOE＝∠BOC＝35°．
（2）∵∠AOD＝70°，∴∠AOC＝110°，
而∠FOC＝90°﹣∠COE＝90°﹣35°＝55°，所以OF平分∠AOC．
23．（8分）（2020秋•淮阴区期末）如图，O为直线AB上一点，DO⊥OE，OC平分∠AOD，∠AOC＝24°，求∠BOE的度数．
解：∵DO⊥OE，
∴∠DOE＝90°，
∵OC平分∠AOD，
∴∠AOC＝∠DOC＝24°，
∴∠BOE＝180°﹣90°﹣24°﹣24°＝42°．
24．（8分）（2022秋•建邺区校级期末）如图．
（1）∠AOB的余角为∠AOC，射线OM平分∠AOB，当∠AOB＝40°，求∠MOC的度数；
（2）若∠AOB的补角为∠BOD，射线ON平分∠BOD，试用含α的代数式表示∠AON的度数．（画出图形，并直接写出结果）
解：（1）∵∠AOB的余角为∠AOC，∠AOB＝40°，
∴∠AOC＝90°﹣∠AOB＝50°，
∵射线OM平分∠AOB，
∴∠MOA＝∠AOC＝20°，
∴∠MOC＝20°+50°＝70°．
（2）如图，∠AOB的补角为∠BOD，∠AOB＝α，
∴∠BOD＝180°﹣α．
∵射线ON平分∠BOD，
∴∠AON＝90°+．
25．（8分）（2022秋•高邮市期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD于点O、OD是∠BOF的平分线．
（1）若∠BOE＝112°，求∠EOF的度数；
（2）∠AOC的补角是 ∠AOD，∠COF，∠BOC ，∠AOC的余角是 ∠AOE，∠EOF ．
解：（1）∵∠BOE＝112°，OE⊥CD，
∴∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE＝112°﹣90°＝22°，
∵OD是∠BOF的平分线，
∴∠BOD＝∠DOF＝22°，
∴∠EOF＝90°﹣∠DOF＝68°；
（2）∵∠AOC＝∠BOD＝∠FOD，
且∠AOC+∠AOD＝∠FOD+∠COF＝180°，
∴∠AOC的补角是∠AOD和∠COF；
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC与∠BOC互补，
综上可知，∠AOC的补角是∠AOD，∠COF，∠BOC；
∵OE⊥CD，
∴∠AOC+∠AOE＝∠FOD+∠EOF＝90°，
∴∠AOC的余角是∠AOE和∠EOF；
故答案为∠AOD，∠COF，∠BOC；∠AOE，∠EOF．
26．（8分）（2016秋•江阴市期末）如图，直线AB、CD相交于O，∠2﹣∠1＝15°，∠3＝130°．
（1）求∠2的度数；
（2）试说明OE平分∠COB．
解：（1）∵∠3＝130°，∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠3＝50°，
∵∠2﹣∠1＝15°，
∴∠2＝15°+∠1＝65°；
（2）∵∠1＝50°，∠2＝65°，∠1+∠COE+∠2＝180°，
∴∠COE＝65°，
∴∠COE＝∠2
∴OE平分∠COB．
27．（8分）（2022秋•海门市期末）已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部，∠COD＝60°．
（1）如图1，若∠BOD＝30°，求∠AOC的度数；
（2）如图2，若OE平分∠BOC，请说明：∠AOC＝2∠DOE；
（3）如图3，若在∠AOB的外部分别作∠AOC，∠BOD的余角∠AOP，∠BOQ，试探究∠AOP，∠BOQ，∠COD三者之间的数量关系，并说明理由．
解（1）∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝120°﹣60°＝60°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠AOC＝60°﹣30°＝30°；
（2）∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC，
∵∠EOD＝∠COD﹣∠COE，∠COD＝60°，
∴∠EOD＝60°﹣∠BOC，
∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝120°﹣∠BOC，
∴∠AOC＝2∠EOD；
（3）∵∠AOP+∠AOC＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠AOC，
∵∠BOQ+∠BOD＝90°，
∴∠BOQ＝90°﹣∠BOD，
∴∠AOP+∠BOQ＝180°﹣（∠AOC+∠BOD）＝180°﹣（∠AOB﹣∠COD），
∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，
∴∠AOP+∠BOQ＝180°﹣（120°﹣60°）＝120°＝2×60°，
∴∠AOP+∠BOQ＝2∠COD．
28．（8分）（2021秋•苏州期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为 ∠BOC＝∠BOE． ；
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；
②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．
解：（1）∠BOC＝∠BOE．
理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOE，
故答案为：∠BOC＝∠BOE；
（2）①存在．
理由：∵∠COE＝130°，
∴∠COD＝180°﹣130°＝50°，
当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC＝∠COD，即10t＝25，解得t＝2.5；
当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t﹣50＝50，解得t＝10；
当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝50，解得：t＝31；
综上所述，t的值为2.5、10、31；
②∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝130°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE＝（130°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝40°，
∴∠AOC﹣∠BOE的值为40°
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
评卷人
得 分
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