重庆市育才中学、西南大学附中、万州中学2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市育才中学、西南大学附中、万州中学2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、直线与直线互相垂直,则( )
A.0B.1C.2D.
2、双曲线(,)的离心率为2,则此双曲线的渐近线倾斜角可以是( )
A.B.C.D.
3、若圆与圆仅有一条公切线,则实数a的值为( )
A.3B.C.D.1
4、已知数列满足,,则( )
A.2B.C.-1D.2023
5、已知F是椭圆的左焦点,P是椭圆上一动点,若,则的最大值为( )
A.B.C.D.
6、已知抛物线的焦点为F,准线为l,与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A,B两点,且,则( )
A.2B.C.D.4
7、已知椭圆,点在其上,直线l交椭圆于A,B两点,的重心是坐标原点,则直线l的斜率为( )
A.B.C.D.
8、已知,是双曲线(,)的左,右焦点,过点倾斜角为的直线与双曲线的左,右两支分别交于点A,B,若,则双曲线C的离心率为( )
A.B.2C.D.
二、多项选择题
9、已知方程表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是( )
A.当时,曲线C是椭圆
B.当或时,曲线C是双曲线
C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则
D.若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则
10、已知直线,圆的圆心坐标为,则下列说法正确的是( )
A.直线l恒过点
B.,
C.直线l被圆M截得的最短弦长为
D.当时,圆M上存在无数对点关于直线l对称
11、已知斜率为2的直线交抛物线于,两点,下列说法正确的是( )
A.为定值
B.线段AB的中点在一条定直线上
C.为定值(O为坐标原点,,分别为直线OA,OB的斜率)
D.为定值(F为抛物线的焦点)
12、已知椭圆,,是其左,右焦点,P为椭圆C上的一点,下列结论正确的是( )
A.满足是直角三角形的点P有四个
B.直线l为椭圆C在P点处的切线,过作于H,则可能为4
C.过点作圆M:的一条切线,交椭圆C于另一点Q,(O为坐标原点)则
D.过点作圆的两条切线,分别交椭圆C于E,H两点,则直线EH过定点
三、填空题
13、已知抛物线,则抛物线C的焦点坐标为________.
14、已知椭圆的左,右焦点分别为,,点在椭圆C上,且,则________.
15、双曲线(,)的左,右焦点分别为,.过作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知,直线的斜率为,则双曲线的方程为________.
16、若,则的最小值是________.
四、解答题
17、已知是等差数列,若,.
（1）求的通项公式;
（2）证明是等差数列.
18、设a为实数,已知双曲线与椭圆有相同的焦点,.
（1）求a的值;
（2）若点P在双曲线C上,且,求的面积.
19、在平面直角坐标系xOy中,设点P的轨迹为曲线C.
①点P到的距离比P到y轴的距离大;
②过点的动圆恒与y轴相切,FP为该圆的直径.在①和②中选择一个作为条件.
（1）选择条件:________,求曲线C的方程;
（2）设直线与曲线C相交于M,N两点,若,求实数k的值.
20、已知椭圆C:点,分别是椭圆C的左,右焦点,点A是椭圆上任意一点,O为坐标原点,且的最小值为1,.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过点作直线l与椭圆C交于不同两点P,Q,点M是线段PQ的中点,过点M作直线l的垂线交x轴于点N.求的取值范围.
21、已知圆C与直线相切于点,且圆心C在x轴的正半轴上.
（1）求圆C的方程;
（2）过点作直线交圆C于M,N两点,且M,N两点均不在x轴上,点,直线BN和直线OM交于点G.证明:点G在一条定直线上,并求此直线的方程.
22、设是双曲线(,)的右焦点,离心率,过F的直线l交双曲线C的右支于P,Q两点.
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）过点P作轴于A,过点Q作轴于B,直线AQ交直线于M,记的面积为,的面积为.求的值.
参考答案
1、答案：C
解析：
2、答案：B
解析：双曲线的离心率为2,
,
此双曲线的渐近线的斜率为,
此双曲线的渐近线的倾斜角是或.
故选:B.
3、答案：B
解析：圆与圆仅有一条公切线,故两圆内切,
,
解得.
故选:B.
4、答案：A
解析：由题得,,,,…,可得数列是以2,,这3项为周期的周期数列,所以.
5、答案：B
解析：椭圆,则,,,
如图,椭圆的右焦点为,
则,
由图结合三角形两边之差小于第三边,
则
则当点P在射线与椭圆的交点时,取最大值,
的最大值为.故选:B.
6、答案：D
解析：过F点作AB垂线段,垂足为M,为等边三角形,,.
7、答案：B
解析：由题可知直线AB的斜率k存在,设,,
则,可得,
故,
由的重心是坐标原点可得:
,,
即,,
故,
又点在椭圆上,
可得,解得,故;
所以.
故选:B.
8、答案：D
解析：如图,取AB中点M,连结,
设,
,
,
又,,
,
,
,
过点且倾斜角为的直线,,
,
在中可得,在中,,
消去x化简得,
离心率.
故选:D.
9、答案：BC
解析：当曲线C是椭圆时,,解得或,故A错误;
当曲线C是双曲线时,,解得或,故B正确;
若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则,解得,故C正确;
若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则,解得,故D错误.
故选:BC.
10、答案：ACD
解析：
11、答案：BC
解析：
12、答案：BCD
解析：
13、答案：
解析：由,得,其焦点坐标为:.
故答案为:.
14、答案：
解析：
15、答案：
解析：,不妨设渐近线方程为,
,又,
,
根据三角形的等面积算法可得,
,
,
又,
直线的斜率为,
解得,
所求双曲线的方程为.
故答案为:.
16、答案：
解析：令,消去m得,再令,消去得,
所以原式的几何意义为抛物线上的点B的横坐标绝对值,与方程为的圆上A点的距离之和,
作出图象:
BM垂直抛物线的准线于点M,则,
所以,
则当A,B,F三点共线时该式最小,(A在C,F之间）,
由,
得
的最小值是.
故答案为:.
17、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）设等差数列的公差为d,,,
所以,
（2）因为
所以是公差为的等差数列
18、答案：（1）1
（2）3
解析：（1）根据题意,显然,且双曲线C的焦点在x轴上,
故,即,,
解得或,又,故;
（2）由（1）可得双曲线C方程为:,设其左右焦点分别为,,故可得,;不妨设点P在双曲线C的左支上,
由双曲线定义可得:,
又三角形为直角三角形,则,
即
故的面积.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）选①:即点P到F的距离等于点P到的距离,由抛物线定义可得.
选②:过P作y轴的垂线,垂足为H,交直线于点,
设动圆的圆心为E,半径为r,则E到y轴的距离为r,
在梯形OFPH中,由中位线性质可得,
所以,又,所以,
由抛物线的定义知,点P是以为焦点的抛物线,
所以曲线C的方程为:.
（2）设,,将代入,
消去y整理得.
当时,
,.
,
化简得:,解得,
经检验,此时,故.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题即的最小值为1,故,又,,
所以椭圆的标准方程为:
（2）①设直线l的方程为:,,
联立得,
由得,,
,,
直线MN的方程:
令,,
令,
,在单调递增
,
②若直线l倾斜角为0时,则直线l方程为,此时M,N重合,
综上:
21、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）设圆心,点C在与切线垂直且过切点的直线:上
,半径
圆C的方程为:
（2）设,直线MN方程为:
联立得,
,,
直线OM方程为:,直线BN方程为:
联立
可得
点G在直线上
22、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题,得,
故双曲线的标准方程为
（2）设,,易知PQ斜率不为0,故设直线PQ的方程为
联立得,
,,,
由PQ直线与双曲线右支交于两点得
直线AQ的方程为所以
法一:下证明P,B,M三点共线
,
即证,也即证
由韦达定理显然成立.
法二:
又,
①
又,
②
由①,②结合韦达定理得