2023-2024学年福建省莆田市锦江中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省莆田市锦江中学高二上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．圆和圆的位置关系是（ ）
A．相离B．外切C．内切D．相交
【答案】D
【分析】根据方程确定圆心和半径，再由圆心距与半径和差的关系判断圆的位置关系即可.
【详解】由，则，半径，
由，则，半径，
所以，即两圆相交.
故选：D
2．已知直线过点点，则直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用直线的两点式方程即可得解.
【详解】因为过点点，
所以直线的方程为，即．
故选：A．
3．已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．-2B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】设出公差，利用题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到.
【详解】设公差为，则，，
联立可得，故.
故选：B
4．已知3，，27三个数成等比数列，则（ ）
A．9B．-9C．9或-9D．0
【答案】C
【分析】根据等比数列的知识列方程，从而求得.
【详解】由于成等比数列，所以，
解得或.
故选：C
5．已知两条平行直线：与：间的距离为4，则C的值为（ ）
A．14B．－2C．－10D．14或－10
【答案】B
【分析】根据两平行直线的距离公式可得，求解即可.
【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得或，
又因为，所以.
故选：B.
6．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏,小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（ ）
A．10.5尺B．11尺C．11.5尺D．12尺
【答案】A
【分析】结合等差数列的知识求得正确答案.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
依题意，，即，
解得，所以尺.
故选：A
7．直线：被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出圆心坐标与圆的半径，再求出圆心到直线的距离，最终利用弦长公式即可求解.
【详解】由圆，得圆心，半径为，
则，圆心到直线的距离为，
故直线被圆截得的弦长为.
故选：B
8．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（ ）
A．为递增数列B．
C．是数列中的最大项D．
【答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式和前项和公式、数列的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由可得：和异号，
即或．而，，
可得和同号，且一个大于1，一个小于1因为，
所有，，即数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1．
对于A：公比，因为，所以为减函数，
所以为递减数列．故A不正确；
对于B：因为，所以，所以．故B错误；
对于C：等比数列的前项积为，且数列的前2022项大于1，
而从第2023项开始都小于1，所以是数列中的最大项．故C正确；
对于D：
，
因为，所以，即．故D错误．
故选：C
二、多选题
9．关于直线：，下列说法正确的有（ ）
A．直线的斜率为
B．经过点
C．在轴上的截距为
D．直线经过第二､三､四象限
【答案】BD
【分析】根据直线的特点一一分析即可.
【详解】因为直线：，令，可得，即直线经过点，故B正确；
由可得，
所以直线的斜率为，直线在轴上的截距为，直线经过第二､三､四象限，
故AC错误，D正确.
故选：BD.
10．已知圆O：，圆：，下列说法正确的是（ ）
A．若，两圆相交弦所在直线为
B．两圆圆心所在直线为
C．过作圆O：的切线，切点为A，B，则
D．已知两圆的位置关系是相内切，则
【答案】BCD
【分析】由相交弦的定义，利用两圆方程相减判断A；求出圆心坐标判断B；利用圆的切线性质求出切线长判断C；由两圆内切求出半径判断D.
【详解】显然
当时，，，两圆相交，其公共弦所在直线方程为，A错误；
两圆圆心所在直线为，B正确；
显然为圆的切线，有，，C正确；
由两圆内切，得，即，解得，D正确.
故选：BCD
11．已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．数列为递减数列B．
C．的最大值为D．
【答案】ABC
【分析】根据等差数列的性质可得，则，即可判断AB，根据数列的单调性即可判断C，根据等差数列前n项求和公式计算即可判断D.
【详解】因为，故，，所以等差数列为递增数列，故AB错误；
因为时，，当时，，所以的最小值为，故C错误；
因为，故D正确.
故选：ABC
12．已知数列满足，则（ ）
A．
B．的前项和为
C．的前100项和为
D．的前20项和为284
【答案】ABD
【分析】当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D.
【详解】当时，，
当时，，
两式相减可得：，
所以，当时，满足，故，故A正确；
的前项和为，故B正确；
令，的前100项和为：
，故C错误；
令，
所以的前20项和为：
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．若等差数列中，，则 ．
【答案】6
【分析】利用等差数列下标和性质可得.
【详解】由等差数列下标和性质可知，，得，
所以.
故答案为：6
14．等比数列中，，，则 ．
【答案】108
【分析】根据等比数列的性质可得，求得，继而根据求得答案.
【详解】由题意等比数列中，，，
设等比数列的公比为q，则，
故，
故答案为：108
15．已知圆，自点作圆的切线，则切线的方程 ．
【答案】或
【分析】讨论切线的斜率是否存在.当斜率存在时，设斜率为，得到直线方程，根据圆心到直线的距离，得到关于方程，解出的值，代入直线方程即可.
【详解】由已知圆心为，半径.，
又，所以点在圆外，
当直线斜率不存在时，直线的方程为.
此时，圆心到直线的距离，
所以直线是圆的切线；
当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，
整理可得，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
即，解得，
所以切线方程为：即，
综上所述所求的切线方程为：或，
故答案为：或
四、双空题
16．已知直线l方程为，那m为 时，点到直线l的距离最大，最大值为
【答案】
【分析】求出直线过定点的坐标，当时，为所求点到直线距离的最大值，再由垂直求得值．
【详解】直线l：化为，
由，得 ，
直线l必过定点．
当点到直线l的距离最大时，垂直于已知的直线l，
即点与定点的连线长就是所求最大值，
此时直线与直线垂直，
，解得，
此时，点到直线的最大距离是．
综上所述，时，点到直线的距离最大，最大值为．
故答案为：；．
五、解答题
17．已知直线经过点．
(1)若与直线：垂直，求的方程；
(2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据两直线垂直得到的斜率，进而利用点斜式求出直线方程；
（2）考虑截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程.
【详解】（1）由题可知，的斜率为，
设的斜率为，因为，所以，则，
又经过点，所以的方程为，即；
（2）若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为，
将代入解析式得，解得，
故的方程为，
若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为，
由，得，
故的方程为，
综上，的方程为或.
18．已知数列，满足，，且是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列．
(1)求，的通项公式；
(2)求的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）结合等差数列和等比数列的通项公式求解即可；
（2）根据分组求和即可.
【详解】（1）根据题意，可得，
所以，，
所以，
所以，，
（2）由（1）知，，
．
19．已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆与和轴均相切.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆交于，两点，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题目条件求出圆心和半径，写出圆的方程；
（2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长可得答案.
【详解】（1）设圆心为，半径为,
则由题意得，故该圆的方程为.
（2）圆心到直线的距离为，
由垂径定理得：，解得.
20．记等差数列的前项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列前项和．
【答案】(1)；；
(2)．
【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
21．已知数列和，其中的前项和为，且，.
(1)分别求出数列和的通项公式；
(2)记，求证：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用和与项的关系，结合等比数列的定义即可求解，进而可求解；
（2）利用错位相减法即可求解，进而可证明.
【详解】（1）当时，，所以，
时，①，
②，
①-②得，
即，，
所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以，
所以；
（2），即③，
④，
④-③，得
，
因为，，所以.
22．已知直线l：和圆C：．
(1)直线l恒过一定点M，求出点M坐标；
(2)当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短，求出弦长；
(3)在（2）的前提下，直线是过点且与直线l平行的直线，求圆心在直线上，且与圆外切的动圆中半径最小的圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)当时，直线l被圆C所截得的弦长最短，弦长为
(3)
【分析】（1）根据直线方程的特征，通过解方程组进行求解即可；
（2）根据圆的性质，结合点到直线距离公式、勾股定理进行求解即可；
（3）根据外切的性质，结合点到直线距离公式、互相垂直的两直线的斜率关系进行求解即可.
【详解】（1），
因为，
所以有，所以直线l恒过一定点， 即；
（2）由，
所以，半径，
当时，直线l被圆C所截得的弦长最短，
所以有，
即，
所以
此时直线l的方程为，
点到直线l的距离，
因此直线l被圆所截得的弦长最短为；
（3）如图所示：
由（2）可知直线l的方程为，
因为直线是过点且与直线l平行的直线，
所以设直线的方程为，把点的坐标代入，得
，即直线的方程为，
过与直线垂直的方程设为，把代入，得
，所以，
由，
到直线的距离为，
所以圆心在直线上，且与圆外切的动圆中最小的圆的半径为：
，
因此圆心在直线上，且与圆外切的动圆中半径最小的圆的标准方程为：
.

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的性质、勾股定理、点到直线距离公式.