2023-2024学年河南省南阳市高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省南阳市高二上学期期中数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线过点，且倾斜角为，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意结合倾斜角的定义分析求解.
【详解】因为直线过点，且倾斜角为，
可知直线与x轴垂直，所以直线的方程为.
故选：D.
2．二次函数的图像为抛物线，其准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将，化为抛物线的标准方程,分类讨论即可.
【详解】将，化为抛物线的标准方程，
当时，，得到，由抛物线的准线方程为；
当时，，得到，由抛物线的准线方程为；
综上：其准线方程为.
故选：C.
3．已知三条直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为.若，则下列关系不可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】解：由题意，根据直线的斜率与倾斜角的关系有：
当或时，或，故选项B可能成立；
当时，，故选项A可能成立；
当时，，故选项C可能成立；
所以选项D不可能成立.
故选：D.
4．万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕，是继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm
A．30B．20C．10D．
【答案】B
【分析】扁平程度相同的椭圆，即离心率相等，计算得到答案.
【详解】扁平程度相同的椭圆，即离心率相等，
大椭圆，，，离心率为；
小椭圆，离心率，解得，故长轴长为.
故选：B
5．直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果.
【详解】因为直线，过定点，
只需该定点落在椭圆内或椭圆上则直线与椭圆总有交点，即：
解得：，又因为：，
所以：的取值范围为：.故B项正确.
故选：B.
6．已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】易知焦点坐标，根据三角形重心性质以及抛物线焦半径公式可求得结果.
【详解】设，，，由题可得，因为是三角形的重心，
所以，可得，即，
所以.
故选：D.
7．已知实数、满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角换元，可得，再由三角函数的范围即可得解.
【详解】由实数、满足，
故令，，
所以（），
由，
所以，
所以，
所以的最小值为.
故选：C
8．如图，加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线的蒙日圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出过点的切线方程，并与双曲线方程联立，利用判别式为零得到关于的方程，方程的根即为，通过韦达定理可得点的轨迹方程，进而可求面积.
【详解】不妨设，则过点的双曲线切线方程为，存在且不为零，
联立，
消去得，
所以，
整理得
可知为关于的方程的两个根，
且，
即，整理得，
即点的轨迹方程为，
即双曲线的蒙日圆方程为，半径为
面积为.
故选：A.
二、多选题
9．已知直线和直线，下列说法不正确的是（ ）
A．当或时，
B．当时，
C．直线过定点，直线过定点
D．当，平行时，两直线的距离为
【答案】ACD
【分析】根据两直线平行的充要条件即可判断A；根据两直线垂直的充要条件即可判断B；根据直线过定点的定义即可判断C；根据两平行直线间的距离公式即可判断D.
【详解】对于A，若，则，解得或，
经检验当时，两直线重合，所以，故A错误；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，由直线，
令，解得，
所以直线过定点，故C错误；
对于D，当，平行时，，
直线，直线，即，
所以两直线的距离为，故D错误.
故选：ACD.
10．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
【答案】BCD
【分析】利用曲线C所表示的曲线类型求出参数的值或取值范围，由此可得出合适的选项.
【详解】选项A：若曲线为椭圆，则，即且，故A错误；
选项B：若曲线为双曲线，则，即或，故B正确；
选项C：若曲线为焦点在x轴上的椭圆，则，即，故C正确；
选项D：若曲线为焦点在y轴上的双曲线，则，即，故D正确；
故选：BCD.
11．是椭圆上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若存在点，使，则椭圆的离心率
D．若的中点在轴上，则
【答案】CD
【分析】根据椭圆的几何性质，可判定A错误；设，利用余弦定理和椭圆定义，求得，结合三角形的面积公式，可判定B错误；设椭圆的短轴上端点为，得到，得到，结合离心率的定义，可判定C正确；根据题意，得到轴，进而可判定D正确.
【详解】对于A中，根据椭圆的几何性质，可得，所以A错误；
对于B中，设，则，
由余弦定理得，
解得，所以，所以B错误；
对于C中，设椭圆的短轴上端点为，连接,
若存在点，使得，则，所以，即，
所以，所以，即，
又因为，可得，所以C正确；
对于D中，若的中点在轴上，则轴，
结合椭圆的几何性质，可得，所以D正确.
故选：CD.
12．已知是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于、两点，则下列说法正确的是（ ）
A．以为直径的圆与抛物线的准线相切
B．若，则直线的斜率
C．弦的中点的轨迹为一条抛物线，其方程为
D．若，则的最小值为18
【答案】AD
【分析】A：由抛物线的方程可得焦点，准线方程为：，
设，则的中点，
利用焦点弦的性质可得，求出的中点M准线的距离即可判定；
B：设直线的方程为，联立
，整理可得：，然后由条件和根与系数的关系即可判定；
C：设，结合A、B可得：，
，消去m即可判定；
D：若则抛物线，不妨设，结合基本不等式即可判定.
【详解】A：由抛物线的方程可得焦点，准线方程为：，
设，则的中点，
利用焦点弦的性质可得，而的中点M准线的距离：
，
以为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A正确；
B：设直线的方程为，联立
，
整理可得：，
可得
，
解得，
，解得，
，因此B不正确；
C：设，结合A、B可得：，
，消去m可得：，因此C错误；
D：若则抛物线，不妨设，
，当且仅当时取等号，因此D正确．
故选：AD．
三、填空题
13．请写出一个焦点在轴上，焦距为的椭圆的标准方程 ．
【答案】（答案不唯一，只要焦点在轴上且）
【分析】由题得，所以，然后取一组a、b即可.
【详解】由题得，所以，取，
又焦点在y轴上，所以方程为.
故答案为：.
14．、分别是圆与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ．
【答案】11
【分析】作圆E关于的对称圆为圆G，根据三点共线时取得最小值，即可得解.
【详解】由题意知
如图，设圆E关于的对称圆为圆G，点Q与点关于轴对称.
则圆G的方程为
.
当且仅当三点共线时取得最小值.
此时.
所以的最小值为11.
故答案为：11.
四、双空题
15．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设、分别为双曲线的左、右焦点，为右支上任意一点，则双曲线的离心率为 ；的最小值为 ．
【答案】 3 8
【分析】利用椭圆、双曲线的定义以及基本不等式求解.
【详解】因为椭圆，所以其离心率，
所以双曲线的离心率；
设双曲线C的半焦距为，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，
所以，，
因为、分别为双曲线的左､右焦点，为右支上任意一点，
所以，即，
所以，
因为，
由基本不等式可得：，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8.
故答案为：3；8.
五、填空题
16．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率.
【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为
设,
由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍）
则，
又设直线PN的方程为
由到直线PN的距离为1，得，整理得
则，又，故
则直线PN的方程为，
故，
由，解得，故椭圆的离心率
故答案为：
【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
六、解答题
17．在平行四边形中，，，，点是线段的中点．
(1)求直线的方程；
(2)求过点且与直线垂直的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据求出点的坐标，再利用点斜式即可得解；
（2）先求出点的坐标及直线的斜率，进而可求得所求直线的斜率，再根据点斜式即可得解.
【详解】（1）设点的坐标为，则，
由题意，，又，
故，解得，，，
所以点的坐标为，
则，
所以直线的方程为，
即；
（2）设所求直线为，
点是线段的中点，则，
直线的斜率为，
由于直线与垂直，故直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即．
18．已知焦点在轴上的双曲线的离心率为，焦点到其中一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线的上焦点的直线交双曲线的上支于、两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)轴上存在点，使恒成立
【分析】（1）设出双曲线方程后，由焦点到其中一条渐近线的距离为，可得，再由离心率为可求出，从而可求出双曲线方程；
（2）由题意设直线的方程为，设点，，将直线方程代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，由题意得，设，则结合斜率公式化简可求得结果.
【详解】（1）由题意设双曲线方程为，焦点，渐近线方程为，
因为焦点到其中一条渐近线的距离为，
所以，
又，故，
所以双曲线的标准方程为．
（2）根据题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，，
由，得恒成立，
设点，，
由根与系数的关系得，，．
设点，若，则，
即
，
得，因为，所以得，
则点的坐标为．
综上，轴上存在点，使恒成立．
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线中的定点问题，解题的关键是将转化为，考查计算能力和转化思想，属于较难题.
19．已知圆．
(1)证明：圆过定点．
(2)当时，是否存在斜率为的直线交圆于、两点，使得以为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，或.
【分析】（1）对圆的方程变形，列出方程组，即可求解.
（2）设出直线方程，并与圆的方程联立，再结合韦达定义，以及向量垂直的性质，即可求解.
【详解】（1）证明：圆的方程变形为：，
令，解得，
把代入圆成立，
所以圆过定点．
（2）当时，圆的方程为：．
假设存在直线符合题意．
设直线的方程为，与圆联立得：
．
所以判别式．
设，，由根与系数的关系得，
，．
若以为直径的圆经过原点，则，从而有，
即
解得：，
代入，均成立，
所以直线的方程为或.
20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点且垂直于轴的弦长为，且 ．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．）
①椭圆的长轴长为；②椭圆与椭圆有相同的焦点；③，与椭圆短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线经过，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据选择不同的选项中条件再结合题意从而求解.
（2）设出直线的方程与椭圆联立，利用根与系数关系，并结合，再构造函数利用函数单调性从而求解.
【详解】（1）若选①．由题意得：，解得：，
所以：椭圆的方程为.
若选②．椭圆的焦点坐标为，则，
又，得，由，得，
所以椭圆的方程为.
若选③.由题意得：，
又与椭圆短轴的一个端点组成等边三角形，所以，
又，得，，
所以椭圆的方程为.
（2）易知，设直线的方程为，
联立，得：，
设点，，由根与系数的关系得，
，，
所以
，
设，则
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
所以当时，，（此时，直线为）.
故：面积的最大值为．
【点睛】（2）中通过直线与椭圆联立并利用根与系数关系得：，然后构造函数，利用函数的单调性从而可求解面积的最大值.
21．已知动圆经过点，且与直线相切．设圆心的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)设为直线上任意一点，过作曲线的两条切线，切点分别为、，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义即可得出答案；
（2）由题意可得点，切线方程为或，联立方程，根据结合韦达定理证明或即可.
【详解】（1）由题意可得点到点的距离与到直线的距离相等，
根据抛物线定义，圆心的轨迹为抛物线，且焦点为，准线方程为，
所以曲线的方程为；
（2）法一：由题意，过点的切线斜率存在，且不为，
设点，切线方程为，
联立，得，
则，
由于过点存在两条切线，故关于的方程有两个不相等的实数根，，
且由根与系数的关系得，，
设切线、的斜率分别为，，则，
所以直线．
法二：由题意，过点的切线斜率存在，且不为，
设点，切线方程为，
联立，得，
则，
由于过点存在两条切线，故关于的方程有两个不相等的实数根，，
且由根与系数的关系得，，
设切线、的斜率分别为，，则，
所以直线．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22．已知两定点，，过动点的两直线和的斜率之积为．设动点的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)设，过的直线交曲线于、两点（不与、重合）．设直线与的斜率分别为，，证明为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设出动点，且根据题意，从而求解；
（2）设出直线的方程，然后与椭圆进行联立后利用根与系数关系从而证明为定值.
【详解】（1）设点，根据题意得：
，
整理得：，
故曲线的方程为：.
（2）设直线的方程为，
联立，得：，
设点，，由根与系数的关系得：
，，
则：
，
综上，为定值2．
【点睛】（2）问中利用直线与椭圆联立后利用根与系数关系即可求解.