2023-2024学年河南省郑州高新技术产业开发区郑州外国语学校高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省郑州高新技术产业开发区郑州外国语学校高二上学期期中数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的标准方程列不等式求解.
【详解】由题意知，，解得，所以实数m的取值范围是.
故选：D.
2．若、满足，则直线过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将直线方程变形为，解方程组可得出所求定点的坐标.
【详解】，，由可得，
所以，，由，解得，
因此，直线过定点.
故选：B.
【点睛】本题考查直线过定点坐标的求解，解题的关键就是将直线方程进行变形，考查计算能力，属于基础题.
3．已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且，则的面积为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理、双曲线定义求出，再利用三角形的面积公式计算可得答案.
【详解】因为，所以，
由双曲线的定义可得，
所以，解得，
故的面积为．
故选：B.
4．若双曲线和椭圆有共同的焦点，，P是两条曲线的一个交点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在同一直角坐标系中作出双曲线和椭圆的图形，利用双曲线与椭圆的定义得到与的关系式，从而可求得的值．
【详解】解：依题意，作图如下：
不妨设点为第一象限的交点
则，①
，②
①②得：，
，
故选：．
5．若过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据圆方程得到，根据切线得到点在圆外，计算得到答案.
【详解】圆，即圆，
故，；
过点有两条切线，故点在圆外，即，解得或；
综上所述：.
故选：C
6．动点为椭圆上异于椭圆顶点，的一点，为椭圆的两个焦点，动圆与线段的延长线及线段相切，则圆心的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）
A．抛物线B．椭圆C．双曲线的右支D．一条直线
【答案】D
【解析】由切线长相等关系和椭圆定义可得，可知点横坐标为，由此可得轨迹为除去坐标轴上的点的一条直线.
【详解】如图，设切点分别为
由切线长相等可得：，，
由椭圆的定义可得：
点与点重合 的横坐标是
的轨迹是一条直线（除去点）
故选：
【点睛】本题考查动点轨迹的求解问题，关键是能够根据椭圆的定义和切线长的等量关系得到动点坐标所满足的等量关系.
7．点是圆上的任一点，圆是过点且半径为1的动圆，点是圆上的任一点，则长度的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由题知点是上动点，点是圆上的动点，结合圆的性质及图形可得.
【详解】由题可知点的轨迹方程是，
即得点是圆上的动点，
又由题知点是圆上的动点，
如图可得则.
故选：B.
8．已知双曲线的左右两个顶点分别为，为双曲线右支上的个点，关于原点对称，则直线这条直线的斜率乘积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对称性，先算出的结果，然后将这条直线分组，利用刚才的结果即可得出结论.
【详解】设，由题意，，又，于是，
又在双曲线上，故，于是，
将条直线两两分组，，
类似上面的步骤，这组直线中的两条直线斜率之积均是，于是这条直线的斜率乘积为.
故选：A
9．倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得，即可求得椭圆的离心率；
【详解】解：设直线的方程：，，，，，
联立，整理得：
，①，，②
由，即，，，则，③
解得：，，则，整理得：，
椭圆的离心率，
故选：B
【点睛】本题考查椭圆的性质的应用，考查向量的坐标运算，直线与椭圆的位置关系，选择合适的方程，代入椭圆方程，可以简化运算，提高做题速度，属于中档题．
10．在棱长为1的正方体中，分别在棱上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的共面定理可得在不同基底下的表示方法，从而可求.
【详解】因为， 在平面内，
所以;同理可得，，解得，故选B.
【点睛】本题主要考查空间向量的共面定理.利用四点共面的特点，建立等量关系式是求解关键.
二、多选题
11．已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于、两点，则的可能取值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】BCD
【分析】中点为，连接，，确定点的轨迹为以为直径的圆，根据得到答案.
【详解】如图所示：中点为，连接，，故，，，
故点的轨迹为以为直径的圆，圆心为，半径为，
，，即，
则.
故选：BCD
三、单选题
12．已知中，，，O为AB的中点，P为AB的垂直平分线上一点，且，则CP的最大值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），求出点C的轨迹方程，根据两点间的距离公式及二次函数的性质即可求解.
【详解】解：以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），
所以，，
所以标准方程为，
设，，，
则，
因为，且，
所以当时，的最大值为.
故选：C.
四、填空题
13．设集合，，若中有且只有一个元素，则的取值集合为 ．
【答案】1或11
【分析】由题意可知两圆只能相切，然后分别算出各圆的圆心坐标、半径、圆心距，从而即可求解.
【详解】由题意若中有且只有一个元素，
则当且仅当圆与圆相切，
圆的圆心坐标、半径分别为，圆的圆心坐标、半径分别为，
而两圆的圆心距为，
因为，
所以两圆不可能外切，只能内切，此时，
解得或.
故答案为：1或11.
14．已知直线的方向向量且过点，则点到直线的距离为 ．
【答案】
【分析】由空间中点到直线的距离的向量公式，计算即得解
【详解】由题意，
故，
又，故
故
故点到直线的距离为：
故答案为：
15．设椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】在中，利用正弦定理：，求得，，设，再利用余弦定理求得，然后由求解.
【详解】椭圆的焦点为，
在中，由正弦定理得：，
解得，，
设，
在中，由余弦定理得：，
解得，
所以，
又，
所以，
整理得，即，
解得或（舍去）
故答案为：
16．如图，点，为双曲线（，）的左右焦点，点、、分别为双曲上三个不同的点，且经过坐标原点，并满足，，则双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【分析】连接，，，四边形为矩形，设，根据双曲线性质结合勾股定理得到答案.
【详解】如图所示：连接，，，
，则，根据对称性知四边形为矩形，
设，则，，，，
直角三角形中：，解得；
直角三角形中： ，
代入得，解得；
故.
故答案为：.
五、解答题
17．直线，在上求一点，使得．
(1)到和的距离之差的绝对值最大；
(2)到，的距离之和最小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如果两点在一直线的异侧，则作其中某一点关于该直线的对称点，那么经过对称点与另一点的直线与已知直线的交点P，到这两点距离之差的绝对值最大；
（2）如果两点在一直线的同侧，则作其中某一点关于该直线的对称点，那么经过对称点与另一点的直线与已知直线的交点P，到这两点距离之和最小．
【详解】（1）在直线上求一点，使得：到和的距离之差的绝对值最大，
显然、位于直线两侧，作关于直线的对称点，连接，
则 所在直线与直线l交点即为，如图所示：
此时，的值最大，最大值就是，
设B点关于l对称点，
由，得，即，
由线段的中点坐标为，，且中点在直线上，
，即，
联立方程组，解得，，即
所以的直线方程为
联立方程组，解得，，
与直线的交点坐标为，
点到点和点的距离之差的绝对值最大时，点坐标为．
（2）到和的距离之和最小，
显然，A、C位于直线l同侧，
作点关于直线l对称点，连接，则与直线l的交点就是点，
此时，之和最小，最小值为，如图所示：
设关于的对称点为，求出的坐标为．
所在直线的方程为．
和交点的坐标为．
当点到点，的距离之和最小时，点的坐标为．
18．如图，在正方体中.
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成的角.
【答案】（1）见解析；
（2）30°
【分析】（1）由即可证得平面；
（2）连接交于，连接，证明平面，可得为直线和平面所成的角，设正方体棱长为1，在中求出.
【详解】解：（1）证明：，平面，平面，
∴平面；
（2）解：连接交于O，连接，
四边形是正方形，，
，
平面，
，
又，
平面，
为直线和平面所成的角，
设正方体棱长为1，则，，
，
，
∴直线和平面所成的角为30°.
【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题.
19．在平面直角坐标系中，圆C的方程为，．
(1)当时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)对于，若圆C上存在点M，使，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）分直线l的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合点到直线得距离公式即可得解；
（2）要使得，则M在线段的中垂线上，从而可得线段的中垂线与圆C有公共点，则有圆心到直线得距离小于等于半径，从而可得出答案.
【详解】（1）当时，圆C的方程为，
圆心，半径，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足条件；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
由直线l与圆C相切，则，解得，
所以l的方程为，即，
综上得，直线l的方程为或；
（2）圆心，，
则线段的中垂线的方程为，即，
要使得，则M在线段的中垂线上，
所以存在点M既要在上，又要在圆C上，
所以直线与圆C有公共点，
所以，解得，
所以．

20．已知双曲线的实轴长为2，直线为的一条渐近线．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点，使为定值，理由见详解.
【分析】（1）由，再由渐近线的方程得的值，求得，即可得双曲线方程；
（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，代入双曲线方程，设点，得，再设，计算，由其为常数求得，同时验证当直线斜率为0时，此值也使得为刚才的常数，即得结论．
【详解】（1）由题意得，即.
因为的渐近线方程为.
所以，
所以，
故的方程为：.
（2）当直线不与轴重合时，
设直线的方程为，
代入，得，
即．
设点，
则．
设点，
则
，
若为定值，
令
解得，
此时．
当直线l与轴重合时，则点为双曲线的两顶点，不妨设点．
对于点，
所以存在定点，使为定值．
【点睛】思路点睛：
求双曲线方程，圆锥曲线中的的定值问题，解题方法是设交点坐标为，设直线方程并代入圆锥曲线方程整理后应用韦达定理得（或），代入题设要得定值的式子，利用定值得出参数值．并验证特殊情况下也成立．
21．已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，点在上.
(1)是上一动点，求的范围；
(2)过的右焦点，且斜率不为零的直线交于，两点，求的内切圆面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)结合焦距及点坐标，求得椭圆的方程：，设点，得，结合椭圆有界性解得范围即可；
(2)设直线的方程为,联立椭圆方程结合韦达定理得，，利用等面积法求解内切圆半径，进而求得内切圆面积.
【详解】（1）由题意知，所以.
将点代入，解得，所以椭圆的方程为：.
设点，则.
又因为，所以的范围是.
（2）依题意可设直线的方程为，，.
联立得.
所以，，
所以，
又因为，
当且仅当时等号成立.所以.
又因为三角形内切圆半径满足.
所以的内切圆面积的最大值为.
22．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，.是棱PD上的点，且四面体的体积为
(1)证明：；
(2)若过点C，M的平面α与BD平行，且交PA于点Q，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）解法一：取AB中点O，连接PO，CO.推导得到平面，平面PBC，根据体积即可得出答案；解法二：先证明平面PAB. 过M作交AP于点N，证明得到平面PBC，根据体积即可得出答案；
（2）解法一：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，结合平面向量基本定理，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法二：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法三：通过作图，作出二面角的平面角，构造直角三角形，即可得出答案.
【详解】（1）解法一：
如图1，取AB中点O，连接PO，CO.
因为，，所以，，.
又因为是菱形，，所以，.
因为，所以，所以.
又因为平面，平面ABCD，，
所以平面.
因为，平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC，
所以.
因为，
所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的，
所以.
解法二：
如图2，取AB中点O，连接PO，CO，
因为，，
所以，，，
又因为是菱形，，
所以，.
因为，所以，所以.
因为平面PAB，平面PAB，，
所以平面PAB.
所以，.
过M作交AP于点N，，所以.
又平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC，所以.
因为，，
所以，
所以N是PA的中点，所以M是PD的中点，所以.
（2）解法一：
由（1）知，，，.
如图3，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，所以，，，，，.
因为，设，则，
因为，，，，故存在实数a，b，使得，
所以，解得，
所以.
设平面的法向量为，则，即，
取，得到平面的一个法向量.
设平面与平面夹角是，
又因为是平面的一个法向量，
则.
所以平面与平面夹角的余弦值是.
解法二：
由（1）知，，，，
如图3，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，所以，，，，，.
设平面的法向量为，则，即.
取，得到平面的一个法向量.
因为，设，则，
因为，所以，所以
设平面的法向量为，则，即.
取，得到平面的一个法向量.
设平面与平面夹角是，
又因为是平面的一个法向量，
则.
所以平面与平面夹角的余弦值是.
解法三：
在平面内，过C作交AD延长线于点E，交AB延长线于点F，
因为是菱形，所以.
如图4，在平面PAD内，作交EM的延长线于点，设交AP于点Q.
所以，四边形是平行四边形，，.
所以，所以，
所以点Q是线段PA上靠近P的三等分点.
如图5，在平面PAB内，作，交AB于T，
因为平面，所以平面，所以，
因为，，
在平面内，作，交BC于点N，连接QN，过A作交BC于K，
在中，，，所以，
所以，
因为，，，且两直线在平面内，所以平面，
因为平面，所以.
所以是二面角的平面角.
在中，，所以.
所以平面与平面夹角的余弦值是.