2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校高二上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的运算法则可得化简即可．
【详解】．
故选：A
2．椭圆：的焦点在轴上，其离心率为，则（ ）
A．椭圆的短轴长为B．椭圆的长轴长为4
C．椭圆的焦距为4D．
【答案】B
【解析】由离心率可求出，结合椭圆的性质可求出椭圆的短轴长，长轴长，焦距.
【详解】由椭圆的性质可知，椭圆的短轴长为，圆的离心率，则，
即，，所以椭圆的长轴长，椭圆的焦距，
故选：B．
3．双曲线的渐近线方程是（ ）
A．y=4xB．C．y=±2xD．
【答案】C
【分析】直接由双曲线方程求解渐近线方程即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为，即，
故选：C
4．已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于半径求解即可
【详解】由题意，圆心到直线的距离，即，解得
故选：D
5．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出，从而可求出直线方程
【详解】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，
由，得，即和的交点为，
因为直线过点，
所以，得，
所以所求直线方程为，
故选：D
6．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】首先根据题意得到，，，从而得到，再求长轴长即可.
【详解】因为椭圆：，焦点，
所以，，，即，解得或（舍去）.
所以，长轴为.
故选：D
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，属于简单题.
7．圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切B．相切C．相交D．外离
【答案】C
【分析】分别求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，通过比较可得结论．
【详解】解：圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
所以，
所以两圆相交，
故选：C
8．已知直线，,，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．当时，直线l的倾斜角为
C．当时，直线l的斜率不存在
D．当时，直线l与直线不垂直
【答案】B
【分析】中，令时,可求得l的必过点，可判定选项A；根据斜率公式求得直线l的斜率，进而可求得直线l的倾斜角，可判定选项B; 当时，求得直线l的斜率，即可判定选项C；当时，求得直线l的斜率，在求得直线得斜率，即可判定两者得位置关系，可判定选项D.
【详解】中，令时，
可得l恒过定点，故选项A错误；
当时，直线的斜率为，
则若倾斜角时，，且，
则，故选项B正确；
当时，直线l为，斜率为，
故选项C错误；
当时，直线l的斜率为，
又,
所以，
则直线l与直线垂直，故选项D错误.
故选：B.
9．抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将抛物线方程化成标准式，即可解出．
【详解】可化为，所以抛物线的准线方程为．
故选：B．
10．抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为4，则抛物线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知，可设抛物线方程为，利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离计算即可.
【详解】由题意，设抛物线方程为，准线方程为，由抛物线的定义知，
，解得，故抛物线的方程为.
故选：C
【点睛】本题考查求抛物线的方程，涉及到利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，是一道容易题.
11．圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．公共弦AB所在直线的方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值不是
【答案】A
【分析】AB选项，两圆方程相减得到公共弦AB所在直线的方程；C选项，求出圆心到的距离，进而由垂径定理求出公共弦AB的长；D选项，P到直线AB距离的最大值为圆心到AB距离加上圆的半径，求出答案.
【详解】AB选项，两圆方程相减得到，即，
故公共弦AB所在直线的方程为，A正确，B错误；
C选项，的圆心为，半径为1，
则圆心到的距离为，
故有垂径定理得公共弦AB的长为，C错误；
D选项，P为圆上一动点，
则P到直线AB距离的最大值为圆心到AB距离加上圆的半径，
即，故D错误.
故选：A
12．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则
B．若为双曲线，则或
C．曲线不可能是圆
D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
【答案】B
【分析】A选项，根据方程表示椭圆得到不等式，求出取值范围；B选项，根据方程表示双曲线得到不等式，求出取值范围；C选项，当时，方程表示圆；D选项，根据方程为焦点在轴上的椭圆得到不等式，求出取值范围.
【详解】A选项，若为椭圆，则，
解得或，A错误；
B选项，若为双曲线，则，解得或，B正确；
C选项，当，即时，方程为，为圆，C错误；
D选项，若为椭圆，且长轴在轴上，则，
解得，D错误.
故选：B
13．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
14．已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，再由可求出答案.
【详解】由双曲线的渐近线方程为，可知，
，
，
故选：B．
二、填空题
15．直线被圆截得的弦长为 .
【答案】2
【分析】将直线方程代入圆的一般方程，解方程得出两个交点的坐标，结合两点距离公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
代入圆的一般方程，得，
解得，
当时，，对应的点为，
当时，，对应的点为，
所以该弦长为.
故答案为：2.
16．当点A在曲线上运动时，连接A与定点，则AB的中点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设出点A、P坐标，根据中点坐标公式得到其关系，借助A点在已知曲线上代入可得.
【详解】设，
则由中点坐标公式可得，代入得
整理得P的轨迹方程为.
故答案为：
17．过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】由题意可得，结合椭圆的定义计算即可求解.
【详解】由题意知，为正三角形，且，
则，
所以，
，
由椭圆的定义知，
即，解得.
故答案为：.
18．直线过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点，则 .
【答案】8
【分析】由题意，求出，然后联立直线与抛物线方程，由韦达定理及即可求解.
【详解】解：因为抛物线的焦点坐标为，
又直线过抛物线的焦点F，
所以，抛物线的方程为，
由，得，所以，
所以.
故答案为：8.
三、解答题
19．如图，直三棱柱中，，，，点是的中点．
（1）求证∶平面；
（2）求与平面所成角的正弦值及直线到面的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)；.
【分析】(1)连接A1C交AC1于点N，连接MN，证明B1C//MN即可推理得证；
(2)由给定条件，以点C为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，借助空间向量即可求线面角及线面距离.
【详解】(1)在直三棱柱中，连接A1C交AC1于点N，连接MN，如图，
则点N是线段A1C中点，而M是线段A1B1中点，从而有MN//B1C，又平面，平面，
所以平面；
(2)依题意，平面ABC，又，则以点C为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
令为平面的法向量，则，令，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值是；
由(1)知，平面，则直线到平面的距离等于点B1到平面的距离d，
因此，，
所以直线到平面的距离是.
20．已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别为和.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)直线与椭圆交于两点，若线段的中点，求直线的方程.
(3)与椭圆相交于C、D两点并求出弦长CD
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）假设椭圆方程，根据短轴长、焦点坐标和椭圆关系可构造方程组求得，由此可得椭圆方程；
（2）利用点差法可求得直线斜率，由此可得直线方程.
（3）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式即可得解.
【详解】（1）由题意可设椭圆方程为：，
则，解得：，椭圆的标准方程为：.
（2）依题意，设，，
则，两式作差得：，
直线斜率，
又中点为，，，，
直线方程为：，即.
（3）依题意，设，，
联立，消去，得，
易得，则，
又直线的斜率为，
所以弦长
.