2023-2024学年江苏省常州高级中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省常州高级中学高二上学期期中数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】利用抛物线的标准方程可得的值，由焦点到准线的距离为，从而得到结果.
【详解】由抛物线的焦点到准线的距离为，
由抛物线标准方程可得，
故选：B.
2．若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】不妨把三角形的一个顶点放在原点，然后作图分析直角边所在直线的倾斜角，结合直线垂直的斜率关系可解.
【详解】不妨把三角形的一个顶点放在原点，如图所示，
因为直线OA的倾斜角为，，
所以直线OB的倾斜角为或，即或，
因为，所以当时，；
当时，.
所以．
故选：B
3．与圆相切且在轴､轴上截距相等的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【解析】先求得圆的圆心和半径，然后分直线在轴､轴上的截距为0和不为0，两种情况根据 直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径求解.
【详解】圆的方程，可化为：，
所以其圆心是，半径为，
当直线在轴､轴上的截距为0时，设直线方程为：，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
所以，
解得，
当直线在轴､轴上的截距不为0时，设直线方程为：，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
所以，
解得或（舍去）
所以在轴､轴上截距相等的直线共有3条，
故选：C
4．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（ ）
A．2B．6C．D．
【答案】A
【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可.
【详解】由于直线与直线关于点对称，
所以两直线平行，故，则，
由于点在直线上，关于点的对称点为，
故在上，代入可得，故，
故选：A
5．若双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】由渐近线与直线垂直得，再求离心率.
【详解】由双曲线（，），
得渐近线为，
因为其中一条渐近线与直线垂直，
则，得，故，
故选：D.
6．已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】C
【分析】根据可得，再根据韦达定理即可求出的坐标，进而可求解.
【详解】
抛物线的焦点，
设，假设，
显然弦所在的直线的斜率存在且不等于零，
设弦所在的直线方程为，
联立，消去可得，，
所以，
因为，所以，则，
所以，解得，所以，
所以，
所以弦的中点的坐标为，
所以弦的中点轴的距离为，
故选:C.
7．设，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线以及椭圆的定义，以及在焦点三角形中运用余弦定理建立关于双曲线和椭圆离心率的方程解出即可.
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义得：
，
，
设，
则在中由余弦定理得：
，
即
化简得：，
所以，
又因为双曲线的离心率为，
所以椭圆的离心率为，
故选：B.
8．已知点为圆上的一个动点，点为圆上的一个动点，为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】取点，则，将的最小值转化为距离，即可得到所求.
【详解】由题意可知：圆A的圆心，半径为，圆B的圆心，半径为，
为圆上一动点，为圆上一动点，
为坐标原点，
取，由，可得，则，
因为，当且仅当在线段上时，等号成立，
可得
，
当且仅当在线段上时，等号成立，
综上所述：，当且仅当在线段上时，等号成立.
故选：D.
二、多选题
9．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，点，是它的焦点，若一小球点弹出沿直线运动，经椭圆壁反弹，当它第一次回到点时，经过的路程可能为（ ）
A．2B．8C．10D．12
【答案】ACD
【分析】数形结合，利用椭圆定义及几何性质即可解题.
【详解】由题意得：，
如图，

光路1：，路程为，
光路2：，路程为，
光路3：，路程为.
故选：ACD.
10．已知点为圆上一点，点在圆外，若满足的点有且只有4个，则圆的半径可以取（ ）
A．B．C．2D．
【答案】BC
【分析】由点在圆外，求得，再求出为切线时，从而求得结果.
【详解】
由题意得解得，
如图所示，此时，且，
此时满足的点有个，
此时，故，解得，
故要满足的点有且仅有个，需要，
故选：BC
11．已知圆与圆交于A，两点，则（ ）
A．线段的中垂线方程为
B．直线的方程为：
C．公共弦的长为
D．所有经过A，两点的圆中，面积最小的圆是圆
【答案】BCD
【分析】根据线段的中垂线过两圆圆心可判断A；两圆方程消去二次项即可判断B；由弦长公式计算可判断C；判断是否为圆的直径即可判断D.
【详解】将两圆化为标准方程得，，
圆心分别为，半径分别为，
由圆的性质可知，线段的中垂线过圆心，斜率为，
由点斜式方程得，即，A错误；
由得直线的方程为，B正确；
圆心到直线的距离，
所以，C正确；
易知经过A，两点的圆中，以为直径的圆的面积最小，
因为，所以圆即是以为直径的圆，故D正确.
故选：BCD.
12．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．若点，则的最小值为5
C．
D．若点在抛物线准线上的射影为，则存在，使得
【答案】ACD
【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，运用相切的条件，解得直线的斜率，可判断A；由抛物线的定义和三点共线的性质2，可判断B；由，可判断C；由，可判断D.
【详解】
对于A，设直线的方程为，联立，得，
当且仅当与抛物线相切时，取得最大值，
由，得，
直线的斜率为，此时取得最大值，故A正确；
对于B，，则点在准线上的射影为，设到准线的距离为，则，
当且仅当三点共线时等号成立，故B错误；
对于C，由题意知，，且直线的斜率不为0，
则设直线的方程为，，，
联立直线与抛物线方程，整理得，
则，，
所以，，
则
，
故直线的倾斜角互补，所以，故C正确；
对于D，由题意知，，，
则，，
由，知，即三点在同一条直线上，
所以存在，使得，故D正确，
故选：ACD.
三、填空题
13．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】把给定方程化成标准形式，再利用椭圆的特征列式求解即得.
【详解】椭圆方程化为，
依题意，，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
14．已知椭圆的左焦点为，，是椭圆上关于原点对称的两点，若，则的面积为 .
【答案】1
【分析】求出，的坐标，即可得出三角形的面积.
【详解】由题意，
在椭圆中，，
，在椭圆上关于原点对称
∴，
设，
∴
∵，
∴
∴解得：或，
∴
∴，解得：，
故答案为：.
15．已知圆，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，当点在直线上运动，直线过定点，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】设，在以PC为直径的圆上，求出圆的方程，与已知圆相减得直线AB的方程，从而可求定点.
【详解】圆，∴圆心，半径，
点在直线上运动，设，
由题意知在以PC为直径的圆上，
圆的方程为，
化简得：，
与圆相减，得直线AB的方程：，
即，由，解得，
所以直线过定点.
故答案为：.
16．已知双曲线（，），分别为双曲线的左、右顶点及右焦点，点为双曲线右支上异于的动点，过作直线的垂线交与点，设点的横坐标为，则当最大时，双曲线的离心率为 .
【答案】2
【分析】分别求得A，B和F的坐标，设直线的方程为 ，与双曲线的方程联立，求得P的坐标，求得过F垂直于的直线方程，求得直线BP的方程，求出点纵坐标，可得t关于a,b的式子，再由换元法和二次函数的最值求法，可得所求最大值，进而可得离心率.
【详解】由已知，
直线的斜率明显存在且不为，设直线的方程为，
联立，消去得，
则，得，，
又过与直线的垂线的直线方程为，
直线的方程为，
联立得，
则，
令，，
则
当，即时，取最大值
此时离心率.
故答案为：.
四、解答题
17．已知的顶点，，.
(1)若直线过顶点，且顶点A，到直线的距离相等，求直线的方程；
(2)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心共线，这条直线称为欧拉线.求的欧拉线方程.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意可设直线，结合点到直线的距离公式运算求解；
（2）根据外心在的中垂线为可设，及到顶点距离相等列方程可得，结合重心求直线方程.
【详解】（1）若直线的斜率不存在，显然不合题意，可设直线，即，
由题意可得：，
整理得，解得或，
所以直线的方程或.
（2）因为的中垂线为，可设的外心，
又因为，可得，
则，解得，即，
由题意可知：的重心，则欧拉线的斜率为，
故的欧拉线的方程为，即.
五、未知
18．已知圆，，为坐标原点.
(1)若为圆上的动点，当最大时，求直线的斜率；
(2)若圆过点及点，且与圆外切，求圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出点的位置，即可得出直线的斜率；
（2）设出点坐标，利用圆与圆外切和圆到原点的距离即可得出圆的方程.
【详解】（1）在圆中，
，圆心，半径，
当最大时，与圆相切，,
此时点为的中点，
点恰好是以为圆心，为直径的圆与的交点，
此时,
∴,
（2）由题意及（1）得，
在圆中，
圆心，半径，
圆过点及点，
∴圆的圆心在直线上，
设，半径为，
因为圆与圆外切，
所以，即，
又，即，
∴联立解得：或(舍)，
所以，
故所求圆的标准方程为：.
六、解答题
19．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点.
(1)求的最小值；
(2)判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由.
【答案】(1)11
(2)在，理由见解析
【分析】（1）需对直线分斜率存在和不存在，分别将两种情况下的直线与抛物线联立，从而求解.
（2）由（1）知分情况对以为直径的圆对点进行验证，从而求解．
【详解】（1）从而求（2）由（1）中当直线斜率，由题意知：抛物线焦点，准线：，
直线过定点，且定点在抛物线内，所以得：直线的斜率不为0，
设直线方程为，
当时，直线率不存在，即直线方程为：，
此时：，，
所以：；
当时，即直线斜率存在时，得直线方程为：，
将直线与抛物线联立得：，化简得：，
，
设：，，由根与系数关系得：，
，
所以：当直线斜率存在时，的最小值为：.
综上所述：的最小值为：.
（2）在，理由如下：
由（1）知：当直线斜率不存在时：直线为：，，
以为直径的圆方程为：，
将代入得：，所以点在以为直径的圆上；
当直线斜率存在时：由（1）知：，，
，
所以得：，，
所以得：点在以为直径的圆上.
综上所述：点在以为直径的圆上.
七、未知
20．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，实轴长为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)设A，分别是双曲线的上，下顶点，是下焦点，过点的直线与曲线交于，两点，直线与相交于，求证：点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据渐近线方程和实轴长列方程可解；
（2）设，写出直线，的方程，求点纵坐标，利用韦达定理化简即可得证.
【详解】（1）由题可知，，所以，
因为双曲线的焦点在y轴上，且一条渐近线为，
所以，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由图可知，直线MN斜率存在，设方程为，，
易知，，
联立消去y得，
，，
因为，
所以直线方程为①，直线的方程为②，
联立①②消去x得，
将代入上式整理得，
即，
所以，
整理得，所以，即点Q在定直线.
八、解答题
21．已知圆，点，.
(1)若圆上存在点满足，求半径的取值范围；
(2)对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直关系可得以为直径的圆的方程为，即可根据两圆位置关系求解.
（2）根据中点坐标公式得到，，再将两点的坐标代入圆方程，建立方程组，根据方程组有解转化为圆与圆的位置关系进行求解．
【详解】（1）的中点为，所以以为直径的圆的方程为，
由于圆上存在点满足，
则P在以为直径的圆上，故该圆与有交点即可，
所以,解得
（2）由题可知，圆，所以圆心，
直线，
因为为线段上的任意一点，所以设，，，
因为为的中点，
所以，
又因为，都在以点为圆心的圆上，
所以，即，
所以方程组有解，即为圆心为半径的圆与为圆心为半径的圆有公共点，两圆圆心距离为，
所以对恒成立，
因为时，，所以，解得，
又因为在圆外，所以恒成立，所以，，所以，
所以，
22．已知点是椭圆的上、下顶点，点满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)经这点的动直线交椭圆于，两点，若与的斜率之和为定值，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，设点，坐标代入关系化简整理可得；
（2）由点为定点，设的斜率为，动直线，利用与椭圆相交解得的坐标，并代入直线的方程，构造关于都满足的一元二次方程，从而由斜率和为定值，得到的关系，从而求得点.
【详解】（1）由点是椭圆的上、下顶点，
则，由得，
，
化简整理得，，即，
且点的轨迹为以为圆心，为半径的圆.
故所求点的轨迹方程为；
（2）由（1）知，设的斜率为，
设动直线，由题意知，
直线，直线，
联立得，，
因为直线与椭圆交于两点，
所以，
因为点在直线上，
则，
化简得，，
同理可得，，
所以，是方程的两根，
由韦达定理知，，
由题意知与的斜率之和为定值，设（为常数），
则，代入直线方程得，
令，解得，代入直线方程得，
故直线过定点，又点在圆上，
则有，解得，即点的坐标为.
【点睛】在解析几何中，常常涉及到一些轮换对称性质的式子（如两根，如两斜率等等），由于式子中的量（如与，与）满足同样的代数关系，因此常用同构的代数方法来解决，其中最重要的同构手段则是构造二次方程，可以通过韦达定理得到题设或结论中的和、积、平方和等轮换对称式，从而找到关系解决问题.