2023-2024学年江苏省连云港市连云港高级中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省连云港市连云港高级中学高二上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据交集的定义直接求解即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：A.
2．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】确定，计算得到答案.
【详解】，则.
故选：C.
3．，是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A．分析方向；B．分析夹角；C．根据数量积计算结果进行判断；D．根据模长运算进行判断.
【详解】A．可能方向不同，故错误；
B．，两向量夹角未知，故错误；
C．，所以，故错误；
D．由C知，故正确，
故选：D.
【点睛】本题考查向量的模长和数量积运算以及向量相等的概念，主要考查学生对向量的综合理解，难度较易.
4．已知点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】计算直线斜率，再确定倾斜角即可.
【详解】直线的斜率，
设直线的倾斜角为，，则，.
故选：A.
5．圆心在轴上，并且过点和的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设圆心为，由可求出的值，可得出圆心的坐标，再求出圆的半径，即可得出所求圆的标准方程.
【详解】设圆心为，由可得，解得，
所以，圆心为，圆的半径为，
故所求圆的标准方程为.
故选：D.
6．已知是等差数列的前n项和，，则的值是（ ）
A．60B．30C．15D．8
【答案】A
【分析】利用等差数列的性质求解.
【详解】因为数列为等差数列，
所以.
故选：A
7．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合点在椭圆内部的特点、椭圆离心率公式进行求解即可.
【详解】根据椭圆的对称性，不妨设焦点在横轴上的椭圆标准方程为：，
设，设，
，
点在椭圆内部，有，
要想该不等式恒成立，只需，
而，
故选：B
8．已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】若圆上有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案.
【详解】由圆的方程，可得圆心为原点，半径为2，
若圆上有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于1，
又直线的一般方程为，
，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
二、多选题
9．已知直线，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则D．当时，不经过第一象限
【答案】BD
【分析】根据题意，由两直线的位置关系列出方程即可判断AB，由三角形的面积公式即可判断C，画出图像解析判断D.
【详解】由题知，当时，，解得，或，故A错误；
当时，可得，解得，故B正确；
在直线中，当，可得，当，可得，
所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C错误；

当时，的图像如上所示，故D正确；
故选：BD
10．在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据和点到直线的距离公式结合的面积是可得，；
由公式，可得，.
【详解】由题意得，设直线：即，
则点到直线的距离是，
所以，得，所以，
，，所以AC正确，
故选：AC.
11．已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点B．若，则的面积为
C．的最小值为D．的面积的最大值为2
【答案】ABD
【分析】A选项，直线变形后求出所过定点；
B选项，求出，进而由直线垂直关系得到，得到，从而求出到的距离和，求出面积；
C选项，求出到的距离的最大值，从而由垂径定理得到的最小值；
D选项，表达出面积为，利用基本不等式求出最大值.
【详解】A选项，直线变形为，
所以直线过定点，A选项正确；
B选项，易知道，若直线，则，解得，
此时直线，
到的距离，则，
故的面积为，B选项正确；
C选项，由A选项知，直线过定点，
所以到的距离的最大值为，
由于，故此时取得最小值，
最小值为，C选项错误；
D选项，设到的距离为，
则面积为，
当且仅当，即时，等号成立，D选项正确．
故选：ABD．
12．已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．数列为递减数列B．
C．的最大值为D．
【答案】ABC
【分析】根据等差数列的性质可得，则，即可判断AB，根据数列的单调性即可判断C，根据等差数列前n项求和公式计算即可判断D.
【详解】因为，故，，所以等差数列为递增数列，故AB错误；
因为时，，当时，，所以的最小值为，故C错误；
因为，故D正确.
故选：ABC
三、填空题
13．已知直线，直线，若，则= .
【答案】2
【分析】根据直线的平行可得出关于m的方程，求得m的值，检验后即得答案.
【详解】由题意直线，直线，
若，则有，
即，解得或，
当时，，直线，两直线重合，不合题意，
当时，，直线，则，
故
故答案为：2
14．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为 .
【答案】
【分析】根据题意得出半径，即可得出圆的标准方程.
【详解】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为1，
故圆的标准方程是.
故答案为：
15．等比数列中，，，则 ．
【答案】108
【分析】根据等比数列的性质可得，求得，继而根据求得答案.
【详解】由题意等比数列中，，，
设等比数列的公比为q，则，
故，
故答案为：108
16．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】先运用椭圆与双曲线的基本量的关系，依据椭圆与双曲线的焦点相同得到，最后利用基本不等式中“1”的妙用，将化为积定的形式，运用基本不等式求出最小值.
【详解】先根据椭圆的基本量关系式得到椭圆的焦点分别为点与点，
于是点与点也是双曲线的两个焦点，
因此，最后使用基本不等式中“1”的代换，
于是就有（当且仅当时取等号），
因此的最小值为9．
故答案为：9
四、解答题
17．已知的内角的对边分别为，且．
(1)求角B；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意由正弦定理和正弦的二倍角公式可得，结合角的范围即可求得；
（2）由（1）中以及，利用余弦定理计算可解得，再由三角形面积公式即可得的面积.
【详解】（1）根据，由正弦定理可得，
又，所以可得，即；
因为，所以
即．
（2）由结合（1）中的结论，
由余弦定理可得，即，
解得，即，
所以．
即的面积为.
18．已知直线与直线交于点.
(1)求过点且平行于直线的直线的方程；
(2)求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）首先求得交点坐标，然后利用待定系数法确定直线方程即可；
（2）讨论直线在两坐标轴上的截距是否为0进行求解即可．
【详解】（1）联立，解得，即，
由题意，设直线的方程为，
将代入直线方程，得，即，
所以直线的方程为.
（2）当直线在两坐标轴上的截距为0时，直线的斜率为，
则直线的方程为，即；
当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线的方程为，
将代入直线方程，得，即，
所以直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
19．已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.
(1)求圆的方程；
(2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可;
（2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可.
【详解】（1）由已知可设圆心，则，解得或（舍），
所以圆的方程为.
（2）设圆心到直线的距离为，则，
即，解得，
又，所以，解得，
所以直线的方程为或
.
20．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为6，离心率为；
(2)经过点，离心率为，焦点在x轴上；
(3)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】(1)根据离心率与长轴的定义，求解出椭圆的、、，再按焦点所在坐标轴分别写出椭圆的标准方程即可；
(2)根据离心率与顶点坐标的定义，求解椭圆的、、即可
(3)根据为等腰直角三角形，利用勾股定理求解出、、的关系即可.
【详解】（1）由题意得：，则，
又因为，所以，
则由椭圆的几何性质得：，所以，
所以椭圆的标准方程为：或.
（2）因为椭圆的焦点在轴上，由题设得：，
又因为，所以，
则由椭圆的几何性质得：，所以，
所以椭圆的标准方程为：.
（3）设椭圆标准方程为：，
如图所示，为等腰直角三角形，为斜边上的中线，且，，
又因为焦距为6，所以，
则由椭圆的几何性质得：，
所以椭圆的标准方程为：.
21．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点
(1)求双曲线的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用双曲线参数关系及点在双曲线上列方程求，即得方程；
（2）根据所得双曲线方程确定，且到轴距离为，结合三角形面积公式求面积即可.
【详解】（1）由且，则，
又点在双曲线上，则，
综上，，即双曲线的方程为.
（2）由（1）知：，而到轴距离为，
所以的面积为.
22．已知数列满足：．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）将整理变形即可得为定值，利用等比数列定义即可得出证明；
（2）由（1）中的结论利用等比数列即可求得，再由分组求和利用等比数列前项和公式计算可得结果.
【详解】（1）由可得，
又，可得为定值，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，，可得，
即数列的通项公式为
所以数列的前项和为
．
即.