2023-2024学年陕西省渭南市澄城县高二上学期期中文化课检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省渭南市澄城县高二上学期期中文化课检测数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若两条直线l1：x+2y–6=0与l2：2x+ay+8=0平行，则l1与l2间的距离是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据两直线平行，得到关于的方程，求出的值，再由平行线间的距离公式，得到答案.
【详解】两条直线l1：x+2y–6=0与l2：2x+ay+8=0平行，
则，解得a=4．
所以直线l2：2x+4y+8=0可化为x+2y+4=0，
所以两直线间的距离．
故选A．
【点睛】本题考查由直线平行求参数的值，两条平行线间的距离，属于简单题.
2．圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】A
【分析】运用几何法 与 的关系判断圆与直线位置关系即可.
【详解】圆的圆心为，半径为1，
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系为相交.
故选：A.
3．若，，则直线不经过第象限（ ）
A．一B．二C．三D．四
【答案】D
【分析】将直线方程化为，由斜率以及纵截距的正负判断即可.
【详解】依题意、、均不为，所以直线可化为，
因为，，所以，，
所以直线的斜率为正，纵截距为正，
即直线通过第一、二、三象限，不通过第四象限.
故选：D
4．已知是椭圆上的一点，则点到两焦点的距离之和是（ ）
A．6B．9C．14D．10
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义，可求得答案.
【详解】由可知： ，
由是椭圆上的一点，
则点到两焦点的距离之和为 ，
故选：A
5．直线在轴上的截距是-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设直线 的倾斜角是 ，则直线的倾斜角为
∵ ，∴直线m的斜率∴直线的斜截式方程为：， ，故选B
6．抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把给定方程化为标准形式即可得解.
【详解】由得，此抛物线的焦点，
所以抛物线的准线方程为.
故选：D
7．已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设点，取，可得，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值.
【详解】设点，其中，则，，
取，则，
可得，因为，可得，解得，则，
因此，.
故选：D.
8．若双曲线的实轴的两个端点与抛物线的焦点是一个等边三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件可得出，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线的实轴端点为，抛物线的焦点坐标为，
由题意可得，即，因此，该双曲线的离心率为.
故选：C.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
二、多选题
9．已知方程，其中，则（ ）
A．时，方程表示椭圆
B．时，方程表示双曲线
C．时，方程表示抛物线
D．时，方程表示焦点在轴上的椭圆
【答案】BD
【解析】当时，表示双曲线，时表示焦点在x轴上的双曲线，表示焦点在y轴上的双曲线；当时表示焦点在y轴上的椭圆，当时表示焦点在x轴上的椭圆.
【详解】若，则不表示椭圆，故A错误；
若，则表示焦点在x轴上的双曲线，若，则表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确；
当时，若，则方程表示两条垂直于x轴的直线，若则不表示任何图形，故C错误；
时，，表示焦点在x轴上的椭圆，D正确.
故选：BD
【点睛】本题考查圆锥曲线的标准方程，由标准方程判断焦点的位置，属于基础题.
10．在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法正确的是（ ）
A．点到平面的距离为2
B．点关于轴的对称点为
C．点到轴的距离为
D．点关于平面的对称点为
【答案】ACD
【分析】利用空间点的坐标特征，空间点关于坐标轴、平面对称的点的坐标特征，逐一对各个选项分析判断即可求出结果.
【详解】对于选项A，因为点，所以到平面的距离为2，故选项A正确；
对于选项B，点关于轴的对称点为，故选项B错误；
对于选项C，因为，到轴的距离为，故选项C正确；
对于选项D，因为，所以点关于平面的对称点为，故选项D正确.
故选：ACD.
11．下列说法正确的有（ ）
A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B．直线过定点
C．过点斜率为的点斜式方程为
D．斜率为，在y轴截距为3的直线方程为．
【答案】ABC
【解析】由直线过一、二、四象限，得到斜率，截距，可判定A正确；由把直线方程化简为，得到点都满足方程，可判定B正确；由点斜式方程，可判定C正确；由斜截式直线方程可判定D错误．
【详解】对于A中，由直线过一、二、四象限，所以直线的斜率，截距，
故点在第二象限，所以A正确；
对于B中，由直线方程，整理得，
所以无论a取何值点都满足方程，所以B正确；
对于C中，由点斜式方程，可知过点斜率为的点斜式方程为，所以C正确；
由斜截式直线方程得到斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，
所以D错误．
故选：ABC．
【点睛】本题主要考查了直线的方程的形式，以及直线方程的应用，其中解答中熟记直线的点斜式的概念及形式，以及直线的斜率与截距的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
12．已知椭圆的两个焦点分别为，与轴正半轴交于点，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆标准方程的选项是（ ）
A．是等腰直角三角形
B．已知椭圆的离心率为，短轴长为2
C．是等边三角形，且椭圆的离心率为
D．设椭圆的焦距为4，点在圆上
【答案】BD
【分析】对每个选项依次计算判断，简单计算即可.
【详解】对A，若是等腰直角三角形可知，没具体数据得不出方程；
对B，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则，由
所以，所以椭圆标准方程为，故B正确；
对C，是等边三角形，且椭圆的离心率为，所以，，数据不足，得不到结果；
对D，设椭圆的焦距为4，点在圆上，所以，
由，所以，所以椭圆方程为，故D正确
故选：BD
三、填空题
13．若直线：恒过定点，则定点坐标为 .
【答案】
【分析】首先整理可得，解方程组即可得解.
【详解】由可得：
，
所以，
解得，所以定点坐标为，
故答案为：.
14．经过点，且被圆所截得的弦最短时的直线的斜率为 ．
【答案】/
【分析】确定圆心为，当直线与垂直时，弦最短，计算得到答案.
【详解】圆，即，圆心为，
当直线与垂直时，弦最短，，故直线的斜率为.
故答案为：
15．已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是 .
【答案】//
【分析】首先由题意先根据模长公式、数量积公式分别求出，最后根据夹角公式进行计算即可.
【详解】由题意，
，
，
所以，即与的夹角是.
故答案为：.
16．过双曲线C：的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为H，直线FH与C交于点P，，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】不妨设点H在第一象限，根据题意可得，然后利用椭圆的定义和余弦定理即可求解.
【详解】由，可知点P在线段FH上，且，如图所示，根据双曲线的对称性，不妨设点H在第一象限，
设O为坐标原点，则直线OH的方程为．由，则点到直线距离为，
又，则．由，可知．设双曲线C的左焦点为，连接，
由双曲线的定义可知，在中，由余弦定理可得，
整理得，即，，则，，所以C的离心率．
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线经过点，且斜率为.
(1)求直线的方程；
(2)若直线与直线平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据点斜式写出直线方程并化为一般式即可；
（2）由直线与直线平行，可设直线的方程为，根据点到直线的距离公式代入点坐标即可解出参数，进而得出答案.
【详解】（1）由点斜式写出直线的方程为，
即.
（2）由直线与直线平行，可设直线的方程为，
由点到直线的距离公式，得，
即，解得或，
直线的方程为或.
18．如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在正方体的体对角线上，点在正方体的棱上．当点为体对角线的中点，点在棱上运动时，求的最小值．
【答案】
【分析】设，根据题意，利用空间两点的距离公式计算即可，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】依题意知，设点，
则，
所以当时，，
此时，Q恰为CD的中点．
所以的最小值为.
19．（1）求经过点的抛物线的标准方程；
（2）双曲线的一条渐近线方程为，两准线之间的距离为，求此双曲线的方程；
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）由点的位置考虑抛物线有两种形式,设出抛物线方程代入点坐标即可；（2）由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为，由所设方程求得准线方程解出的值，可求出双曲线的方程.
【详解】解：（1）由题意得抛物线的焦点在轴的负半轴或轴的正半轴.
若抛物线的焦点在轴的负半轴上，设其标准方程为
因为抛物线过点，所以，，所以.
若抛物线的焦点在轴的正半轴上，设其标准方程为.
因为抛物线过点，所以，，所以.
综上，所求抛物线的标准方程为或.
（2）由题意得双曲线的焦点在轴上，一条渐近线方程为，故所求双曲线的标准方程为，
两准线距离为，所以，，
所求双曲线的标准方程为.
20．已知点，，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过抛物线上一点作曲线的两条切线分别交抛物线于，两点，求直线的斜率.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据线段的数量关系，结合两点距离公式，即可得动点的轨迹的方程；
（2）由题意可设切线方程为，联立轨迹的方程，根据求k值，再将所得两切线方程与抛物线联立求，纵坐标，结合求斜率.
【详解】（1）设，由，，，
∴可得：，
故动点的轨迹为；
（2）由题意知，切线斜率存在且不为，设切线方程为，
联立，得，化简得，
，解得，
∴切线方程为和，
联立，，解得，，
∴.
【点睛】关键点点睛：
（1）设动点，根据题设，应用两点距离公式求轨迹；
（2）设切线方程(注意斜率是否存在)，根据与轨迹相切有求斜率，再求两切线与抛物线的交点纵坐标，应用两点式求斜率
21．从点出发的一束光线l，经过直线反射，反射光线恰好通过点，
（1）求反射光线所在的直线方程
（2）求入射光线l所在的直线方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先求出点关于直线的对称点，再根据点，点在反射光线所在的直线，即可由点斜式求出结果.
（2）先求出点关于直线的对称点，再根据点，点在入射光线所在的直线，即可由点斜式求出结果.
【详解】(1) 设关于直线的对称点为，
则，解得
，依题意知在反射光线上．
又也在反射光线上，，故所求方程为，
整理得：．
(2)设关于直线的对称点为，
则，解得
，依题意知在入射光线上．
又也在入射光线上，，故所求方程为，
整理得：．
【点睛】本题主要考查与直线关于点、直线对称的直线方程，属于基础题型
22．已知抛物线C：y2＝4x．
(1)若C与圆G：（x﹣4）2+y2＝13在第一象限内交于M，N两点，求直线MN的方程；
(2)直线l过点D（﹣1，0）交C于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，直线AE交x轴于点P，求证：P为定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）抛物线方程与圆方程联立解得交点的坐标，求出斜率后可得直线方程；
（2）设直线l方程为x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），E（x2，﹣y2），直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，从而求得，由此可得直线所过定点．
【详解】（1）联立，解得或，
故，可得直线MN的方程为，即，
（2）证明：由题意，可设直线l方程为x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），E（x2，﹣y2），
联立直线l与抛物线方程，化简整理可得，y2﹣4my+4＝0，
由韦达定理可得，y1y2＝4，
由题意，可设直线AE方程为x＝ny+b，
，化简整理可得，y2﹣4ny﹣4b＝0，
∴＝﹣4b＝﹣4，解得b＝1，
∴AE方程为x＝ny+1，
∴直线AE必过点（1，0），
∴P为定点（1，0），即得证．