2023-2024学年陕西省榆林市第十中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省榆林市第十中学高二上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角的定义即可求解.
【详解】直线即的倾斜角为，
故选：C.
2．若向量，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件应用空间向量数量积及模长公式逐项计算检验即可．
【详解】若，，
则，，故D正确；
，所以B错误；
，故A错误；
显然与不平行，故C错误；
故选：D．
3．过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，进而即得．
【详解】由已知，可设所求直线的方程为：，
即，
又因为此直线与直线平行，
所以：，
解得：，
所以所求直线的方程为：，即．
故选：A．
4．若直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A．B．1或C．或3D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，即可求解.
【详解】由圆可化为，可圆心坐标为，半径为，
因为直线与圆相切，
可得圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或.
故选：C.
5．已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交椭圆于、两点．若的周长为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依据题意得到，并结合，简单计算即可.
【详解】如图，

由题可知：，则
所以椭圆方程为：
故选：C
6．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长.
【详解】由已知，圆，圆心坐标为，半径为，
所以点到直线的距离为，
所以，直线被圆截得的弦长为.
故选：A.
7．已知椭圆E：与直线相交于A，B两点，O是坐标原点，如果是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意不妨设点B在第一象限， 则，结合直线OB的斜率运算求解即可.
【详解】联立方程，解得，
不妨设点B在第一象限， 则，
由题意可知：OB的倾斜角是，则，
所以椭圆的离心率.
故选：C．

8．已知圆，过原点作圆的弦，则的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设点，其中，则点，将点的坐标代入圆的方程，化简可得点的轨迹方程.
【详解】设点，其中，则点，
将点的坐标代入圆的方程可得，即，
所以，点的轨迹方程为.
故选：C.
二、多选题
9．关于直线，下列说法正确的有（ ）
A．直线的斜率为B．直线的倾斜角为
C．在轴上的截距为2D．直线经过第二､三､四象限
【答案】BD
【分析】根据直线画出图象，结合图象，分别判断四个选项即可.
【详解】
如图画出直线方程，
对于A，因为，即，所以直线的斜率为，故A错误；
对于B，因为直线斜率为，所以倾斜角为，故B正确；
对于C，当时，，所以在轴上的截距为，故C错误；
对于D，由图知，直线经过第二､三､四象限，故D正确；
故选：BD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．点到直线的距离为
B．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4.
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为.
【答案】ABC
【分析】根据点到直线的距离公式判断A；倾斜角和斜率的关系判断B；求出直线与两坐标轴交点，利用三角形面积公式判断C；截距相等，分直线过原点和不过原点两种情况判断D.
【详解】对于A，点到直线的距离为，故A正确；
对于B，任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，如与轴垂直的直线，故B正确；
对于C，直线与两坐标轴的交点为，，与两坐标轴围成的三角形面积为，故C正确；
对于D，当直线过原点时，过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，
当直线不过原点时，过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，
故D错误，
故选：ABC.
11．已知直线和圆.则（ ）
A．无论为何值，直线与圆总相交
B．直线被圆截得的最长弦长为5
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．直线被圆截得的弦长最短时，
【答案】ACD
【分析】根据直线所过的定点在圆内可判断选项A;利用过圆心的弦最长，以及垂直于最长弦的弦最短可求解选项B,C；利用垂直与斜率的关系可求解选项D.
【详解】
由直线可得，，
所以直线恒过定点，
又因为圆心,半径，
点到圆心的距离为，
所以点在圆内，所以无论为何值，直线与圆总相交，A正确；
当直线过圆心时，被圆截得的弦最长，最长为，B错误；
当时，直线被圆截得的弦最短为，C正确；
时，,所以，解得，D正确；
故选:ACD.
12．如图，在矩形中，，，为中点，现分别沿将、翻折，使点、重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ）

A．
B．三棱锥的体积为
C．直线与直线所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】AC
【分析】根据线面垂直的判定可证明平面可判断A；再根据即可判断B；先利用余弦定理求出，将用表示，利用向量法求解即可判断C；利用等体积法求出点到平面的距离，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为即可判断D；
【详解】对于A，由题意可得，
又平面，
所以平面，又平面，故，故A正确；
对于B，在中，，边上的高为，
所以，故B错误；
对于C，在中，，
，
所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故C正确；
对于D，，
设点到平面的距离为，
由，得，解得，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故D错误；
故选：AC
三、填空题
13．若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则 ．
【答案】4
【分析】根据椭圆中基本量的关系得到关于m的方程，解方程得到m的值.
【详解】因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为4，
所以，
解得.
故答案为：4.
14．已知，则在上的投影向量为 .
【答案】
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，
设与的夹角为，则，
所以在上的投影向量为，
故答案为：.
15．若直线与直线垂直，则实数的值为 .
【答案】或
【分析】利用两直线位置关系计算即可.
【详解】由题意可知或.
故答案为：或
16．已知点，，点在直线：上运动，则的最小值为 .
【答案】7
【分析】结合图象，求出点关于直线的对称点为，的最小值即为，解出即可.
【详解】如图：

设点，关于直线的对称点为，
则，解得则，
则
,
故答案为：
四、解答题
17．已知空间三点，，，设 ， .
(1)求 与 的夹角的余弦值；
(2)若向量 与互相垂直，求的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据空间向量夹角公式求解即可.
（2）根据题意得到，再解方程即可.
【详解】（1），.
.
（2），.
因为向量 与互相垂直，所以，
即，解得或.
18．已知圆过点，且圆心在直线
(1)求圆的方程；
(2)若直线过定点，且与圆相切，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）可由圆心在直线上设其坐标，再利用计算即可；
（2）利用直线过定点及直线与圆的位置关系计算即可.
【详解】（1）由题意可设圆心，则由题意可知，
所以半径，即圆C的方程为；
（2）易知当切线斜率不存在时，此时与圆相切，符合题意；
当切线斜率存在时，可设，
则圆心到切线的距离为，解之得，
即，
所以该切线方程为：或.
19．如图，在正方体中，棱长为分别是的中点.
(1)证明：.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】建立空间直角坐标系，应用向量证明垂直关系和求解角度.
【详解】（1）
如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则
则，
，
则；
（2）设平面的一个法向量为，
，则，则，
令，，则，
设直线与平面所成角为.
则直线与平面所成角的正弦值为.
20．已知圆，圆.
(1)分别将圆和圆的方程化为标准方程，并写出它们的圆心坐标和半径；
(2)求圆与圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
【答案】(1)的圆心为，半径为，的圆心为，半径为
(2)
【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心和半径；
（2）两圆相减得到公共弦所在直线方程，利用点到直线距离公式和垂径定理得到弦长.
【详解】（1）变形为，圆心为，半径为，
变形为，圆心为，半径为；
（2）与相减得到公共弦所在直线方程，
即，整理得：，
圆心到直线的距离为，
故公共弦长为.
21．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【分析】（1）连接交于点，连接，易得，从而得证；
（2）以点为坐标原点，，，分别为，，轴的正向建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式可得结果.
【详解】（1）连接交于点，连接，
∵，分别为，的中点，∴.
又平面，平面，
∴平面.
（2）解：∵平面，
∴.
又∵是正方形，∴.
∴平面.
以点为坐标原点，，，分别为，，轴的正向建立空间直角坐标系，
各点坐标如下：，，，，，.
设平面的法向量为，
则，
∴.
∵平面，，
∴取平面的法向量为，
，
∴二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系及空间向量法的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
22．已知椭圆的长轴是短轴的倍，且右焦点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程；
（2）联立直线和椭圆的方程，求出的坐标，得到，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，由此求得的面积．
【详解】（1）因为长轴是短轴的倍，所以，
因为右焦点为，所以，
结合，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，
由，得，解得， ，
即，则，
点到直线的距离，
则的面积．