2023-2024学年新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学高二上学期期中数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若直线l经过点，，则直线l的斜率为（ ）
A．－4B．4C．－3D．3
【答案】A
【分析】根据两点间斜率公式计算即可.
【详解】直线l的斜率为．
故选：A.
2．圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．，3B．，3
C．，1D．，1
【答案】A
【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得解.
【详解】将圆化为标准方程得，
所以圆心坐标为，半径为.
故选：A.
3．已知直线过定点M，则点M关于直线对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，联立方程组求解定点，再求解点关于直线的对称点，利用垂直平分性质建立方程组求解即可.
【详解】直线过定点，
由，解得，
则定点为.
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
则关于直线r的对称点的坐标为.
故选：C.
4．抛物线的焦点到点的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标，再利用两点距离公式求出答案.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，则．
故选：C
5．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神州十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神州十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神州十六号的飞行轨道的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得到，，解得，，得到离心率.
【详解】根据题意：，，解得，，
故离心率.
故选：D
6．双曲线C与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆方程求得半焦距，则渐近线方程及焦点位置设出双曲线方程，再由半焦距求得参数值得双曲线标准方程．
【详解】由题意知，设双曲线的方程为，∴，∴，∴.
故选:A.
7．17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局而，创立了新分支——解析几何.我们知道，方程在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面.那么，过点且为法向量的平面的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据空间直角坐标系的特征判断即可，再由在空间直角坐标系中，若法向量为，且平面过点，那么平面方程为计算即可.
【详解】设是该平面内的任意一点，则
过点且法向量为的平面的方程为，整理得.
故选：D
8．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，四边形是等腰梯形，，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，可得，利用椭圆的性质得，再结合椭圆的定义求出等腰三角形底角的余弦值并列式求解即得.
【详解】令椭圆的半焦距为c，依题意，，如图，

由椭圆性质知，椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的距离，
于是，解得，，
在中，，
显然，解得，
所以的离心率的取值范围是.
故选：B
二、多选题
9．已知直线：，：，且，则（ ）
A．B．
C．与直线垂直D．与与间的距离为
【答案】ACD
【分析】根据两直线平行的系数要求，求出的值，然后根据垂直要求判断直线是否垂直，根据平行线间距离公式求其距离.
【详解】当时，则，解得或．
若，则：，：，，重合，故不符合题意；
若，则：，：，，所以与间的距离为．
由，得与直线垂直．
故选：ACD.
10．已知，分别是双曲线：的上、下焦点，点P在上，且的实轴长等于虚轴长的2倍，则（ ）
A．B．
C．的离心率为D．的渐近线方程为
【答案】BCD
【分析】根据双曲线方程及焦点位置求判断A，根据双曲线定义判断B，求出离心率判断C，求出渐近线方程判断D.
【详解】由题意，，且，
所以，解得，故A错误；
因为，由双曲线定义知，故B正确；
因为，，所以，故离心率，故C正确；
因为双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为，即，故D正确.
故选：BCD
三、单选题
11．已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．圆与圆公共弦所在直线的方程为
B．圆与圆有两条公切线
C．是圆与圆的一条公切线
D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2
【答案】C
【分析】根据两圆圆心距离等于半径和即可得两圆外切判断AB，根据直线与两圆都相切判断C，根据圆心到直线距离等于半径判断D.
【详解】由条件可得：圆：的圆心为，半径；
圆：的圆心为，半径.
因为，所以圆与圆外切，选项A，B错误；
对于选项C，圆心到直线的距离；
圆心为到直线的距离，
所以是圆与圆的一条公切线，选项C正确；
对于选项D，圆心到直线的距离，
所以圆：上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D错误.

故选：C
四、多选题
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若，则
C．满足为等腰三角形的点只有2个
D．的取值范围为
【答案】ABD
【分析】根据已知椭圆的焦点以及通经，建立方程，解得标准方程；
对于A，利用动点的位置变化，研究的取值范围，可得答案；
对于B，根据椭圆的几何性质以及三角形余弦定理，建立方程，可得答案；
对于C，利用分类讨论，建立方程，求动点坐标，可得答案；
对于D，利用余弦定理结合的取值范围，结合不等式性质，可得答案.
【详解】由椭圆的左右焦点分别为、，则，
将代入，则，解得，则，，
由，则，即，将其代入，可得，
化简可得，由，解的，所以.
对于A，当点为椭圆的上顶点时，最大，如下图：

由椭圆，则，，在中，，
易知此时，所以的取值范围为，故A正确；
对于B，根据题意可作图如下：

设，，则，，
在中，根据余弦定理，则，
所以，整理可得，
则，故B正确；
对于C，设，，则，，
当时，为等腰三角形，易知此时的坐标为或，
当时，为等腰三角形，此时，设，
则，消去化简可得，
由，则方程有解，故C错误；
对于D，设，，则，
则，
在中，根据余弦定理可得：，
则，
化简可得，由选项A可知，
则，，所以，
解得，故D正确.
故选：ABD.
五、填空题
13．已知倾斜角为45°的直线经过点，，则的值为 .
【答案】4
【分析】已知倾斜角可以求出斜率，利用斜率公式，可以得到方程，解方程求出的值.
【详解】由题意可知：直线的斜率，.
【点睛】本题考查了斜率与倾斜角的关系、斜率的公式,同时考查了运算能力.
14．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为 ．
【答案】2x＋y－7＝0
【解析】过一点作圆的切线只有一条，说明点在圆上，根据垂直关系即可求该切线方程.
【详解】∵过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，
∴点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，
∵圆心与切点连线的斜率k＝＝，
∴切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
故答案为：2x＋y－7＝0
【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，过一点作圆的切线的条数与点和圆的位置关系的辨析.
15．在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，写出对应点坐标，利用空间向量的数量积计算即可.
【详解】
不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴
建立空间直角坐标系，则，
则，.
故答案为：.
六、双空题
16．已知直线l过抛物线C：的焦点，与C相交于两点，且.若线段的中点的横坐标为3，则 ；直线l的斜率为 .
【答案】 4
【分析】先利用抛物线定义求得的值，再利用设而不求的方法依据弦长公式列方程，解之即可求得直线l的斜率.
【详解】抛物线C：的焦点，
令，由，
可得
又，则，则，
此时抛物线C：，其焦点，
由题意可得直线l的斜率存在，则其方程可设为，
由，整理得
则，则，
即，
即，解之得
故答案为：4，
七、解答题
17．已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，．
(1)求AB边中线所在直线的方程；
(2)求△ABC外接圆的一般方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出线段AB的中点坐标，然后利用两点式可求出AB边中线所在直线的方程；
（2）设△ABC的外接圆为，然后解方程组可求得答案.
【详解】（1）因为，，
所以线段AB的中点坐标为，又因为，
所以AB边中线所在直线的方程为，即；
（2）设△ABC的外接圆为，则
，解得，
所以圆方程为.
18．如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线面角即可.
【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
底面，底面，
又，，
且平面,
平面，
所以是平面的一个法向量．
因为，
所以．
又平面，所以平面．
（2）因为，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
由，解得，令，
得平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
故：直线与平面所成角的正弦值为．
19．（1）求焦点在轴上，离心率为，短轴长为的椭圆的标准方程；
（2）求经过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设椭圆方程，根据离心率和短轴长，求出，得到椭圆的标准方程.
（2）设双曲线方程，根据渐近线方程，过点，求出双曲线的标准方程.
【详解】（1）由题设所求椭圆标准方程为，由题，即，
又，，解得，
所以，所求椭圆的标准方程为.
（2）法1：（1）当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为，
由双曲线经过点得①
由双曲线的渐近线方程为得②
由①②解得，，，
此时，所求双曲线方程为.
（2）当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为，
由双曲线经过点得①
由双曲线的渐近线方程为得②
不存在同时满足①②的，.
综上所述，所求双曲线的标准方程为.
法2：由渐近线方程为可设所求双曲线的方程为，
又双曲线经过点，则有，
∴所求双曲线的标准方程为.
20．已知抛物线C：过点，焦点为F．
(1)求过点P的抛物线C的切线方程；
(2)从点F发出的光线经过点P被抛物线C反射，求反射光线所在的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线C过点，求得抛物线C的方程后，设出切线方程，直线与抛物线联立，消元后，利用，解出即可；
（2）根据反射关系，求出点F关于过点P的抛物线C的切线方程的对称点，然后可以得到反射光线所在的直线.
【详解】（1）由抛物线C：过点得，
解得，所以，所求抛物线C的方程为．
由题可设切线方程为，
联立，
消去x并整理得：，
令，
解得，
所以，所求切线方程为．
（2）由题点F发出的入射光线所在的直线与反射光线所在的直线关于抛物线C在点P处的切线l对称，又,
设点F关于点P处的切线l的对称点为，
则由的中点在l上及得：，
解得，即，
所以，所求反射光线所在的直线方程为．
21．如图，在直三棱柱中，，，，点D是线段BC的中点.请用空间向量的知识解答下列问题：

(1)求证：；
(2)求平面和平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可得证；
（2）求出平面的法向量，利用向量夹角公式计算即可.
【详解】（1）直三棱柱中，平面，又，所以两两互相垂直，
以A为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，
，
，
即.
（2）由点D是线段BC的中点，可得，
则，
设平面的法向量，
则，令，则，
所以，
又平面的一个法向量可取，
所以.
所以平面和平面夹角的余弦值为.
22．在平面直角坐标系中，已知点，，点满足.记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线交于，两点，，为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由椭圆的定义得到轨迹方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，求出，设直线的方程为，设，，得到两根之和，两根之积，根据根的判别式和位置关系得到，表达出，四边形的面积，求出最大值.
【详解】（1）因为，
由椭圆定义，轨迹是以点，为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆方程为，
则，∴
又∵，则，
∴椭圆的方程为；
（2）由，解得或，
因此.
设直线的方程为，设，.
由得.
，故.
又，的交点在，之间，故.
因为直线的斜率为1，
所以.
又四边形的面积，
当时，取得最大值，最大值为，
所以四边形面积的最大值为.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．