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2023-2024学年安徽省阜阳市第三中学高二上学期12月二调（期中）数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年安徽省阜阳市第三中学高二上学期12月二调（期中）数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，下列说法中不正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教A版选择性必修一+选择性必修二第一章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.设数列是公比为的等比数列，.若数列的连续四项构成集合，则公比为（ ）
A.16 B.4 C.-4 D.-16
3.已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A.2 B.3 C.2或-3 D.-2或3
4.如图，在三棱柱中，若为的中点，则可表示为（ ）
A. B.
C. D.
5.设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值为（ ）
A. B. C.2 D.
6.月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
7.已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法中不正确的是（ ）
A.若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大
B.直线的倾斜角的取值范围是
C.过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
10.在三棱锥中，是直二面角，，如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.平面的法向量与平面的法向量垂直
C.异面直线与所成的角为
D.直线与平面所成的角为
11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A.平分
B.
C.延长交直线于点，则三点共线
D.
12.设数列，如果，且，对于，使成立，则称数列为数列.则下列说法正确的是（ ）
A.数列是数列
B.若数列是数列，且，则的最小值为3
C.若数列是数列，且，则为奇数
D.若数列是数列，且，则存在，使
三､填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13.圆与圆的公共弦的长为__________.
14.在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，则为__________.
15.已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，则数列的前20项的和为__________.
16.已知分别是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于，两点.若四边形的面积为，则的离心率为__________.
四､解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知首项为1的正项等比数列，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的最小值.
18.（12分）
某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为1米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离米.在建筑物底面中心的北偏东方向米的点处，有一台全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：
（1）在西辅道上与建筑物底面中心距离2米处的游客，是否在摄像头监控范围内？
（2）求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度.
19.（12分）
如图，在正四棱锥中，，正四棱锥的体积为，点为的中点，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20.（12分）
已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
21.（12分）
焦点在轴上的双曲线经过两点.过点的直线与双曲线交于，过点的直线与直线相交于点且.
（1）求双曲线的方程；
（2）若，求直线的斜率.
22.（12分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为，
（i）求证：为定值；
（ii）当两条切线分别交椭圆于时，求证：为定值.
阜阳三中2023~2024学年度高二年级第一学期数学学科二调考试
参考答案､解析及评分细则
1.C 因为椭圆的焦点坐标为，所以，记，所以，所以，所以，所以双曲线的标准方程为.故选C.
2.C 由题意等比数列的连续四项构成集合，则可知等比数列的项一定为正负相间，公比为负，由于，故后一项绝对值大于前一项的绝对值，故集合中的这四个数在数列中排列为，则.故选C.
3.A 根据题意，由两直线平行可得，即，解得或；经检验-3时，两直线重合，不合题意；所以.故选A.
4.A 由题意可知，，因为，，所以.故选A.
5.B 抛物线的焦点，准线方程为，延长交准线于，连，显然垂直于抛物线的准线，由抛物线定义知：，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，而，所以的最小值为.故选B.
6.B 由题意知，半圆的方程为，设椭圆方程为，则，所以，故椭圆方程为，设，则，所以，设，则，所以，故.故选B.
7.B 当时，，由，得，即，在且时恒成立，，解得.当时，单调递增，若对任意，都有，则且，即且，解得，则实数的取值范围是.故选B.
8.D 如图，过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作于点表示的长度，因为直线的方程为，所以，即，当固定点时，为定值，此时为零时，最小，即平行于轴，所以当垂直直线时，最小，如图所示，此时，，根据直线的斜率为-3，得，所以，故D正确.故选D.
9.ACD 对于A，若直线倾斜角大于，则直线的斜率存在负值，故A错误；直线的倾斜角为，则，因为，所以，故B正确；对于C，设直线与轴交点为，则与轴交点为，当时，直线过原点，斜率为，故方程为；当时，直线的斜率，故直线方程为，即，故C错误；直线斜率定义为倾斜角的正切值，但不能是，故D错误.故选ACD.
10.AD 对于，因为，平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，即，故正确；对于，因为平面平面，所以平面的法向量与平面的法向量垂直，而平面与平面相交，并不平行，所以平面的法向量与平面的法向量不垂直，故错误；对于，设，则，所以，在Rt中，，所以，故异面直线与所成的角不是，故错误；对于，由选项知，平面，所以即为直线与平面所成的角，而，故D正确.故选.
11.ACD 根据题意，由得，又由轴，得，代入得（负值舍去），则，所以，故直线为，即，依题意知经过抛物线焦点，故联立，解得，即，对于，，故，所以，又因为轴，轴，所以，故，所以，则平分，故正确；对于，因为，故，故错误；对于，易得的方程为，联立，故，又轴，所以三点的纵坐标都相同，则三点共线，故C正确；对于，由选项知，故正确.故选ACD.
12.AB 对于，因为，所以是数列，正确；对于，首先证明不能为2.假设，由数列为数列知，.所以，与已知矛盾，故假设不成立.所以不能为2.因为数列
满足，此时是数列，所以的最小值为正确.对于，以下证明：若为奇数，则必为奇数.假设数列中存在偶数，设是数列中第一个偶数，因为数列是数列，所以，使.因为均为奇数，所以也为奇数，与为偶数矛盾.所以若为奇数，则必为奇数.因为为偶数，所以不能为奇数，只能为偶数，C错误.对于，以下证明：若，则.若不然，设为第一个满足的项，因为数列是数列，所以，使.因为，所以，与矛盾；所以若，则.而，D错误.故选AB.
13.4 将圆与圆相减可得，即两圆的公共弦所在的直线方程为，又圆圆心到直线的距离，圆的半径为，所以公共弦长为.
14.7 如图，在平行六面体中，，因为，所以，，所以.
15.77 在之间插入个1，构成数列，所以共有个数，当时，，当时，，由于，所以.
16. 根据对称性不妨设点在第一象限，如图所示，圆，圆心为，半径为，设，点在双曲线上，，则有，可得，过作的垂线，垂足为为的中点，则，同理，，由，四边形的面积为，化简得，则有，则的离心率.
17.解：（1）设等比数列的公比为，且，
因为成等差数列，则，
即：，解得或（舍去），
所以数列的通项公式.
（2）由（1）得：，
，
所以，
整理可得，
故的最小值为7.
18.解：（1）设为原点，正东方向为轴，建立平面直角坐标系，，
因为，则，依题意得，游客所在位置为，
则直线的方程为，
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，所以游客在该摄像头的监控范围内.
（2）由图知，过的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住，
所以设直线过点且和圆相切，
①若直线垂直于轴，则直线不会和圆相切；
②若直线不垂直于轴，设，整理得，
所以圆心到直线的距离为，解得或，
所以或，
即或，
观景直道所在直线方程为，
设两条直线与的交点为，
由，解得，
由，解得，
所以，
答：观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为4.375米.
19.（1）证明：在正四棱锥中，连接，
四边形为正方形，
为的中点，
又点为的中点，
为的中位线，
，
又平面平面，
平面.
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为正四棱锥的体积为，
所以正四棱锥的体积，
所以，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，
所以.
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，
所以.
设二面角的所成的角为，则
，
由图可知，二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
20.解：（1），
当时，，
两式相除得：，
又符合上式，故
（2）由（1）得：，
，
，
，
错位相减得：
，
，
即，由，得，
设，则，
故，
由可知，随着的增大而减小，
故，
故恒成立，知单调递减，
故的最大值为，则.
21.解：（1）设双曲线方程为，
代入可得解得
所以双曲线的方程为.
（2）若直线的斜率不存在，则，不符合，
所以直线的斜率存在，设直线，
联立方程，消去得，
则且，
可得
则，
又因为，可知，则，
由题意可知：，即，
整理得，解得或，
且或均符合且，
所以直线的斜率或.
22.（1）解：依题意，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）证明：依题意，两条切线方程分别为，
由，化简得，
同理.
所以是方程的两个不相等的实数根，
则.
又因为，所以，
所以.
（ii）证明：由（得，，设，则，即，
因为，所以，
得，即，
解得，
所以，
所以为定值.
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教A版选择性必修一+选择性必修二第一章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.设数列是公比为的等比数列，.若数列的连续四项构成集合，则公比为（ ）
A.16 B.4 C.-4 D.-16
3.已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A.2 B.3 C.2或-3 D.-2或3
4.如图，在三棱柱中，若为的中点，则可表示为（ ）
A. B.
C. D.
5.设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值为（ ）
A. B. C.2 D.
6.月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
7.已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法中不正确的是（ ）
A.若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大
B.直线的倾斜角的取值范围是
C.过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
10.在三棱锥中，是直二面角，，如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.平面的法向量与平面的法向量垂直
C.异面直线与所成的角为
D.直线与平面所成的角为
11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A.平分
B.
C.延长交直线于点，则三点共线
D.
12.设数列，如果，且，对于，使成立，则称数列为数列.则下列说法正确的是（ ）
A.数列是数列
B.若数列是数列，且，则的最小值为3
C.若数列是数列，且，则为奇数
D.若数列是数列，且，则存在，使
三､填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13.圆与圆的公共弦的长为__________.
14.在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，则为__________.
15.已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，则数列的前20项的和为__________.
16.已知分别是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于，两点.若四边形的面积为，则的离心率为__________.
四､解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知首项为1的正项等比数列，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的最小值.
18.（12分）
某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为1米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离米.在建筑物底面中心的北偏东方向米的点处，有一台全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：
（1）在西辅道上与建筑物底面中心距离2米处的游客，是否在摄像头监控范围内？
（2）求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度.
19.（12分）
如图，在正四棱锥中，，正四棱锥的体积为，点为的中点，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20.（12分）
已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
21.（12分）
焦点在轴上的双曲线经过两点.过点的直线与双曲线交于，过点的直线与直线相交于点且.
（1）求双曲线的方程；
（2）若，求直线的斜率.
22.（12分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为，
（i）求证：为定值；
（ii）当两条切线分别交椭圆于时，求证：为定值.
阜阳三中2023~2024学年度高二年级第一学期数学学科二调考试
参考答案､解析及评分细则
1.C 因为椭圆的焦点坐标为，所以，记，所以，所以，所以，所以双曲线的标准方程为.故选C.
2.C 由题意等比数列的连续四项构成集合，则可知等比数列的项一定为正负相间，公比为负，由于，故后一项绝对值大于前一项的绝对值，故集合中的这四个数在数列中排列为，则.故选C.
3.A 根据题意，由两直线平行可得，即，解得或；经检验-3时，两直线重合，不合题意；所以.故选A.
4.A 由题意可知，，因为，，所以.故选A.
5.B 抛物线的焦点，准线方程为，延长交准线于，连，显然垂直于抛物线的准线，由抛物线定义知：，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，而，所以的最小值为.故选B.
6.B 由题意知，半圆的方程为，设椭圆方程为，则，所以，故椭圆方程为，设，则，所以，设，则，所以，故.故选B.
7.B 当时，，由，得，即，在且时恒成立，，解得.当时，单调递增，若对任意，都有，则且，即且，解得，则实数的取值范围是.故选B.
8.D 如图，过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作于点表示的长度，因为直线的方程为，所以，即，当固定点时，为定值，此时为零时，最小，即平行于轴，所以当垂直直线时，最小，如图所示，此时，，根据直线的斜率为-3，得，所以，故D正确.故选D.
9.ACD 对于A，若直线倾斜角大于，则直线的斜率存在负值，故A错误；直线的倾斜角为，则，因为，所以，故B正确；对于C，设直线与轴交点为，则与轴交点为，当时，直线过原点，斜率为，故方程为；当时，直线的斜率，故直线方程为，即，故C错误；直线斜率定义为倾斜角的正切值，但不能是，故D错误.故选ACD.
10.AD 对于，因为，平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，即，故正确；对于，因为平面平面，所以平面的法向量与平面的法向量垂直，而平面与平面相交，并不平行，所以平面的法向量与平面的法向量不垂直，故错误；对于，设，则，所以，在Rt中，，所以，故异面直线与所成的角不是，故错误；对于，由选项知，平面，所以即为直线与平面所成的角，而，故D正确.故选.
11.ACD 根据题意，由得，又由轴，得，代入得（负值舍去），则，所以，故直线为，即，依题意知经过抛物线焦点，故联立，解得，即，对于，，故，所以，又因为轴，轴，所以，故，所以，则平分，故正确；对于，因为，故，故错误；对于，易得的方程为，联立，故，又轴，所以三点的纵坐标都相同，则三点共线，故C正确；对于，由选项知，故正确.故选ACD.
12.AB 对于，因为，所以是数列，正确；对于，首先证明不能为2.假设，由数列为数列知，.所以，与已知矛盾，故假设不成立.所以不能为2.因为数列
满足，此时是数列，所以的最小值为正确.对于，以下证明：若为奇数，则必为奇数.假设数列中存在偶数，设是数列中第一个偶数，因为数列是数列，所以，使.因为均为奇数，所以也为奇数，与为偶数矛盾.所以若为奇数，则必为奇数.因为为偶数，所以不能为奇数，只能为偶数，C错误.对于，以下证明：若，则.若不然，设为第一个满足的项，因为数列是数列，所以，使.因为，所以，与矛盾；所以若，则.而，D错误.故选AB.
13.4 将圆与圆相减可得，即两圆的公共弦所在的直线方程为，又圆圆心到直线的距离，圆的半径为，所以公共弦长为.
14.7 如图，在平行六面体中，，因为，所以，，所以.
15.77 在之间插入个1，构成数列，所以共有个数，当时，，当时，，由于，所以.
16. 根据对称性不妨设点在第一象限，如图所示，圆，圆心为，半径为，设，点在双曲线上，，则有，可得，过作的垂线，垂足为为的中点，则，同理，，由，四边形的面积为，化简得，则有，则的离心率.
17.解：（1）设等比数列的公比为，且，
因为成等差数列，则，
即：，解得或（舍去），
所以数列的通项公式.
（2）由（1）得：，
，
所以，
整理可得，
故的最小值为7.
18.解：（1）设为原点，正东方向为轴，建立平面直角坐标系，，
因为，则，依题意得，游客所在位置为，
则直线的方程为，
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，所以游客在该摄像头的监控范围内.
（2）由图知，过的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住，
所以设直线过点且和圆相切，
①若直线垂直于轴，则直线不会和圆相切；
②若直线不垂直于轴，设，整理得，
所以圆心到直线的距离为，解得或，
所以或，
即或，
观景直道所在直线方程为，
设两条直线与的交点为，
由，解得，
由，解得，
所以，
答：观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为4.375米.
19.（1）证明：在正四棱锥中，连接，
四边形为正方形，
为的中点，
又点为的中点，
为的中位线，
，
又平面平面，
平面.
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为正四棱锥的体积为，
所以正四棱锥的体积，
所以，
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，
所以.
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，
所以.
设二面角的所成的角为，则
，
由图可知，二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
20.解：（1），
当时，，
两式相除得：，
又符合上式，故
（2）由（1）得：，
，
，
，
错位相减得：
，
，
即，由，得，
设，则，
故，
由可知，随着的增大而减小，
故，
故恒成立，知单调递减，
故的最大值为，则.
21.解：（1）设双曲线方程为，
代入可得解得
所以双曲线的方程为.
（2）若直线的斜率不存在，则，不符合，
所以直线的斜率存在，设直线，
联立方程，消去得，
则且，
可得
则，
又因为，可知，则，
由题意可知：，即，
整理得，解得或，
且或均符合且，
所以直线的斜率或.
22.（1）解：依题意，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）证明：依题意，两条切线方程分别为，
由，化简得，
同理.
所以是方程的两个不相等的实数根，
则.
又因为，所以，
所以.
（ii）证明：由（得，，设，则，即，
因为，所以，
得，即，
解得，
所以，
所以为定值.
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