2023-2024学年广东省广州市第一一三中学高二上学期阶段二（期中）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省广州市第一一三中学高二上学期阶段二（期中）数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】利用向量平行和垂直的坐标运算求解.
【详解】所以，
，，，所以，
，所以.
故选：C.
2．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】倾斜角为的直线与直线垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果.
【详解】解：因为直线与直线垂直，所以，.
又为直线倾斜角，解得.
故选：D.
【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题.
3．如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先求出 ，，，，，，再计算即可.
【详解】解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，
则 ，，，，，，
则
故选：B.
【点睛】本题考查向量的数量积，向量的模的计算公式，是中档题.
4．已知，动点P满足，则P点的轨迹是
A．双曲线B．双曲线的一支C．直线D．一条射线
【答案】D
【分析】利用，从而可以判断点轨迹是一条射线
【详解】由于，即，
所以点轨迹是一条射线，
故选：．
【点睛】本题考查双曲线的定义，应注意定义中的条件，否则会出错．
5．焦点在轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题知，进而椭圆焦点所在轴求解即可得答案.
【详解】解：因为椭圆的右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3
所以，即，
所以，
因为椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A
6．已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点，在轴上，中心在原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先画出图像，再结合双曲线第一定义，三角形三边关系，当点为与双曲线的交点时，取到最小值
【详解】如图，由双曲线第一定义得①，
又由三角形三边关系可得②（当点为与双曲线的交点时取到等号），①+②得：，故，
由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8可得，，则，，，
则
故选：D
【点睛】本题考查利用双曲线第一定义求解到两定点之间距离问题，数形结合与转化思想，属于中档题
7．点是正方体的侧面内的一个动点，若与的面积之比等于2，则点的轨迹是（ ）
A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
【答案】A
【分析】先根据条件与的面积之比等于2，可得，然后建立平面直角坐标系求出点的轨迹方程，即可判断.
【详解】如图正方体中，
可知平面，平面，
则，
，即,
以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
设正方体棱长为，设，则，
，
整理得，
点的轨迹是圆的一部分，
故选：A.
【点睛】本题考查动点轨迹的判断，解题的关键是找出与动点相关的等量关系，利用轨迹方程或曲线的定义判断.
8．如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】连结，利用几何关系表示，,并结合椭圆的定义，得到离心率.
【详解】连结，则，并且，
，，，即
.
故选：D
【点睛】思路点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为120°
B．经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为
C．直线恒过定点
D．直线，，则或0
【答案】AC
【分析】根据直线方程求得斜率为，得到，可判定A正确；当直线过原点时，得到，满足题意，可判定B错误；化简得到，进而可判定C正确；根据直线的一般式的条件和垂直关系，列出方程，可判定D不正确.
【详解】对于A中，设直线的倾斜角为，由直线，可得斜率为，
即，因为，所以，所以A正确；
对于B中，当直线过原点时，此时过点直线方程为，即，满足题意；
当直线不过原点时，要使得直线在轴上截距互为相反数，可得所求直线的斜率，
所以点的直线方程为，即，所以B错误；
对于C中，直线，可化为，
由方程组，解得，所以直线恒过点，所以C正确；
对于D中，由直线，
若，可得且，解得，所以D不正确.
故选：AC.
10．已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为双曲线
B．若且，则为焦点在轴的椭圆
C．若，则不可能表示圆
D．若，则为两条直线
【答案】ABD
【解析】由，的取值，根据椭圆、双曲线、圆与直线方程的特征，判断曲线表示的形状即可．
【详解】若，则为焦点在横轴或纵轴上的双曲线，所以正确；
若且，可得，，所以为焦点在轴上的椭圆，所以正确；
若，，是单位圆，所以不正确；
若，则化为，表示两条直线，所以正确；
故选：．
11．已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，直线平行于且在轴上的截距为，直线与椭圆交于，两个不同的点．下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的方程为B．
C．D．或
【答案】ABC
【分析】根据题意，待定系数求得椭圆的方程为，进而结合直线与椭圆的位置关系依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：由题意，得解得故椭圆的方程为，A项正确；由于，故B项正确；
因为直线的斜率，又在轴上的截距为，所以的方程为．由
得．因为直线与椭圆交于，两个不同的点，所以，
解得，故C项正确，D项错误．
故选：ABC
12．如图，棱长为1的正方体中为线段上的动点（不含端点）则下列结论正确的是（ ）
A．直线与所成的角可能是
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
【答案】BC
【分析】对于A选项， 建立坐标系，利用坐标法求解；对于B选项，由正方体的性质可知平面，进而可判断；对于C选项，利用等体积法求解即可判断；对于D选项，分别讨论所成的截面图形即可判断.
【详解】解：对于A选项，如图1，建立空间直角坐标系，
则，，
所以，
所以，令，
，
所以在区间上单调递减，
由于，，
所以，即直线与所成的角满足，
又因为，故，故直线与所成的角不可能是，故A选项错误；
对于B选项，由正方体的性质可知平面，所以平面平面，故B选项正确；
对于C选项，三棱锥的体积，是定值，故C选项正确；
对于D选项，设的中点为，当点在线段（不包含端点）上时，此时平面截正方体所得的截面为梯形，如图2；当点在点时，此时平面截正方体所得的截面正三角形；当点在线段（不包含端点）上时，此时平面截正方体所得的截面为等腰三角形，该三角形不可能为直角三角形，故D选项错误；

故选：BC
三、填空题
13．已知直线与平行，则实数的值为 ．
【答案】1
【分析】根据直线一般式平行时满足的关系即可求解.
【详解】由得：，解得，
故答案为：1
14．已知圆，过点的直线交圆于A，B两点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由点与圆的位置关系判断出点在圆内部，由圆的对称性求出的最小值，再由弦恰好为直径求出的最大值.
【详解】由题意可知，该圆的圆心为
因为，所以点在圆内部
由圆的对称性可知，当为弦的中点时，弦最短
且
当弦恰好为直径时，弦最长，即
则
故答案为：
15．是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为
【答案】
【分析】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，的坐标，利用距离公式，即可得到结论.
【详解】解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
设平面的法向量是，
，
∴由，可得
取得，
，
∴到平面的距离.
故答案为：.
【点睛】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.
16．双曲线的的离心率为，当时，直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，则的值 .
【答案】
【分析】首先求出双曲线方程，设、两点的坐标分别为，，，，线段的中点为，，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解即可．
【详解】解：当时，，所以，又，得
所以双曲线的方程为．设、两点的坐标分别为，，，，线段的中点为，，
由，得（判别式△，
，，
点，，在圆上，，．
故答案为：
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线相交问题及中点弦问题，属于中档题．
四、解答题
17．已知的顶点.
(1)求边上的中线所在直线的方程；
(2)求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段的中点，再利用两点式即可求出所求；
（2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求.
【详解】（1）线段的中点为，
则中线所在直线方程为：，即.
（2）设两坐标轴上的截距为，
若，则直线经过原点，斜率，
直线方程为，即；
若，则设直线方程为，即，
把点代入得，即，直线方程为；
综上，所求直线方程为或.
18．已知圆：和：.
(1)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长；
(2)求过点且与圆相切的直线方程.
【答案】(1)圆和圆的公共弦所在直线的方程为：，弦长为.
(2)或
【分析】(1)将两圆作差可得公共弦方程，再利用垂径定理即可求解公共弦长；
(2)当直线斜率不存在时符合题意，当直线斜率存在时，设其方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】（1）由题意可知：将两圆方程相减可得：，
也即，故圆和圆的公共弦所在直线的方程为，
圆：可化为，
圆心坐标，半径，
由点到直线的距离公式可得：
到公共弦的距离，
由垂径定理可知：公共弦长，
（2）由（1）知：圆： ，
圆心坐标，半径，
过点作圆的切线方程，当切线斜率不存在时，切线方程为；
当切线斜率存在时，设切线方程为，也即，
由点到直线的距离公式可得：，
解得：，所以此时切线方程为：，
综上：过点且与圆相切的直线方程为或.
19．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到，再由点到线的距离公式求出，最后根据计算可得；
（2）设，，直线的斜率为，利用点差法计算可得；
【详解】（1）解：双曲线的渐近线为，即，
所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
（2）解：设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
20．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
（2）设，
则，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.
21．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线与圆C交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．
【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.
【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；
（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；
（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.
【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a，
又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：.
（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，
所以，即k的取值范围是.
（ⅱ）设，由根与系数的关系：，
所以.
即直线OA,OB斜率之和为定值.
22．已知椭圆的左焦点为，左、右顶点及上顶点分别记为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）首先表示的坐标，即可得到，根据及，求出，即可求出，从而得解；
（2）设，联立直线与椭圆的方程，消元，利用根与系数的关系可以表示的值，进而可以表示面积，由基本不等式的性质分析可得答案.
【详解】（1）依题意，，，
所以，，由，可得，
即，解得或（舍去），故，，
所以椭圆的方程为.
（2）设、，联立直线与椭圆的方程，
可得，由，得，
所以，
设原点到直线的距离为，
所以，
所以，
令，则，所以，
当且仅当时，等号成立，即当时（满足），面积取得最大值，
此时直线方程为.