2023-2024学年广东省广州市禺山高级中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省广州市禺山高级中学高二上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式求出集合A，利用交集定义和运算计算即可．
【详解】由题意可得
，
则
故选：D
2．已知复数，则以下判断正确的是（ ）
A．复数的模为1B．复数的模为
C．复数的虚部为D．复数的虚部为
【答案】B
【分析】根据复数除法运算即可求得，根据复数模长公式和虚部定义即可判断结果.
【详解】由可得；
即复数的虚部为1，所以CD错误；
则复数的模为，即A错误，B正确；
故选：B
3．将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先将函数中x换为x-后化简即可.
【详解】化解为
故选D
【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x按要求变换.
4．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：圆的圆心为点，又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率．由点斜式得直线，化简得，故选D．
【解析】1、两直线的位置关系；2、直线与圆的位置关系.
5．三棱柱ABC－A1B1C1中，若，，，则等于（ ）
A．＋－B．－＋
C．－＋＋D．－＋－
【答案】D
【分析】根据空间向量对应线段位置关系，及向量加减的几何意义用表示出即可.
【详解】
.
故选：D
6．圆和圆的交点为，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为B．公共弦的长为
C．线段中垂线方程为D．
【答案】D
【分析】对于A，联立两圆方程即可得公共弦所在直线方程；
对于B，由弦长公式计算即可；
对于C，由题意可知线段中垂线为直线，求出直线的方程即可判断；
对于D，求出坐标，计算出的值，即可判断.
【详解】解：对于A，联立两圆方程得，可得，
即公共弦所在直线方程为，故错误；
对于B，设到直线：的距离为，
则有，
则弦长公式得：，故错误；
对于C，由题意可知线段中垂线为直线，
又因为，，
所以直线的方程为，故错误；
对于D，由，解得或，
取，
所以
所以，
所以，故正确.
故选：D.
7．已知椭圆的焦点为、，直线与椭圆相交于、两点，当三角形为直角三角形时，椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出，根据直角三角形的几何性质可得出，可得出关于、的齐次等式，可得出关于的二次方程，结合可求得该椭圆的离心率的值.
【详解】将代入椭圆方程的方程得，可得，则，
由对称性可知，当三角形为直角三角形时，则该三角形为等腰直角三角形，
因为为线段的中点，则，可得，即，
等式两边同时除以可得，
因为，解得.
故选：B.
8．函数在区间上的所有零点的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的零点就是函数与函数图象交点的横坐标，只需画出函数和函数在同一坐标系中的图象，根据图象的对称性确定交点的横坐标之和.
【详解】令，得，
函数的零点就是函数与函数图象交点的横坐标.
又函数的图象关于点对称，函数的周期为4，其图象也关于点对称，画出两函数图象如图所示：
由图象可知两函数图象在上共有4个交点，这4个点两两关于点对称，故其横坐标的和为.
故选：A
【点睛】求解函数零点的和的一般方法有：
（1）直接法：令，求解函数的所有零点的值，然后确定所有零点的和；
（2）数形结合：令，然后将方程灵活变形，转化为函数的模型，画出和的图象，根据量函数图象的单调性、奇偶性、对称性及周期性等，确定交点的个数及交点的横坐标关系，然后求和即可.
二、多选题
9．关于曲线，下列叙述正确的是（ ）
A．当 时，曲线表示的图形是一个圆
B．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆
C．当 时，曲线表示的图形是一个圆
D．当 时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆
【答案】BCD
【分析】根据椭圆方程、双曲线方程以及圆的方程的概念求解.
【详解】对A,当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形不是一个圆，故A错误；
对B,当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆，故B正确；
对C,当时，曲线方程为，即，所以曲线表示的图形是一个圆，故C正确；
对D，当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆，故D正确；
故选:BCD.
10．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角是
B．若直线，则
C．点到直线的距离是2
D．过与直线平行的直线方程是
【答案】CD
【分析】求出直线的斜率可得倾斜角，即可判断A；利用两直线垂直的条件可判断B；利用点到直线的距离公式可判断C；利用两直线平行的条件可判断D，进而可得正确选项.
【详解】由可得，所以直线的斜率为，
对于A：因为直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，可得，
故选项A不正确；
对于B：直线的斜率为，因为，所以不成立，故选项B不正确；
对于C：点到直线的距离是，故选项C正确；
对于D：设与直线平行的直线方程是，则，
可得，所以过与直线平行的直线方程是，故选项D正确；
故选：CD.
11．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用余弦定理可判断出选项AB，再根据两角和与差的正弦、余弦公式以及平方关系化简可得C正确，D错误.
【详解】根据余弦定理可得；
即，所以B正确，A错误；
根据两角和与差的正弦公式可得：
即C正确；
对于D：
，所以D错误.
故选：BC
12．对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．在上单调递减
【答案】AB
【分析】由题有：，.即图像关于对称，且关于直线对称.A选项，令可得 ，可得；B选项，令即可判断选项；C选项，令结合单调性可判断选项；D选项，由图像的对称性可判断在上的单调性.
【详解】令，由是奇函数，
则，
即，图像关于对称.
令，由是偶函数，
则，
即，图像关于直线对称.
A选项，令，可得，
又令，可得.故A正确；
B选项，令，可得，故B正确；
C选项，令，可得，
又因在上单调递减，由图像关于对称，则在上单调递减，
即在上单调递减，故.故C错误.
D选项，由在上单调递减，结合图像关于直线对称，
则在上单调递增.故D错误.
故选：AB
【点睛】结论点睛：本题涉及抽象函数的奇偶性的相关结论.
为定义在R上函数，若为奇函数，则，
图像关于对称；若为偶函数，则，
图像关于对称.
三、填空题
13．已知，，若，则 .
【答案】/0.5
【分析】根据向量的垂直的坐标表示求解即可.
【详解】解：因为，，，
所以，解得.
故答案为：.
14．已知点，点是直线上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】直接根据点到直线的距离公式即可求出．
【详解】线段最短时，与直线垂直，
所以，的最小值即为点到直线的距离，则.
故答案为：.
15．已知三点都在体积为的球的表面上，若，，则球心到平面的距离为 ．
【答案】
【分析】由球的体积公式计算出球的半径，由正弦定理求出的外接圆半径，从而得到球心到平面的距离.
【详解】设球的半径为，则，解得：，
设的外接圆半径为，在中，由正弦定理得：，
故，
则球心到平面的距离为.
故答案为：
16．已知空间向量则向量在向量上的投影向量的坐标是 .
【答案】
【分析】按照投影向量的定义，代入计算即可得到结果.
【详解】因为，
依题意向量在向量上的投影向量的坐标是
.
故答案为:
四、解答题
17．已知内角的对边分别是，若，，.
（1）求；
（2）求的面积.
【答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）在中，由正弦定理得，再由余弦定理，列出方程，即可求解得值；
（2）由（1）求得，利用三角形的面积公式，即可求解三角形的面积．
【详解】（1）在中，，，，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
解得或不合题意，舍去，
（2）由（1）知，所以，
所以的面积为．
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
18．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAC；
（2）证明：AF⊥PC．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）利用三角形中位线可证得，由线面平行判定定理可证得结论；（2）利用线面垂直性质可证得，又，可证得线面垂直，进而得到；利用等腰三角形三线合一证得，得到平面；通过线面垂直的性质可证得结论.
【详解】（1）分别为中点
平面，平面 平面
（2）平面，平面
又四边形为正方形
，平面 平面
平面
，为中点
又，平面 平面
平面
【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系、线线垂直关系的证明；证明线线垂直的常用方法是利用线面垂直的性质，通过证明线面垂直得到结论.
19．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取2000名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将数据分成7组：，绘制出如下的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，求竞赛学生得分的众数和中位数；
(2)先从得分在的学生中利用分层抽样选出6名学生，再从这6名学生中选出2人参加有关航天知识演讲活动，求选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率.
【答案】(1)众数为75分；中位数为72.5分
(2)
【分析】（1）根据众数、中位数的定义结合频率分布直方图运算求解；（2）根据频率分布直方图结合分层抽样求每组抽取的人数，利用列举法解决古典概型的概率问题.
【详解】（1）由频率分布直方图可知：的频率最大，则众数为75分；
∵的频率分别为，
设中位数为x，则，
由题意可得：，解得，
故中位数为72.5分.
（2）因为人数之比为1：2，
所以应抽取2人，设为A，B，应抽取4人，设为C，D，E，F，
这6人中再任选2人，共15种不同选法，如下：
AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，
其中选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率包含6种，
故选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率.
20．已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上.
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.
【答案】(1)（x﹣1）2+（y+1）2＝2
(2)x＝0或3x+4y﹣4＝0
【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可.
（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论.
【详解】（1）因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.
则点C到直线x+y＝2的距离d.
据题意，d＝|AC|，则，
解得a＝1.
所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d，
则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2.
（2）k不存在时，x＝0符合题意；
k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0，圆心到直线的距离1，∴k，
∴直线方程为3x+4y﹣4＝0.
综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0.
21．四棱锥中，底面为菱形，底面，．
(1)求点到平面的距离；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据题意可得为正三角形，求出，利用等体积法即可求解；
(2) 取中点，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出平面和平面的法向量法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解.
【详解】（1）因为，底面为菱形，则为正三角形，
，则，
，因为平面，所以
，得，则
故点到平面的距离为
（2）取中点，则，因为底面，底面，所以，所以两两互相垂直，则分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.
平面，则平面的法向量为,
，，，设平面的法向量，
则，即，令，则．
设二面角的平面角为，则由空间向量的夹角公式可得：
.
故二面角的余弦值为.
22．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且的周长是6．过点的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间，又线段AB的中点横坐标为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法，求椭圆方程；
（2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，利用中点坐标公式求，并求得点的坐标，利用横坐标表示的值.
【详解】（1）由离心率，可得，
又因为的周长是6，所以，
所以，，故，所以椭圆的标准方程是．
（2）设点，点．
若直线轴，则直线l不与椭圆C相交，不合题意．
当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为．
由消去y得，．①
由①的判别式，
解得，．由，可得．
将代入方程①，得，
则，．所以．