2023-2024学年广东省肇庆市肇庆中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省肇庆市肇庆中学高二上学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【解析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可.
【详解】因为直线的斜率为，所以.
故选：C.
2．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由方程表示椭圆求出参数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若方程表示椭圆，则，解得且，
因此，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：A
3．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出两圆圆心、半径及圆心距，再判断两圆位置即可.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
显然，
所以圆与圆相交.
故选：A
4．设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不能确定
【答案】A
【分析】根据题意，由点到直线的距离公式可得，从而得到点在圆上.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，且直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，即，
所以点坐标满足圆的方程，
所以点在圆上，
故选:A
5．方程的化简结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由方程的几何意义及椭圆定义得出结果即可.
【详解】方程的几何意义为动点到定点和的距离和为10，并且，
所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为的椭圆，所以， ，
根据 ，所以椭圆方程为.
故选：C.
6．已知直线：与圆交于，两点，为坐标原点，且，则实数为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，，故圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式即得解
【详解】由题意，，由于圆半径为，
则圆心到直线的距离，
得，
故选：C
7．椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据焦点三角形的顶角范围，求出椭圆特征三角形顶角的范围，继而求出离心率的范围.
【详解】设椭圆的上顶点为,则令,
则,

且，
,
,
故选：B.
8．在正方体中，在正方形中有一动点P，满足，则直线与平面所成角中最大角的正切值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意,可知是平面内,以为直径的半圆上一点.由即为直线与平面所成的角可知当取得最小值时,与平面所成的角最大.而连接圆心E与C时,与半圆的交点为P,此时取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得,进而求得.
【详解】正方体中,正方形内的点P满足
可知是平面内,以为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:
当直线与平面所成最大角时,点位于圆心E与C点连线上
此时取得最小值.
则即为直线与平面所成的角
设正方体的边长为2,则,
所以
故选:D
【点睛】本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.
二、多选题
9．下列说法中，错误的是（ ）
A．椭圆的离心率越大椭圆越扁，离心率越小椭圆越圆
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆
D．若直线：，：，且，则
【答案】BCD
【分析】对于A：根据离心率的几何意义直接判断；
对于B：取特殊例子的倾斜角为120°，的倾斜角为60°，进行判断；
对于C：按照椭圆的定义进行判断；
对于D：取重合情况进行判断.
【详解】对于A：根据离心率的几何意义，椭圆的离心率越大椭圆越扁，离心率越小椭圆越圆.故A正确；
对于B：对于直线：，：，取的倾斜角为120°，的倾斜角为60°，则，.故B错误；
对于C：按照椭圆的定义，到两定点距离之和为定值（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆.故C错误；
对于D：对于直线：，：，，若则重合.故D错误.
故选：BCD
10．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则的值可能是（ ）
A．B．C．6D．36
【答案】AD
【分析】根据椭圆的标准标准方程，分情况明确，结合长轴长与短轴长的定义，建立方程，可得答案.
【详解】由，
当时，则，，由题意，，可得，解得，符合题意；
当时，则，，由题意，，可得，解得，符合题意.
故选：AD.
11．已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦长为
C．最短时，弦直线方程为
D．直线过定点为
【答案】AB
【分析】根据题意可得当取最小值时，的面积最小，四边形的面积取最小值，此时最短，弦长为，弦的直线方程为，即可得AB正确，C错误；易知在以为直径的圆上，设，以为直径的圆的方程可表示为， 可得直线方程为，过定点为，D错误.
【详解】如下图所示：

由直线分别于圆切于点可得，，又，是公共边，
所以，即四边形的面积，
对于A，当的面积最小时，四边形的面积取最小值，
，
所以当取最小值时，即为圆心到直线的距离时面积最小，
即，四边形的面积的最小值为，即A正确；
对于B，由A可知，当取最小值时，最短，
此时，所以B正确；
对于C，易知在以为直径的圆上，又，当最短时不妨设，
则，且，解得，即，
所以，且的中点为，
即以为直径的圆的方程为，
与圆相减即可得公共弦的直线方程为，即C错误；
对于D，设，由C可知，在以为直径的圆上，
所以圆心坐标为，半径为，
即以为直径的圆的方程可表示为，
与圆相减整理得，直线方程为，
此时直线过定点为，即D错误.
故选：AB
12．已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．周长的最小值为14
B．四边形可能是矩形
C．直线，的斜率之积为定值
D．的面积最大值为
【答案】ACD
【分析】对四个选项一一判断：对于A：利用椭圆的对称性，判断出PQ为椭圆的短轴时， 周长最小.即可判断；对于B：判断出，从而四边形不可能是矩形.即可判断；对于C：设，直接计算出.即可判断；对于D.由的面积为.即可判断.
【详解】由，可知P，Q关于原点对称.
对于A.根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值6，所以周长的最小值为14.故A正确；
对于B.因为，所以，
则，故椭圆上不存在点，使得，
又四边形是平行四边形，所以四边形不可能是矩形.故B不正确.
对于C.由题意得，设，则，
所以.故C正确；
对于D.设的面积为，所以当PQ为椭圆的短轴时，最大，所以.故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知向量，满足，且，则，夹角的余弦值为 .
【答案】
【分析】根据垂直可得数量积为0，列出方程后再利用数量积公式代入数据即可算出.
【详解】依题意，，则，
故，则.
故答案为：
14．已知经过、两点的直线l的方向向量为，则实数a的值为 ．
【答案】
【分析】由已知得出，进而根据已知条件、结合向量共线列出方程，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
又直线l的方向向量为，
所以，与共线，
所以有，解得.
故答案为：.
15．写出圆：与圆：的公切线方程 ．
【答案】
【分析】简单判断两圆的位置关系，然后联立方程可得切点，直接可得结果.
【详解】圆：，则，可知两圆内切.
则，所以切点为.
所以公切线方程为：
故答案为：
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】利用向量的数量积的运算律，以及椭圆的定义，利用齐次化方法求离心率.
【详解】因为，所以，
即，
所以，所以.
设，则，所以，
由得，
所以，所以，
在中，由，
得，所以.

故答案为: .
四、解答题
17．已知点，求：
(1)边上的中线所在直线的方程；
(2)三角形的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）写出的中点坐标，求出中线斜率，应用点斜式写出直线方程即可；
（2）由题设，应用向量夹角的坐标表示求得，再由三角形内角性质及平方关系求，最后根据三角形面积公式求面积.
【详解】（1）由题设，的中点坐标为，则中线的斜率为，
所以边上的中线所在直线的方程为；
（2）由题设，则，
而，故，
所以三角形的面积.
18．已知圆过点，，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线过点，被圆所截得的弦长为2，求直线的方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）易知圆的圆心在直线上，结合圆心在直线上，可求圆心坐标，根据两点间的距离公式求出半径即可得圆的标准方程；
（2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程；再考虑斜率存在的情况，设的方程为，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线方程.
【详解】（1）由圆过点，，可得圆的圆心在直线上，
又圆心在直线上，令可得，
所以圆的圆心为,半径为，
所以圆的标准方程为.
（2）当l斜率不存在时，l的方程为，
易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意，所以；
当l斜率存在时，设l的方程为，
则．
又直线l被圆C所截得的弦长为2，所以，则，
所以，解得，
所以直线l的方程为．
综上：l的方程为或.
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥DC，E为线段PD的中点，已知PA＝AB＝AD＝CD＝2，∠PAD＝120°.

(1)证明：直线PB∥平面ACE；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接BD交AC于点H，连接HE，可证HE∥PB，从而可证PB∥平面ACE，
（2）作Ax⊥AP，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PCD的一个法向量，利用向量法求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【详解】（1）连接BD交AC于点H，连接HE，

∵AB∥DC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴H是BD的中点，又E为线段PD的中点，
∴HE∥PB，又HE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
∴直线PB∥平面ACE.
（2）∵AB⊥平面PAD，作Ax⊥AP，建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知PA＝AB＝AD＝CD＝2，∠PAD＝120°，
得，
∴，
设平面PCD的一个法向量为，
则，得，不妨取，
∴，
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．
20．已知椭圆：的离心率为，是椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，是椭圆上两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把点代入椭圆方程, 结合离心率为，列方程求出，可得椭圆的方程
（2）利用点差法求中点弦的斜率，再点斜式求直线方程.
【详解】（1）由题可知解得
故椭圆的方程为.
（2）设，，则

两式相减得，即.
因为线段的中点坐标为，所以，，所以，
所以直线的方程为，即.
21．如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.

(1)证明：BDCC1；
(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）连接,根据题意证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；
（2）取中点，连接，以为原点，建立空间直角坐标系，假设点存在，设点，求得平面和的一个法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，求得，即可求解.
【详解】（1）证明:如图所示，连接,
因为为棱台，所以四点共面，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：取中点，连接，
因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，
由于平面，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
假设点存在，设点的坐标为，其中，
可得
设平面的法向量，则，
取，可得，所以.
又由平面的法向量为，
所以，解得
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即
故上存在点，当时，二面角的余弦值为.

22．在平面直角坐标系中，，，M为平面内的一个动点，且，线段AM的垂直平分线交BM于点N，设点N的轨迹是曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设动直线l：与曲线C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，问是否存在定点H，使得以PQ为直径的圆恒过点H？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到轨迹为椭圆，再计算得到椭圆方程．
（2）联立方程，根据有唯一交点得到，解得P，Q的坐标，假设存在定点，则，代入数据计算得到答案．
【详解】（1）由垂直平分线的性质可知，
所以.
又，
所以点N的轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.
设曲线C的方程为，则，，
所以，
所以曲线C的方程为.
（2）
由，消去y并整理，得，
因为直线l：与椭圆C有且只有一个公共点P，
所以，即，
所以，
此时，，
所以，
由，得，
假设存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点H，则，
又，，
所以，
整理，得对任意实数，k恒成立，
所以，
解得，
故存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点H.