2023-2024学年吉林省长春市南关区长春市实验中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年吉林省长春市南关区长春市实验中学高二上学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若直线的一个方向向量为，则该直线的倾斜角大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用直线方向向量可求得，结合特殊角的三角函数值即可求得结果.
【详解】由题意知，设直线l的倾斜角为，则，
又，
所以，即.
故选：C.
2．直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A．2B．C．D．2或
【答案】C
【分析】求出两直线不相交时的a值，再验证即可得解.
【详解】当直线与直线不相交时，，解得，
当时，直线与直线重合，不符合题意，舍去；
当时，直线，即与直线平行，
所以实数的值为.
故选：C
3．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神州十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神州十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神州十六号的飞行轨道的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得到，，解得，，得到离心率.
【详解】根据题意：，，解得，，
故离心率.
故选：D
4．是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ）
A．9或1B．1C．9D．9或2
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义即可求解.
【详解】是双曲线上一点，所以，所以，
由双曲线定义可知，
所以或者，又，所以，
故选：C
5．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意得到直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量求解公式得到答案.
【详解】由题意得，直线的方向向量为，平面的法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
则
故选：A
6．已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．-4D．4
【答案】A
【分析】设出交点代入椭圆方程，相减化简得到答案.
【详解】设弦与椭圆交于，，斜率为，
则，，相减得到，
即，解得.
故选：A.
7．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，将点P到直线CC1的距离的最小值转化为异面直线D1E与CC1的距离，利用空间向量可求得结果.
【详解】以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,,
，，,
设(x，y，z)，,，
则(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0，
＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x，
令x＝1，则y＝-，∴u＝(1,-,0)，
∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝，
∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1的距离的最小值为d＝.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：将点P到直线CC1的距离的最小值转化为为异面直线D1E与CC1的距离求解是解题关键.
8．在平面直角坐标系xOy中，点，若直线：上存在点M，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及两点间的距离公式，结合直线与圆有公共点的条件即可求解.
【详解】设，
由，可得，整理得，
因为直线：与圆有公共点，
所以，即，解得或．
所以的取值范围为.
故选：B.
二、多选题
9．已知椭圆，，是椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆离心率为B．的最大值为3
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据椭圆的方程求得，结合椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由椭圆，可得，则，
对于A中，由椭圆的离心率为，所以A正确；
对于B中，由椭圆的几何性质，当点为椭圆的右顶点时，可得，
所以B正确；
对于C中，当点为椭圆的短轴的端点时，可得，，
所以，根据椭圆的几何性质，可得，所以C正确；
对于D中，由椭圆的定义，可得，所以D错误.
故选：ABC.
10．已知圆和点，则过点的圆的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径计算得到答案.
【详解】因为圆，点，
当过点与圆相切的直线的斜率存在时，设切线方程为，
则，解得，从而切线方程为；
当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，
容易验证，直线与圆相切.
故过点的圆的切线方程为或，
故选：CD.
11．平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinival）．在平面直角坐标系中，，动点满足，其轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线的方程为B．曲线关于原点对称
C．面积的最大值为2D．的取值范围为
【答案】ABD
【分析】设，根据化简得到A正确，根据对称性得到B正确，计算，得到面积的最大值为，错误，确定，，D正确，得到答案.
【详解】对选项A：设，则，即，
整理得到，即，正确；
对选项B：当点在曲线，即，则也在曲线，
正确；
对选项C：设，，则，
故，面积的最大值为，错误；
对选项D：，解得，
，故，正确；
故选：ABD.
12．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法错误的是（ ）
A．圆上恰有一个点到直线的距离为B．切线长的最小值为
C．四边形面积的最小值为2D．直线恒过定点
【答案】ABC
【分析】由圆心到直线的距离为，可判定A正误；由圆的切线长，可判定B 正误；由四边形的面积计算公式，可判定C正误；设，求得以为直径的圆的方程，进而得到两圆的相交弦的方程，联立方程组，可判定D正误．
【详解】对于A：由圆，可得圆心，半径，
圆心到直线的距离为，
，故圆上不是只有一个点到直线的距离为，故A错误；
对于B：由圆的性质，可得切线长，
当最小时，达到最小，又，则，故B错误；
对于C：由四边形的面积为，
因为，所以四边形的面积的最小值为，故C错误；
对于D：设，由题知，在以为直径的圆上，
又由，所以，
即，
因为圆，即．
两圆的方程相减得直线，即，
由，解得，即直线恒过定点，故D正确．

故选：ABC．
三、填空题
13．椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率等于 ．
【答案】
【分析】结合已知条件，利用椭圆的对称性和等边三角形的边长相等即可求解.
【详解】不妨设椭圆的方程为：，，右焦点，
若要椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的另外两个顶点为和，
从而，即，
又由，从而，
故离心率.
故答案为：.
14．点关于直线对称的点的坐标为 ．
【答案】
【分析】利用已知直线与已知点，求得过该点并垂直于已知直线的直线方程，联立求交点，利用中点坐标公式，建立方程组，解得答案.
【详解】由直线方程，则其斜率，
与直线垂直的直线斜率，
设直线过，可得其直线方程，整理可得，
联立可得，解得，交点坐标，
设关于直线对称点坐标，则，解得，
所以关于直线对称点坐标.
故答案为：.
15．已知点M（1，0）是圆C:内的一点，那么过点M的最短弦所在的直线方程是 ．
【答案】x+y-1=0
【详解】最短的弦与CM垂直，圆C：的圆心为C（2，1），
，
∴最短弦的方程为y−0＝−1（x−1），即x＋y−1＝0．
16．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】将求最小值的问题，转化为求点到圆心距离最小值的问题，结合点满足椭圆方程，转化为二次函数求最值即可.
【详解】不妨设点为，，则，则
设圆的圆心为，则坐标为
则的最小值，即为的最小值与圆的半径之差.
又
当时，，当且仅当时取得等号；
故.
故答案为：.
四、解答题
17．已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程；
（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案.
【详解】（1）由已知，，
又，则，
所以双曲线方程为.
（2）由，得，
则，
设，，则，，
所以.
18．如图，在正方体中，分别是的中点．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）根据平面法向量的性质，结合空间点到面距离公式进行求解即可.
【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，

，
所以直线与所成角的余弦值为；
（2）设平面的法向量为，
则得取，则，
得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
19．设直线：及直线外一点．
(1)写出点到直线的距离公式；
(2)推导点到直线的距离公式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】过点分别作，轴的平行线，与直线相交于点，作于点，用含或的式子表示出和，由勾股定理求得，再由等面积法求出的长即可．
【详解】（1）点到直线的距离公式：；
（2）设，则直线与轴和轴都相交，过点分别作轴的平行线，与直线相交于点，作于点，如图所示，
设，，
∵和均在直线上，∴，，
∴，，
∴，
，
由勾股定理知，，
∵，
∴，
即点到直线的距离．
可以验证，当，或时，上述公式也成立．
20．已知两圆和．
(1)求两圆的公共弦所在直线的方程；
(2)求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）两圆的方程相减，即可得公共弦所在直线的方程；
（2）根据题意，得到所求圆的圆心在直线上，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可的圆的方程.
【详解】（1）解：由圆和，
两个圆的方程相减，可得，
即两圆的公共弦所在直线的方程为．
（2）解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为，
由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上，
由方程组，解得，
又由方程组，解得或，
即两个圆的交点为或，
即所求圆的圆心坐标为，半径，
所以所求圆的方程为.
21．如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为棱上的一点．
(1)证明：；
(2)若二面角的余弦值为，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形的关系及余弦定理求得线与线垂直，再利用线面垂直的性质定理即证；
（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设出，利用空间向量的性质表示出二面角的余弦值，求得即可.
【详解】（1）证明：过点A作，垂足为N，
在等腰梯形中，因为，所以．
在中，，则，则．
因为底面，底面，所以．
因为，所以平面．
又平面，以．
（2）解：以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，，则，
则．
设平面的法向量为，则令，得．
由图可知，是平面的一个法向量．
因为二面角的余弦值为，所以，解得．
故当二面角的余弦值为时，．
22．已知点在椭圆上，设点为的短轴的上、下顶点，点是椭圆上任意一点，且，的斜率之积为.
(1)求的方程；
(2)过的两焦点、作两条相互平行的直线，交于，和，，求四边形面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，设，，，表达出，从而得到方程，求出，得到椭圆方程；
（2）先考虑，的斜率不存在时四边形面积为，再考虑，的斜率存在时，结合弦长公式，表达出四边形面积为，换元后得到，求出，求出四边形面积的取值范围.
【详解】（1）由题意得，设，，，
则，，
故，
又，的斜率之积为，故，解得，
所以椭圆；
（2）由（1）知，，
故，
当，的斜率不存在时，四边形为矩形，
令得，，故，同理可得，
故，，
故四边形面积为，
当，的斜率存在时，由对称性可知，四边形为平行四边形，
设，联立得，
易得，设，
则，
则
，
设点到直线的距离为，则，
故四边形面积为，
令，则，
则，
因为，所以，故，，
，，
故，
综上：四边形面积的取值范围是.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．