2023-2024学年内蒙古自治区鄂尔多斯市鄂托克旗四校联考高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年内蒙古自治区鄂尔多斯市鄂托克旗四校联考高二上学期期中数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题图确定直线斜率的大小关系即可.
【详解】由图知：，故斜率最小的直线是.
故选：B
2．下列说法正确的是（ ）
①“如果，那么”是随机事件；
②随机试验的频率与概率相等；
③如果一事件发生的概率为99.9999%，说明此事件必然发生；
④只有不确定事件有概率；
⑤若事件发生的概率为，则.
A．⑤B．③⑤C．③④⑤D．②③④⑤
【答案】A
【分析】由随机事件和必然事件的定义及其概率的关系进行分析判断，
【详解】对于①，“如果，那么”是必然事件；
对于②，随机试验多次重复发生时，频率会越来越靠近概率；
对于③，如果一事件发生的概率为99.9999%，只能说明此事件发生的可能性非常大，不代表一定发生，所以不能说是必然事件；
对于④，确定事件也有概率；
对于⑤，若事件A发生的概率为P（A），则，故⑤正确.
故选：A.
3．若圆的半径为2，则实数的值为（ ）
A．-9B．-8C．9D．8
【答案】D
【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.
【详解】由，得，
所以，解得.
故选：D.
4．已知一组数据6，6，8，8，10，10，则该组数据的方差是（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】利用平均数与方差的计算公式求解即可.
【详解】由题意，该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差是.
故选：C.
5．在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案.
【详解】设，
因为与的中点相同，所以，
解得，所以.
故选：A.
6．已知点A，B分别是直线与直线上的点，则的最小值为（ ）
A．0B．
C．D．
【答案】C
【分析】由两平行直线间的距离定义和公式可求.
【详解】由题意可知直线，所以当，且时，有最小值，
其最小值为平行直线 与的距离，
直线的方程可化为，
所以
故选：C.
7．如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（ ）

A．5B．3C．D．
【答案】D
【分析】以为一组基底，表示求解.
【详解】解：以为一组基底，
则，
，
，
，
，
，
，
所以.
故选：D
8．已知是坐标原点，若圆上有2个点到的距离为2，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出到原点的距离为2的轨迹方程，再由题意可知圆与圆有两个公共点，利用圆与圆的位置关系即可求得实数的取值范围.
【详解】将圆的方程化为标准方程得，所以.
到原点的距离为2的轨迹方程为，
因为圆上有2个点到的距离为2，所以圆与圆相交，
所以，又，
解得，即实数的取值范围为.
故选：A.
二、多选题
9．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，则互斥的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
【答案】BD
【分析】根据互斥事件的概念及对立事件判断即可.
【详解】对于A中，当从口袋中取出两个黑球时，事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，
所以事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件，所以A不符合题意；
对于B中，从口袋中取出两个球，事件“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，
但必有一个事件发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，符合题意；
对于C中，当从口袋中取出一红一黑时，事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，
所以事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，所以C不符合题意；
对于D中，事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，当取出两个红球时，
事件都没有发生，所以事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥事件不是对立事件，符合题意.
故选：BD.
10．有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ）
A．这组数据的众数为4B．这组数据的极差为3
C．这组数据的平均数为1.5D．这组数据的分位数为1
【答案】BD
【分析】利用众数、极差、平均数与百分位数的定义求解即可.
【详解】数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，4，4.
对于A，该组数据的众数为1，故A错误；
对于B，极差为，故B正确；
对于C，平均数为，故C错误：
对于D，因为，所以这组数据的分位数为第4个数1，故D正确.
故选：BD.
11．已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在圆的内部，则
B．若，则圆的公共弦所在的直线方程是
C．若圆外切，则
D．过点作圆的切线，则的方程是或
【答案】BCD
【分析】根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确.
【详解】对于A，由点在圆的内部，得，解得，故错误；
对于B，若，则圆，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确；
对于C，圆的标准方程为，圆心为，半径，
圆的标准方程为，圆心为，半径，
若圆外切，则，即，解得，故C正确；
对于D，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求，
当的斜率存在时，设的方程为，
圆心到的距离，解得，
所以的方程是，故D正确.
故选：BCD.
12．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）

A．，，，四点共面
B．与所成角的大小为
C．在线段上存在点，使得平面
D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
【答案】AD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，假设在线段上存在点，设，，利用坐标法验证线面垂直，可判断C选项；分别证明与上的所有点到平面的距离为定值，即可判断D选项.
【详解】以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，
设，

则，
所以，解得，
故，即，，，四点共面，故A正确；
因为，，
所以，
所以与所成角的大小为，故B错误；
假设在线段上存在点，符合题意，
设（），则，
若平面，则，,
因为，，
所以，此方程组无解，
所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；
因为，所以，
又平面，平面，所以平面，
故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，
又的面积是定值，
所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确；
故选：AD.
三、填空题
13．以点为圆心，且与轴相切的圆的方程是 .
【答案】
【分析】结合已知条件求出圆的半径，进而得到答案.
【详解】因为为圆心，且圆与轴相切，
所以圆的半径，
故所求圆的方程为.
故答案为：.
14．已知木盒中有围棋棋子15枚（形状大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放回地从盒中取两次，每次取出1枚棋子，则这两枚棋子恰好不同色的概率是 .
【答案】
【分析】利用事件的相互独立乘法公式，和互斥事件的概率加法公式计算即可.
【详解】从盒中随机取出1校棋子，“是黑棋子”记为事件A，“是白棋子”记为事件B，则，，
两枚棋子恰好不同色包含：第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子.这两个事件是互斥事件.
第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子相互独立，概率为；
第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子也相互独立，概率为.
所以这两枚棋子恰好不同色的概率是.
故答案为：.
15．已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是 .
【答案】
【分析】先根据两直线相交联立方程组求出点A的坐标；再设出对称点的坐标；最后列出关系式求解即可.
【详解】因为直线与直线交于点A，
所以联立，解得，即.
设点关于直线的对称点坐标为，
则的中点坐标为，，
故，解得，即点A关于直线的对称点坐标是.
故答案为：.
16．有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 .

【答案】
【分析】补全正方体，建立空间直角坐标系，利用坐标法表示异面直线夹角余弦值，列出方程，解方程即可.
【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.

设半正多面体的棱长为，则正方体的棱长为，
所以，，，，，，，所以，，
则，，
设直线与直线所成角为，
则，
即，解得或（舍）.
故答案为：
四、解答题
17．已知直线l的方程为．
(1)若直线l的倾斜角为，求k的值；
(2)已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，若，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由直线斜率与倾斜角的关系，求k的值．
（2）求出直线l在x轴，y轴上的截距，根据方程得到k的值，可求直线l的方程.
【详解】（1）由题意可得
（2）在直线l的方程中，令，得，即，
令，得，即，
由，得，即，解得或，
所以直线l的方程为或.
18．已知.
(1)求点到直线的距离；
(2)求的外接圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线的两点式求得直线的方程为，由点到直线距离公式即可求出结果；
（2）设的外接圆的方程为，代入坐标联立解方程组即可求得结果.
【详解】（1）直线的方程为，
化简可得，
所以点到直线的距离.
（2）设的外接圆的方程为，
将的坐标代入，得
，即
解得；
故所求圆的方程为.
19．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点.

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点G，连接，，利用线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
因为F，G分别为，的中点，
所以，，
又E为的中点，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）
解：在直三棱柱中，平面，
又平面，平面，
所以，，又，
故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，， ，
设平面的法向量为，
则令得，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
20．每天在业余时间进行慢走与慢跑，可加强人的心脏功能，保持血压稳定，可加速脂质代谢，防止血脂升高，同时，还能提高人体免疫功能，增强防御疾病的能力，有助于身心健康，使人精力充沛.某企业为了了解本企业员工每天慢走与慢跑的情况，对每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工，随机抽取n人进行调查，将既参加慢走又参加慢跑的人称为“H族”，否则称为“非H族”，得如下的统计表以及每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工人数的频率分布直方图（部分）∶
(1)试补全频分布直方图，并求与n的值；
(2)从每天慢走时间在[40，50）（分钟）内的“H族”中按时间采用分层抽样法抽取6人参加企业举办的健身沙龙体验活动，再从这6人中选2人作健身技巧与减脂秘籍的发言，求这2人每天慢走的时间恰好1人在[40，45）分钟内，另一个人在[45，50）分钟内的概率.
【答案】(1)直方图见解析，，
(2)
【分析】(1)利用所有组的频率之和等于1，算出第二组的频率，得到第二组矩形的高，补全频率分布直方图，由第一组的频率和频数计算样本容量，再计算第五组的频数.
(2)按分层抽样的法则在两个组中抽取对应人数，从这6人中选2人，列出样本空间，看其中恰好1人在[40，45）分钟内，另一个人在[45，50）分钟内占多少种基本事件，计算相应概率。
【详解】（1））第二组的频率为，
所以第二组小矩形高为．补全后的频率直方图如下：
第一组的频率为，所以．
第五组的频率为，所以．
（2）因为分钟的“H族”人数为，
分钟的“H族”人数为，二者比例为，
所以按时间采用分层抽样法抽取6人，分钟内抽取4人，分钟内抽取2人．
设这2人每天慢走的时间恰好1人在分钟，另一个人在分钟为事件Q，
在分钟内抽取4人记为A，B，C，D，分钟内抽取2人记为a，b，
则有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，
共15种不同的抽取方法，事件Q有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种，
所以，即选出发言的2人每天慢走的时间恰好1人在分钟内，
另一个人在分钟内的概率为．
21．如图1，已知梯形ABCD中，，E是AB边的中点，，，.将沿DE折起，使点A到达点P的位置，且，如图2，M，N分别是PD，PB的中点.
(1)求平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值；
(2)求点P到平面MCN的距离.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分别以ED，EB，EP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解；
（2）根据点到平面距离的向量法求解即可.
【详解】（1）因为图1中，所以图2中，，又，
所以分别以ED，EB，EP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，.
因为，，，DE，平面BCDE，
所以平面BCDE，所以是平面BCDE的一个法向量，
设平面MCN的法向量，由得取，则，，所以平面MCN的一个法向量，
设平面MCN与平面BCDE的夹角为，则，
所以平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值为.
（2）由（1）知是平面MCN的一个法向量，
又，
所以点P到平面MCN的距离.
22．已知是实数，圆的方程是.
(1)若过原点能作出直线与圆相切，求实数的取值范围；
(2)若，圆与轴相交于点（点在点的左侧）.过点任作一条直线与圆相交于点.问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在实数
【分析】（1）由题意原点在圆上或圆外，则点到圆心的距离大于等于半径，从而可得答案.
(2)若存在实数，使得，则,由此条件先求出的坐标，假设出交点的坐标，表示出，最后利用韦达定理解出.
【详解】（1）因为过原点能作出直线与圆相切，所以原点在圆上或圆外.
所以，解得，
所以所求实数的取值范围是.
（2）在中，令得，即，解得，或，
因为，点在点的左侧，所以.
假设存在实数，使得，则的斜率互为相反数.
①当直线与轴垂直时，显然，此时是大于-4的任意实数.
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入，得，
设，则
，
而
，
令，解得（满足）.
所以时，.
综上所述，存在实数，使得.
组数
分组
人数
本组中“H族”的比例
第一组
[25，30)
200
0.6
第二组
[30，35)
300
0.65
第三组
[35，40)
200
0.5
第四组
[40，45)
150
0.4
第五组
[45，50)
a
0.3
第六组
[50，55)
50
0.3