2023-2024学年山东省菏泽市高二上学期期中数学试题（B）含答案

这是一份2023-2024学年山东省菏泽市高二上学期期中数学试题（B）含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若直线与直线互相平行，则的值是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】利用两直线平行可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】因为直线与直线互相平行，
则，解得.
故选：A.
2．已知点，点B在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离即可求解.
【详解】由于不在直线上，所以当时，此时最小，
故,
故选:C
3．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】把抛物线方程化成标准方程后可求焦点坐标.
【详解】抛物线方程为：，故焦点坐标为：，
故选：C.
4．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据抛物线方程写出其准线方程，再利用抛物线定义即可求得结果.
【详解】如下图所示：

根据题意可得抛物线的准线方程为，
若到直线的距离为，则到抛物线的准线的距离为，
利用抛物线定义可知.
故选：A
5．已知直线，圆．则“”是“与相切”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据直线与圆的位置关系求出a，进而判断为充分不必要条件.
【详解】l与C相切，则圆心到直线l的距离，解得或.
所以“”是“l与C相切”的充分不必要条件.
故选：B
6．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，，，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为，，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据离心率的计算公式求解即可.
【详解】椭圆的短轴长与长轴长的比值为，
代入椭圆的离心率公式，
故，，，
计算，，，则，
所以.
故选：A.
7．设抛物线的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论错误的是（ ）
A．准线的方程是B．的最大值为2
C．的最小化为5D．以线段为直径的圆与轴相切
【答案】B
【分析】选项A根据抛物线的方程直接求出准线；选项B利用进行求解；选项C根据抛物线定义，将转化成M到准线的距离，利用数形结合进行求解；选项D根据直线与圆相切的定义进行判断.
【详解】对于选项A，可知，所以焦点，准线方程为，故A正确；
对于选项B，，
当点M在射线EF上时等号成立，即的最大值为，故B错误；
对于选项C，过点M，E分别作准线的垂线，垂足分别为A，B，则，当点M在线段EB上时等号成立，
所以的最小值为5，故C正确；
对于选项D，设，线段MF的中点为D，则，
所以线段为直径的圆与轴相切，故D正确.
故选：B
8．已知双曲线的右焦点为，点，是双曲线上的一点，当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由双曲线方程得点坐标和离心率，设右焦点为到右准线的距离是，根据准线方程即可得，从而得到当垂直于右准线时，取得最小值，再根据点在双曲线上，即可求点的坐标.
【详解】由双曲线知，，，，所以右焦点为，离心率，
右准线方程是，点在双曲线内，
设右焦点为，点到右准线的距离是，则，
所以，所以，
当垂直于右准线时，取得最小值，
此时可设，因为是双曲线上的一点，代入双曲线方程可得，
所以，所以点的坐标为.
故选：B
二、多选题
9．已知圆，则（ ）
A．点在圆的内部B．圆的直径为2
C．过点的切线方程为D．直线与圆相离
【答案】ACD
【分析】利用圆的标准方程，找到圆心和半径，利用直线和圆的位置关系判断即可.
【详解】A:将点代入圆：，所以点在圆内，故A正确；
B:圆的半径为，所以直径为，故B错误；
C:将代入圆：，所以点在圆上，过圆上的一点做圆的切线有且只有一条，当斜率不存在时，此时过点的直线为，满足，故只有唯一的切线方程，故C正确；
D:圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故D正确.
故选：ACD.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：，则（ ）
A．C的离心率为2B．C的渐近线方程为
C．C的实轴长为2D．C的右焦点到渐近线的距离为
【答案】ABD
【分析】根据双曲线方程可得，即可根据双曲线的几何性质即可判断ABC，根据点到直线的距离公式即可求解D.
【详解】由双曲线C：可得，
所以，
故离心率为长轴长为，故A正确，C错误，
渐近线方程为，故B正确，
右焦点为，到渐近线的距离为，故D正确，
故选：ABD
11．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新lg（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当时，下列关于曲线的判断正确的有（ ）
A．曲线关于轴和轴对称
B．曲线所围成的封闭图形的面积小于8
C．设，直线交曲线于两点，则的周长小于8
D．曲线上的点到原点的距离的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据用替换，不变，得方程不变，用替换，不变，得方程不变，可判断A正确；根据曲线的范围，可判断B正确；先得到椭圆在曲线内(除四个交点外)，再根据椭圆的定义可判断C不正确；利用两点间的距离公式、三角换元和三角函数知识求出最大值，可判断D正确；
【详解】当时，曲线：，
对于A，用替换，不变，得，即，则曲线关于轴对称；用替换，不变，得，即，则曲线关于轴对称，故A正确；
对于B，由，得，，所以曲线在由直线和所围成的矩形内（除曲线与坐标轴的四个交点外），所以曲线所围成的封闭图形的面积小于该矩形的面积，该矩形的面积为，故B正确；
对于C，对于曲线和椭圆，
设点在上，点在上，
因为
，
所以，所以，
设点在上，点在上，
因为
，
所以，所以，
所以椭圆在曲线内(除四个交点外)，如图：
设直线交椭圆于两点，交轴于，
易知，为椭圆的两个焦点，
由椭圆的定义可知，，，
所以的周长为，
由图可知，的周长不小于，故C不正确；
对于D，设曲线上的点，则该点到原点的距离为，
因为，所以设，，，
则，其中，，
所以当时，取得最大值，取得最大值.故D正确；
故选：ABD
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】结合椭圆和双曲线的定义即可求解.
【详解】设焦距为，椭圆的长轴长为，短轴长为，
双曲线的长轴长为，短轴长为，
则在中，，
根据对称性，设椭圆与双曲线的交点在第二象限，
由双曲线的定义知：，
由椭圆的定义知：，
则，
又，，
则，则，又，解得，
则，A错误；，B正确；，
C正确；，D错误.
故选：BC
三、填空题
13．若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是 ．
【答案】
【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角.
【详解】因为直线l的方向向量为，所以直线的斜率为，即直线的倾斜角的大小是.
故答案为：.
14．若圆与圆相切，则a的值为 .
【答案】或或
【分析】讨论两圆为内切或外切两种情况，利用圆心距离与两圆半径的关系列方程求参数a即可.
【详解】由的圆心为，半径为1；的圆心为，半径为5，
∴若两圆内切，则，即；
若两圆外切，则，即.
故答案为：或或.
15．已知抛物线的焦点，过点F作互相垂直的两条弦，两条弦、的中点分别为M，N，直线与x轴交于点E．当的斜率为时，的面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意得到，联立方程组求得，得到和，得出的方程，即可求解．
【详解】由题意，抛物线的焦点，可得，解得，所以，
又由的斜率为，可得，
设，联立方程组 ，整理得，
所以，因为M为中点，所以，
同理得，且，
所以，
令，得，所以，所以．
故答案为：.
16．某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为 ．
【答案】
【分析】作出辅助线，找到为二面角的平面角，结合离心率得到，求出二面角的余弦值，进而求出二面角的大小.
【详解】如图，设圆柱方程为，则圆柱的半径为，
即为“切面”所在平面与底面所成锐二面角，
由题意得，
因为，，所以，
，故.
故答案为：
四、解答题
17．已知点、．
(1)求线段的垂直平分线的直线方程；
(2)若点、到直线的距离相等，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出直线的斜率与线段的中点，即可求出线段的垂直平分线的方程；
（2）求出线段的中点的坐标，分两种情况讨论，一是点在直线上，二是直线与直线平行，即可求得实数的值.
【详解】（1）解：线段的中点为，，
故线段的中垂线的方程为，即.
（2）解：由条件线段的中点为在直线上或线段所在直线与直线平行，
若线段的中点为在直线上，则，解得；
线段所在直线与直线平行，则，解得．
综上所述，或.
18．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线的斜率为1，经过点，且与椭圆交于，两点，若，求值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意设出椭圆方程，结合长轴长、离心率概念求解出的值，根据求解出的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线与椭圆方程，并注意判别式，根据弦长公式列出关于参数的方程，从而结果可求.
【详解】（1）设椭圆的方程为，
所以，，解得，
所以，所以.
（2）根据题意可得，则，
且，则，
又，
所以，
即，
则，解得，经检验，符合题意．
19．小徐同学在平面直角坐标系画了一系列直线（）和以点为圆心，为半径的圆，如图所示，他发现这些直线和对应同一值的圆的交点形成的轨迹很熟悉．

(1)求上述交点的轨迹的方程；
(2)过点作直线交此轨迹于、两点，点在第一象限，且，轨迹上一点在直线的左侧，求三角形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先设交点的坐标，再根据已知列方程组，消参即可得轨迹方程；
（2）先设直线的方程，再和抛物线联立方程组得两根和及两根积，最后结合向量关系及面积公式求解即可.
【详解】（1）设交点为
（2）
设直线为，
，，，
，
，
，，
，，
直线：，设点，
点到直线的距离为
所以
20．已知圆
(1)求过点且与圆相切的直线方程；
(2)若为圆上的任意一点，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先根据圆的标准方程写出圆心坐标和半径；再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，依据圆到直线的距离求出每一种情况下的直线方程即可.
（2）先分析出的几何意义；再求出圆心与点的距离为，根据圆的特点算出动点与定点距离的最大值和最小值；最后求出的取值范围即可.
【详解】（1）圆的圆心为，半径.
当经过点的直线与轴垂直时，直线方程为，此时圆心到直线的距离等于半径，故直线与圆相切，符合题意；
当经过点的直线与轴不垂直时，设直线方程为，
即.
由圆到直线的距离得：，解得，
此时直线的方程为，化简得，
综上：圆的切线方程为或.
（2）的几何意义为圆上动点与定点距离的平方，
设圆心与点的距离为，则，
所以的最大值为，最小值为，
故的最大值为，最小值为，
即的取值范围．
21．已知椭圆，①直线过的右焦点，椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的2倍，②点，都在上，③四点，，，中恰有三点在椭圆上．
在以上三个条件中任选一个，解答下列问题．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)设，，是椭圆上不同于，的两点（其中在轴上方），若直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①：根据焦点的坐标特点，结合点到直线距离公式进行求解即可；若选②：利用代入法进行求解即可； 若选③：根据椭圆的对称性，利用代入法进行求解即可.
（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合直线斜率公式、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）若选①设椭圆的焦距为，直线恒过定点，所以．
椭圆的下顶点到直线的距离，
由题意得解得，．
所以椭圆的标准方程为；
若选②因为，都在上，所以解得
所以椭圆的标准方程为；
若选③由对称知：，都在椭圆上，对于椭圆在第一象限的图像上的点，
易知是的减函数，故，只有一个点符合，显然不在椭圆上，
所以，，三点在椭圆上，所以，
将代入椭圆方程可得，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）设直线的斜率为，即直线的方程为，
联立直线与椭圆方程化简整理可得，
，
设，由韦达定理可得，，即，，
因为直线的斜率等于直线的斜率的倍，
所以可得直线的方程为，
联立直线与椭圆方程
化简整理可得，
，
设，由韦达定理可得，即，，
由对称性，不妨设，
则四边形的面积
，
令，则，当且仅当，即，等号成立，
则，故的最大值为．
【点睛】关键点睛：本题的关键是由对分式的变形，利用基本不等式进行求解.
22．已知双曲线的右焦点为，的两条渐近线分别与直线交于，两点，且的长度恰好等于点到渐近线距离的倍.
(1)求双曲线的离心率；
(2)已知过点且斜率为1的直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，若对于双曲线上任意一点，均存在实数，，使得，试确定，的等量关系式.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设直线与轴交于点，不妨取一条渐近线，
则，∴，
又到的距离，
∴，即，
∴.
（2）由（1）知，，
∴，
∴，
∴双曲线，即，则，直线，
由消去可得，
设，，则由韦达定理可得，，
设，则由可得，
由点在双曲线上可得，
即，
∵，，
∴.