2023-2024学年山西省实验中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山西省实验中学高二上学期期中数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若，，三点共线，则（ ）
A．4B．C．1D．0
【答案】A
【分析】根据空间向量平行坐标关系计算求解即可.
【详解】因为，，所以，
解得．故．
故选：A.
2．已知两条平行直线：与：间的距离为4，则C的值为（ ）
A．14B．－2C．－10D．14或－10
【答案】B
【分析】根据两平行直线的距离公式可得，求解即可.
【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得或，
又因为，所以.
故选：B.
3．已知，，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】画出图象，结合斜率公式求得倾斜角的取值范围.
【详解】画出图象如下图所示，
，所以直线的倾斜角为，
，所以直线的倾斜角为，
结合图象可知，直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D.

4．一条光线从点射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点，则点P的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】如图，由题可得点B关于轴的对称点，后可得直线方程，则直线与轴交点即为点P.
【详解】如图，由题可得关于轴的对称点为，
则直线方程为： ，令，得，
则点P.
故选：D

5．已知圆的圆心为M，设A是圆上任意一点，，线段的垂直平分线交于点P，则动点P的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．线段
【答案】B
【分析】根据椭圆定义判断．
【详解】点P在线段的垂直平分线上，故.又是圆的半径，
所以.由椭圆的定义知，动点P的轨迹是椭圆.
故选：B．
6．如图，在平行六面体中，，，若，则为（ ）

A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】设，且，以为一个空间基底，求得，，结合，列出方程，即可求解.
【详解】设，且，
因为，以为一个空间基底，
可得，，
又因为，可得，
即，即，
解得或（舍去），即的值为.
故选：D.
7．在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先利用判别式法，求出与椭圆相切的直线方程，然后即可求得本题答案.
【详解】设直线与椭圆相切，
联立方程，得①，
因为直线与椭圆相切，所以，得，
当时，与的距离最大，最大距离为，
把代入①得，，得，
代入，得，
所以点的坐标为，
故选：A
8．已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案.
【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得，

则①，即，
由余弦定理得，
，故，②
联立①②，解得：，
而，所以，
即，
故选：B
【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解.
二、多选题
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点，有，则四点共面
C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．若，则是钝角
【答案】ABC
【分析】根据向量共面的定义可判断A，根据共面定理可判断B，根据基底的定义可判断C，利用向量夹角的取值范围判断D.
【详解】对于A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，A正确；
对于B，因为且，
所以P，A，B，C四点共面，B正确；
对于C，因为是空间中的一组基底，所以不共面且都不为，
假设共面，则，
即，则，与其为基底矛盾，所以不共面，
所以也是空间的一组基底，C正确；
对于D，若，则是钝角或是，D错误；
故选：ABC
10．已知直线l：和圆O：，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在k使得直线l与直线：垂直
C．直线l与圆O相交
D．直线l被圆O截得的最短弦长为
【答案】BC
【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.
【详解】对A，由可得，，
令，即，此时，所以直线l恒过定点，A错误；
对B，因为直线：的斜率为，所以直线l的斜率为，即，
此时直线l与直线垂直，满足题意，B正确；
对C，因为定点到圆心的距离为，
所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，C正确；
对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为，
此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误；
故选：BC.
11．下列命题中正确的是（ ）
A．双曲线与直线有且只有一个公共点
B．平面内满足的动点P的轨迹为双曲线
C．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则
D．已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为
【答案】AC
【分析】A选项，联立求出双曲线与直线只有一个交点，A正确；B选项，举出反例；C选项，根据焦点在轴上，得到不等式组，求出；D选项，由双曲线焦距和渐近线方程，得到，，得到双曲线方程.
【详解】对于A，解方程组得唯一解,
所以双曲线与直线有且只有一个公共点，所以A对；
对于B，当时，满足的动点P的轨迹为两条射线，不是双曲线，所以B错；
对于C，若方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则且，解得，所以C对；
对于D，设双曲线标准方程为，由，则，
渐近线方程为，即，由，解得，，
双曲线的标准方程为，所以D错.
故选：AC
12．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则下列选项正确的是（ ）

A．直线与底面ABCD所成的角为30°
B．平面与底面ABCD夹角的余弦值为
C．直线与直线AE的距离为
D．直线到平面的距离为
【答案】BC
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离.
【详解】
如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，
则，，，，，，
A选项：，平面的法向量，
设直线与底面所成的角为，
则，
直线与底面所成的角不为，故A错误；
B选项：，，
设平面的法向量，则，令，则
设平面与底面的夹角为，
则，
平面与底面夹角的余弦值为，故B正确；
C选项，，
直线与直线的距离为：，故C正确；
D选项，，平面，平面，
又，平面的法向量，
直线与平面的距离为：，故D错误；
故选：BC.
三、填空题
13．经过点，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线的一般式方程为 .
【答案】
【分析】由题可知，直线在x上轴截距为-3，再利用截距式可直接求得直线方程
【详解】∵直线过（0，5），
∴直线在y轴上的截距为5，
又直线在两坐标轴上的截距之和为2，
∴直线在x轴上的截距为2-5=-3
∴直线方程为,即5x-3y+15=0
【点睛】直线方程有五种基本形式，在只知道横纵截距的情况下，截距式是最快捷的一种方式
14．在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为 ．
【答案】
【分析】利用等体积法求得到平面的距离.
【详解】因为平面ABC，平面ABC，所以，
依题意可知平面，
所以平面，
由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，
即到平面的距离是.
,，
所以，
由于，所以，
，
设到平面的距离为，则，
即.
故答案为：
15．已知双曲线的焦点为F，O为坐标原点，P为C上一点，且为正三角形，则双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【分析】依题意画出图形，根据余弦定理与双曲线的定义建立等量关系求解离心率.
【详解】由对称性，不妨设F为右焦点，则在右支上，设双曲线左焦点为，
依题意，三角形为正三角形，
则，连接，
在中，，
由余弦定理得，
，
可得，又，即，
所以.
故答案为：.

16．已知点P是直线：和：（m，，）的交点，点Q是圆C：上的动点，则的最大值是 .
【答案】
【分析】根据题意分析直线分别过定点，点P的轨迹是以为直径的圆，结合圆的性质运算求解.
【详解】因为直线：，即，
令，解得，可知直线过定点，
同理可知：直线过定点，
又因为，可知，
所以直线与直线的交点P的轨迹是以的中点，半径的圆，
因为圆C的圆心，半径，
所以的最大值是.
故答案为：．
四、解答题
17．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，在上，在上，且．

(1)求向量，的坐标；
(2)求与所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求解即可；
（2）利用空间向量异面直线夹角的求法即可得解.
【详解】（1）由题意可得，，
故．
（2）由（1）可知，
所以．
．
所以．
故与所成角的余弦值为．
18．求满足以下条件的参数的值．
(1)若直线：和直线：平行，求m的值．
(2)已知直线经过点，，直线经过点，，若，求a的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由两直线平行，根据平行的判定求的值即可.
（2）当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解.
【详解】（1）直线和直线平行，
，解得或，
当时，直线：和直线：平行，
当时，直线：和直线：重合，
所以；
（2）由题意，知直线的斜率一定存在，直线的斜率可能不存在.
当直线的斜率不存在时，，即，此时，则，满足题意.
当直线的斜率存在时，，
由斜率公式，得.
由，知，即，解得.
综上所述，或.
19．已知直线l：．
(1)证明：直线l恒过第二象限；
(2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的一般式方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）直线含参先求出定点，进而可证明；
（2）直线过定点求面积的最值，可将直线直接设为截距式，再利用基本不等式求出其面积最小值及直线方程.
【详解】（1）因为直线方程为：，
因为，所以，解得，
所以直线恒过点，
而点在第二象限，所以直线l恒过第二象限；
（2）设直线l为，
因为在直线上，所以，
又，
所以，两边同时平方得：，，
当且仅当，即，时取等号，
所以的面积为，即S的最小值为，
此时直线方程为，化简得：.
20．在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论；
（2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以G为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.
【详解】（1）证明：取中点，连接，
为的中点，
，又，
，
四边形为平行四边形：
，
平面平面，
平面；
（2）平面平面，平面平面平面，平面，
取中点，连接，则平面，
，
，又，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，
，设平面的一个法向量，，
则，取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成的夹角为，
,平面与平面所成的夹角的余弦为
21．已知椭圆的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且直线与直线的斜率之和为，证明：直线的斜率为定值.
【答案】(1) 椭圆的方程为;(2)见解析.
【详解】试题分析：（1）由已知条件先求出椭圆的半焦距，再把代入椭圆方程，结合性质 ，求出 、 、，即可求出椭圆的方程；（2）设直线的方程为与椭圆的方程联立，根据韦达定理及过两点的斜率公式，利用直线的斜率之和为零可得，从而可得结果.
试题解析：（1）因为椭圆的焦距为，且过点，所以.因为，解得，所以椭圆的方程为.
（2）设点，则，由消去得，（*）则，因为，即，化简得.即.（**）代入得，整理得，所以或.若，可得方程（*）的一个根为，不合题意，所以直线的斜率为定值，该值为.
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和过两点的斜率公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
22．已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点.
(1)求的方程；
(2)记为坐标原点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题设及椭圆性质、参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；
（2）设，直线，联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式写出面积关于k的表达式，进而求其最大值.
【详解】（1）由题意得，，解得，故的方程为.
（2）设，直线，
联立，整理得：.
由得，且，
，
点到直线的距离，
，

令，故，故，
当且仅当，即时等号成立，
故面积的最大值为.