2023-2024学年天津市河北区高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市河北区高二上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若空间一点在轴上，则（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】D
【分析】根据轴上点的坐标的特征得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为空间一点在轴上，
所以，解得；
故选：D
2．若直线l的方程是，则（ ）
A．直线经过点，斜率为；
B．直线经过点，斜率为；
C．直线经过点，斜率为；
D．直线经过点，斜率为1.
【答案】C
【分析】将直线化简为，将选项一一代入，即可得出答案.
【详解】直线方程化简为：，所以直线经过点，斜率为.
故选：C.
3．已知圆，则其圆心和半径分别为 ( )．
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】结合圆的标准方程的定义可得答案.
【详解】由已知圆的标准方程为，所以圆心的坐标为，半径．
故选：C．
4．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用向量的平行四边形法则、平行六面体的性质即可得出．
【详解】，
故选：B．
5．两条平行直线：与：之间的距离是（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】B
【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】，
两平行线间的距离为，
故选：B
6．如果AB>0,BC>0，那么直线Ax－By－C＝0不经过的象限是
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】试题分析：斜率为，截距，故不过第二象限.
【解析】直线方程.
7．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由两直线垂直得，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.
【详解】由两直线垂直得，解得，
所以原直线直线可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故选:D
8．已知空间向量， 则下列结论正确的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量是
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对于A选项，根据投影向量的定义计算即可；对于B选项，根据空间向量的减法运算法则即可；对于C选项，根据向量法垂直的判别即可；对于D选项，根据向量夹角的余弦公式计算即可.
【详解】A.在上的投影，
与同向的单位向量为，
所以向量在向量上的投影向量是，
故A正确；
B.，故B错误；
C.因为，所以与不垂直，故C错误；
D.，故D错误.
故选：A.
9．如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案.
【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得，，，，则，，
所以.
又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
10．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，
直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，
整理可得，即即，
从而，则椭圆的离心率，
故选A.
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
二、填空题
11．椭圆的焦距长为 ．
【答案】2
【分析】根据椭圆方程求出，进而可求出结果.
【详解】因为椭圆中，，所以，
所以焦距为.
故答案为2
【点睛】本题主要考查椭圆的焦距，熟记椭圆的性质即可，属于基础题型.
12．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l1∥l2，且l2过点A(-2，-1)和B(3，a)，则a的值为 .
【答案】4
【分析】根据直线上的两点求得直线的斜率，再由两直线平行其斜率间的关系建立方程可得答案.
【详解】由题意，得，即a=4.
答案:4.
【点睛】本题考查由两直线的位置关系求参数的问题，属于基础题.
13．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则实数m的值为 .
【答案】9
【分析】由圆心距等于半径之和求解．
【详解】解析：圆C2的标准方程为(x3)2+（y4）2=25-m.圆C1：x2+y2=1，∴|C1C2|=5.
又∵两圆外切，∴5=1+，解得m=9.
故答案为：9．
三、双空题
14．如图，在棱长为1的正方体，中，E为线段的中点， 则直线与平面所成角的正弦值为 ；点到直线的距离为 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.
【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,0,,,1,,,1,,,1,,,,,
，，
设平面的法向量为，
则，，，
取，则，，是平面的一个法向量，
又，
设与平面所成角为，则，
取，，
则，，
故点到直线的距离为；
故答案为：
四、填空题
15．椭圆（为非零常数）的焦点分别为，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么等于 ．
【答案】
【分析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可得，结合椭圆的定义可得，进而可以求出结果.
【详解】由，可知，，所以，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
，由椭圆的定义知，则
∴.
故答案为：7
五、解答题
16．已知的三个顶点为，，，为的中点．求：
(1)所在直线的方程；
(2)边上中线所在直线的方程；
(3)边上的垂直平分线的方程．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】(1)由点斜式求直线的方程；(2)由条件求的坐标，再求直线所在直线的方程；(3)根据直线垂直时斜率的关系求直线的斜率，再求其方程.
【详解】（1）∵ ，，
∴ 直线的斜率，
∴ 直线的方程为，即；
（2）∵ ，，为的中点，
∴ 点的坐标为，又，
∴ 直线的方程为，即；
（3）∵ 直线的斜率，的中点的坐标为，
∴ 边上的垂直平分线的斜率为，
直线的方程为，
17．已知圆过两点，，且圆心P在直线上．
(1)求圆P的方程；
(2)过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）依题意可设圆P的方程为，圆P过两点，，可列方程组求解未知数，从而可得圆P的方程；
（2）由弦长，可得圆心到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时验证即可，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由点到直线的距离公式列出方程可求解.
【详解】（1）依题意圆心P在直线上，可设圆P的方程为，
因为圆P过两点，，
所以，解得，
所以圆P的方程为.
（2）由（1）可知，圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为1，
此时满足题意；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，即，
当时，圆心到直线的距离，
即有，解得，
此时直线的方程为，即为.
综上，直线的方程为或.
六、未知
18．如图，是边长为4的正方形，平面，，且.
(1)求证: 平面;
(2)求平面与平面 夹角的余弦值；
(3)求点D到平面的距离.
【答案】(1)证明见详解；
(2)；
(3).
【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面位置关系，计算面面角及点面距离即可.
【详解】（1）
根据题意可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，
易知平面的一个法向量为，
显然，又平面，
所以 平面；
（2）由上坐标系可知，则，
设平面与平面的一个法向量分别为，
则有，，
取，则，即，
设平面与平面的夹角为，则；
（3）由（2）得平面的一个法向量为，
又，所以点D到平面的距离.
19．已知椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若，（为原点），求直线 的方程；
(3)过原点作直线的垂线，垂足为P，若 ，求 的值.
【答案】(1)；
(2)或者；
(3)
【分析】（1）先直接求出，再根据离心率求出即可；
（2）先设出过右焦点的直线，然后联立得到韦达定理，再把转化为进而代入韦达定理即可；
（3）先求出，再由韦达定理求出弦长，最后代入求解即可.
【详解】（1）因为椭圆焦点在轴上且经过点，所以，
又因为，所以，又，
解得，
所以椭圆方程为；
（2）如图所示，
由（1）知，所以直线，设，
联立，可得，
易得，所以，
所以，
而，
解得，所以直线方程为或者；
（3）如图所示，
过作交于点，所以为点到直线的距离，
即，所以，
又
，
所以，
所以.
【点睛】关键点睛：熟练应用韦达定理和弦长公式是解析几何的基本功，需要多加训练和熟悉.