2023-2024学年四川省雅安市高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省雅安市高一（上）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈N|x−4<0}，B={0,1,3,4}，则A∩B=( )
A. {1,3}B. {1,3,4}C. {0,1,3}D. {0,1,3,4}
2.命题“∃x∈(0,1)，x2−ax+2<0”的否定是( )
A. ∃x∈(0,1)，x2−ax+2≥0B. ∀x∈(0,1)，x2−ax+2≥0
C. ∃x∉(0,1)，x2−ax+2<0D. ∀x∉(0,1)，x2−ax+2<0
3.已知函数f(x)=x−3x,x>0,x2+2,x≤0,则f(f(−1))=( )
A. −3B. 3C. −2D. 2
4.“x=2”是“x−2= x2−4x+4”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.函数f(x)=2x−1x3的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.已知关于x的不等式x2−ax+a≥0对任意的x恒成立，则a的最大值是( )
A. 0B. 2C. 4D. 6
7.某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人.已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是( )
A. 20B. 21C. 23D. 25
8.已知函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)，且当x∈(0,2]时，f(x)=2x+2x−3，则f(92)=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数中，表示同一函数的有( )
A. y=x与y= x2B. y=2x与y=23x3
C. y=x2+x+3与y=t2+t+3D. y=x2与y= x4
10.已知a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A. ac2−b>bc2−aB. 1a<1bC. a3>b3D. a2>ab
11.设集合Ak={x|x=2nk+1,n∈Z}(k=1，2，3)，则下列结论正确的是( )
A. 2025∈A1∩A2B. 若a∈A2，且ab∈A3，则b∉A1
C. 若a∈A2，b∈A3，则ab∈A1D. 若a∈A2，b∈A3，则3a+2b∈A2
12.若关于x的不等式x2−(a+3)x+3a<0恰有4个整数解，则( )
A. a的值可以是152B. a的值不可能是−2
C. a的最大值是8D. a的最小值是7
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=2 x−3+(x−4)0的定义域是______．
14.已知函数f(2x+1)=x2−3x+1，则f(x)= ______ ．
15.秋游不仅能让人们放松身心，还能让人们了解自然，热爱自然.某班组织同学去秋游.若参加秋游的人数不超过25，则秋游费用为每人180元；若参加秋游的人数超过25，但不超过45，则秋游费用为每人150元；若参加秋游的人数超过45，则秋游费用为每人120元.若此次秋游的总费用为6600元，则参加此次秋游的人数是______ ．
16.已知a>0，b>0，且a+b=2，则2ab+3b2a的最小值是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x||x−1|≥2}，B={x|a−1(1)当a=1时，求A∩B；
(2)若A∪B=A，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)= x−a+ x+2．
(1)当a=1时，用定义法证明f(x)是(1,+∞)上的增函数；
(2)若f(x)的最小值为2，求a的值．
19.(本小题12分)
已知a>0，b>0，且a+b=1，证明：
(1)2a2+2b2≥1；
(2)1a+9b≥16．
20.(本小题12分)
已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−2x−3．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(2a−1,a+2)上单调递增，求a的取值范围．
21.(本小题12分)
若x，y，a满足|x−a|>|y−a|，则称x比y更远离a．
(1)判断“x>y>a”是“x比y更远离a”的什么条件，并说明理由；
(2)已知m>0，n>0，b=1m2+1n2+2mn，证明：b比2 3更远离2．
22.(本小题12分)
已知某工厂设计一个零件部件，要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由6个全等的等腰三角形和一个正六边形构成，其中O是圆心，也是正六边形的中心.设正六边形边长AB=2xcm，等腰三角形的腰AC=y cm，要求y<2x，该部件的面积为12cm2．
(1)求y关于x的关系式，并求出x2的取值范围；
(2)请问当x取何值时，该部件的周长取得最小值，并求出此时该圆形铁片的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意可得A={x∈N|x−4<0}={0,1,2,3}，
则A∩B={0,1,3}．
故选：C．
先求出集合A，再结合交集的定义即可求解结论．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：命题“∃x∈(0,1)，x2−ax+2<0”的否定是：∀x∈(0,1)，x2−ax+2≥0．
故选：B．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=x−3x,x>0x2+2,x≤0，
则f(−1)=(−1)2+2=3，
故f(f(−1))=f(3)=3−1=2．
故选：D．
将x的值代入函数的解析式，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：x−2= x2−4x+4⇔x−2=|x−2|⇔x≥2，
故x=2是x≥2的充分不必要条件，
即“x=2”是“x−2= x2−4x+4”的充分不必要条件．
故选：A．
根据充分必要条件的定义判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查转化思想，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：∵f(x)=2x−1x3，当0又∵f(−x)=−2x+1x3=−f(x)，∴f(x)是奇函数，则f(x)的图象关于原点对称，排除D，C，
故选：A．
根据函数奇偶性可排除C，D，利用特殊值法可排除B，从而可解．
本题考查函数的性质与函数图象相关知识，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可得Δ=a2−4a≤0，解得0≤a≤4．
所以a的最大值为4．
故选：C．
由题意可得Δ=a2−4a≤0，求解即可．
本题考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，
同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，
同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人，已知该班学生每人至少参加了1个小组，
如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x，
只参加其中一个小组的人数为y，
则(32−x)+(25−x)+(22−x)+x+y=56，即y=2x−23，
因为x≤22，所以y≤21．
故选：B．
设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x，只参加其中一个小组的人数为y，作出韦恩图，列方程能求出结果．
本题考查韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)，当x∈(0,2]时，f(x)=2x+2x−3，
则f(92)=2f(52)=4f(12)=4×(4+1−3)=8．
故选：D．
将x的值依次代入函数的解析式，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，因为y= x2=|x|，所以y=x与y= x2不是同一函数，故A错误；
对于B，因为y=23x3=2x，所以y=2x与y=23x3是同一函数，故B正确；
对于C，y=x2+x+3与y=t2+t+3是同一函数，故C正确；
对于D，因为y= x4=x2，所以y=x2与y= x4是同一函数，故D正确．
故选：BCD．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，因为a>b且c2+1>0，所以a(c2+1)>b(c2+1)，
可得ac2+a>bc2+b，移项得ac2−b>bc2−a，故A项正确；
对于B，已知a>b，当a=1，b=−2时，1a=1，1b=−12，此时1a>1b，故B项不正确；
对于C，因为y=x3是R上的单调增函数，所以由a>b可推出a3>b3，故C项正确；
对于D，当a=−1，b=−2时，a2=1，ab=2，此时a2故选：AC．
利用不等式的基本性质，判断出A、C两项的正误；通过举反例，判断出B、D两项不一定成立，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的基本性质、利用函数的单调性比较大小等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A，由题意可得A1∩A2={x|x=4n+1,n∈Z}.因为2025=4×506+1，所以2025∈A1∩A2，故选项A正确，
对于选项B，当a=5，b=11时，ab=55=6×9+1∈A3，故选项B错误，
对于选项C，D，由a∈A2，b∈A3，可设a=4n1+1，b=6n2+1(n1,n2∈Z)，
则ab=24n1n2+4n1+6n2+1=2(12n1n2+2n1+3n2)+1，3a+2b=12n1+3+12n2+2=4(3n1+3n2+1)+1，
因为n1，n2∈Z，所以12n1n2+2n1+3n2∈Z，3n1+3n2+1∈Z，
所以ab∈A1，3a+2b∈A2，故选项C，D正确．
故选：ACD．
根据元素与集合的关系逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：不等式x2−(a+3)x+3a<0对应的方程为x2−(a+3)x+3a=0，
解方程得，x=3或x=a；
当a>3时，不等式x2−(a+3)x+3a<0的解集为(3,a)，不等式的4个整数解为4，5，6，7；
所以7当a=3时，不等式x2−(a+3)x+3a<0无解，所以a=3不符合题意；
当a<3时，不等式x2−(a+3)x+3a<0的解集为(a,3)，不等式的4个整数解为2，1，0，−1；
所以−2≤a<−1；
综上，a的取值范围是[−2,−1)∪(7,8]．
所以a的值可以是152或−2；最大值是8，最小值是−2．
故选：AC．
求出不等式x2−(a+3)x+3a<0的解集，写出解集中的4个整数解，由此求出a的取值范围，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了不等式的解集与应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．
13.【答案】(3,4)∪(4,+∞)
【解析】解：要使原函数有意义，则x−3>0x−4≠0，解得x>3且x≠4．
∴函数f(x)=2 x−3+(x−4)0的定义域是(3,4)∪(4,+∞)．
故答案为：(3,4)∪(4,+∞)．
由分母中根式内部的代数式大于0，指数为0的底数不为0，联立不等式组求解．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
14.【答案】14x2−2x+114
【解析】解：令t=2x+1，则x=t−12，
则f(t)=(t−12)2−3×t−12+1=14t2−2t+114，
即f(x)=14x2−2x+114．
故答案为：14x2−2x+114．
由已知，利用换元法即可求解函数解析式．
本题主要考查了换元法在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】44或55
【解析】解：设此次参加秋游的人数为x，
由题意可知此次秋游的总费用y=180x,045．
当0当25当x>45时，令120x=6600，解得x=55，符合题意．
综上，此次参加秋游的人数是44或55．
故答案为：44或55．
根据题意，列出符合要求的分段函数，结合总费用，求出秋游的人数．
本题主要考查函数的实际应用问题，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】3
【解析】解：根据a+b=2，可得2ab+3b2a=(a+b)22ab+3b2a=a2+2ab+b22ab+3b2a=a2b+2ba+1，
因为a2b+2ba≥2 a2b⋅2ba=2，所以b2a+2ab+1≥3，
当且仅当a2b=2ba，即a=2b=43，即a=43,b=23时，2ab+3b2a的最小值是3．
故答案为：3．
根据题意将2ab化为(a+b)22ab=a2b+b2a+1，将所求式化为a2b+2ba+1，进而利用基本不等式算出最小值．
本题主要考查不等式的性质、利用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：集合A={x||x−1|≥2}，
则A={x|x≤−1或x≥3}．
(1)当a=1时，
则A∩B={x|3≤x<4}．
(2)因为A∪B=A，所以B⊆A，
则a−1≥3或a+3≤−1，
解得a≥4或a≤−4，
故a的取值范围是(−∞,−4]∪[4,+∞)．
【解析】(1)结合交集的定义，即可求解；
(2)结合并集的定义，即可求解．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)证明：当a=1时，f(x)= x−1+ x−2，
设x1>x2>1，
则f(x1)−f(x2)= x1−1+ x1+2−( x2−1+ x2+2)=( x1−1− x2−1)+( x1+2− x2+2)，
因为x1>x2，所以x1−1>x2−1>0，x1+2>x2+2>3，
所以 x1−1> x2−1， x1+2> x2+2，
即 x1−1− x2−1>0， x1+2− x2+2>0，
则f(x1)−f(x2)>0，f(x1)>f(x2).
故f(x)是(1,+∞)上的增函数．
(2)根据题意，函数f(x)= x−a+ x+2，
易得f(x)在其定义域内是单调递增的，
当a≥−2时，f(x)min=f(a)= a+2=2，即a=2，满足条件；
当a<−2时，f(x)min=f(−2)= −2−a=2，即a=−6，满足条件．
综上，a=−6或a=2．
【解析】(1)根据题意，由作差法分析可得结论；
(2)根据题意，由函数的单调性，分析函数的最小值，求出a的值，即可得答案．
本题考查函数单调性的证明，涉及函数的最值，属于基础题．
19.【答案】证明：(1)因为a+b=1，
所以a2+b2=(a+b)2−2ab=1−2ab≥1−2(a+b2)2=12．
当且仅当a=b=12时，等号成立．
故2a2+2b2≥1．
(2)因为a+b=1，所以1a+9b=(a+b)(1a+9b)=ba+9ab+10．
因为a>0，b>0，所以ba>0，9ab>0，
所以ba+9ab≥6，当且仅当ba=9ab，即b=3a=34时，等号成立，
则ba+9ab+10≥16，即1a+9b≥16．
【解析】利用基本不等式即可证明．
本题考查了基本不等式，属于中档题．
20.【答案】解：(1)当x<0时，−x>0，
则f(−x)=(−x)2−2×(−x)−3=x2+2x−3；
因为f(x)是奇函数，所以f(x)=−f(x)=−x2−2x+3，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，
则f(x)=x2−2x−3,x>00,x=0−x2−2x+3,x<0；
(2)当x>0时，f(x)=x2−2x−3，
由二次函数的性质可得f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,0)上单调递减，
因为f(x)在(2a−1,a+2)上单调递增，所以2a−1≥1或a+2≤−1，
解得a≥1或a≤−3，
故a的取值范围是(−∞,−3]∪[1,+∞)．
【解析】(1)当x<0时，−x>0，结合题意，可求得此时f(x)的解析式，进而可得答案；
(2)利用二次函数的性质，结合已知f(x)在(2a−1,a+2)上单调递增，可列式求得a的取值范围．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)根据题意，“x>y>a”是“x比y更远离a”的充分不必要条件；
理由如下：
若x>y>a，得x−a>y−a>0，则|x−a|>|y−a|，
故“x>y>a”是“x比y更远离a”的充分条件．
反之，若x比y更远离a，可得|x−a|>|y−a|．
当x=−3，y=−2，a=0时，满足|x−a|>|y−a|，但不满足x>y>a，
则“x>y>a”不是“x比y更远离a”的必要条件．
综上，“x>y>a”是“x比y更远离a”的充分不必要条件．
(2)证明：因为m>0，n>0，所以1m2>0，1n2>0，
由基本不等式，1m2+1n2≥2mn，当且仅当m=n时，等号成立．
因为m>0，n>0，所以2mn>0，2mn>0，所以2mn+2mn≥4，当且仅当mn=1时，等号成立．
因为b=1m2+1n2+2mn，所以b≥4，当且仅当m=n=1时，等号成立，
所以b>2 3>2，则有b−2>2 3−2>0，
必有|b−2|>|2 3−2|，
故b比2 3更远离2．
【解析】(1)根据题意，由不等式的性质分析充分性，举出反例可得必要性不成立，结合充分必要条件的定义分析可得答案；
(2)根据题意，利用基本不等式的性质证明b≥4，进而可得b>2 3>2，结合“x比y更远离a”的定义分析可得证明．
本题考查不等式的证明，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
22.【答案】解：(1)等腰三角形AB边上的高为h= y2−x2，
部件的面积为S=6×(12⋅2x⋅ y2−x2+12⋅4x2⋅sinπ3)=12，
变形可得y2=4x2+4x2−4 3，
所以y=2 x2+1x2− 3，
因为y<2x，所以y2<4x2，即y2=4x2+4x2−4 3<4x2，解得x2> 33，
因为x y2−x2=2− 3x2>0，解得x2<2 3，
故y关于x的关系式为y=2 x2+1x2− 3，x2∈( 33,2 33)；
(2)该部件的周长l=12y=24 x2+1x2− 3≥24 2 x2⋅1x2− 3=24 2− 3=12 2( 3−1)=12( 6− 2)，
当且仅当x=1时，等号成立，x符合x2∈( 33,2 33)，
此时y= 6− 2，该圆形铁片的半径为 y2−x2+ 3x=2− 3+ 3=2，
所以该圆形铁片的面积为π⋅22=4π，
所以当x=1时，该部件的周长取最小值，此时该圆形铁片的面积为4πcm2．
【解析】(1)由题意得等腰三角形AB边上的高，计算部件的面积，整理即可求解；
(2)由题意得该部件的周长，利用基本不等式求解即可．
本题考查了函数模型的实际应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．