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2023-2024学年浙江省A9协作体高一（上）期中数学试卷（含解析）
展开这是一份2023-2024学年浙江省A9协作体高一（上）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A={0,1,2,3,4,5,6}，B={x| x<2}，则A⋂B=( )
A. {0,1,2,3,4,5,6}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3,4}D. {0,1,2,3}
2.若命题p：∀x>0，x3>x，则命题p的否定为( )
A. ∀x≤0，x3>xB. ∀x>0，x3≤x
C. ∃x>0，x3≤xD. ∃x≤0，x3≤x
3.函数f(x)= 9−x2x+2的定义域为( )
A. (−3,−2)⋃(−2,3)B. (−3,3)
C. [−3,−2)⋃(−2,3]D. [−3,3]
4.若f(2x+1)=2x+1，则f(3)的值为( )
A. 3B. 5C. 193D. 7
5.设x∈R，则“|3x−2|≤4”是“x(x−2)≤0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.若定义在R上的函数f(x)是偶函数，当0≤x1
C. [−2,0]D. (−∞,−2]⋃[0,+∞)
7.已知a>0，b>0且2a+b=2，则2a+ab的最小值为( )
A. 2 2B. 3C. 92D. 4
8.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，可将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数.则函数f(x)=−x3+3x2+1图象的对称中心为( )
A. (1,3)B. (−1,3)C. (1,−3)D. (−1,−3)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>b>0>c>d，下列说法正确的是( )
A. a+c>b+dB. a3>b3C. ac>bcD. 1c<1d
10.设定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)，下列函数中必为奇函数的是( )
A. y=f(|x|)B. y=f(−x)C. y=xf(x)D. y=f(x)⋅g(x)
11.历史上第一个给出函数的一般定义的是十九世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)，在1837年他提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”狄利克雷在1829年给出了著名函数：D(x)=1,x为有理数,0,x为无理数,以下说法正确的是( )
A. D(x)的图像关于y轴对称B. D(x)的值域是[0,1]
C. D(x+1)=D(x)D. D(D(x))=1
12.已知函数f(x)定义域为R，且f(x)=x3f(1x)(x∈(−∞,0)∪(0,+∞))，f(x)+f(y)+xy=f(x+y)，则下列说法正确的是( )
A. f(0)=0B. f(3)=3
C. f(x)−f(−x)=xD. f(x)=x2−x2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知点(2,4)在幂函数f(x)=xα的图象上，则f(x)= ______ ．
14.设全集U={1,2,a2}，A={2,a+1}，∁UA={a}，则实数a的值为______ ．
15.已知f(x)=ax3+bx−5，f(5)=5，则f(−5)= ______ ．
16.已知函数f(x)=3x,x≤0,2x2,x>0,若f(x)+f(x−1)>−1，则x的取值范围为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|−6
(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2−x+b，a，b∈R．
(1)若f(x)在区间[−2,3]上不单调，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)<0的解集为(−2,3)，求关于x的不等式ax+bx−1≤0的解集．
19.(本小题12分)
已知定义在(−2,2)上的奇函数f(x)=ax+bx2+4，且f(1)=45．
(1)求f(x)的解析式；
(2)用定义法证明函数f(x)在(−2,2)单调递增；
(3)若f(a−1)+f(a+2)>0，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2−ax．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对∀x∈[1,2]，f(x)≥−a−3恒成立，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某杭州纪念品商家为了迎合亚运会拟举行促销活动.经调查测算，商品的年销售量t(万件)与年促销费用x(万元)(x≥0)满足如下关系：t=15−kx+2(k为常数)，如果不搞促销活动，则商品年销售量为10万件.已知商家每年固定投入40万元(门店租赁、水电费用等)，商品的进货价为10元/件，商家对商品的售价定为每件产品的年平均成本的2倍(产品成本包括固定投入和产品进货投入)．
(1)将该产品的年利润y(万元)表示为促销费用x(万元)的函数(利润=销售额−产品成本−促销费用)；
(2)当促销费用x(万元)为何值时，该商家能够获得利润最大？此时利润最大值为多少？
22.(本小题12分)
对函数y=f(x)，若∃x0∈R，使得f(x0)=mx0成立，则称x0为f(x)关于参数m的不动点.设函数f(x)=ax2−bx−b(a≠0)．
(1)当a=b=2时，求函数f(x)关于参数1的不动点；
(2)若∀b∈R，函数f(x)恒有关于参数1的两个不动点，求a的取值范围；
(3)当a=1，b=−2时，函数f(x)在x∈(0,2]上存在两个关于参数m的不动点，试求参数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A={0,1,2,3,4,5,6}，B={x| x<2}={0,1,2,3}，
则A⋂B={0,1,2,3}．
故选：D．
先求出集合B，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：命题p：∀x>0，x3>x，
则命题p的否定为：∃x>0，x3≤x．
故选：C．
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：f(x)= 9−x2x+2，
则9−x2≥0x+2≠0，解得−3≤x≤3且x≠−2．
故选：C．
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
4.【答案】A
【解析】解：若f(2x+1)=2x+1，则由2x+1=3，可得x=1，
可得f(3)=2×1+1=3．
故选：A．
由题意，令2x+1=3，可得x的值，从而求出f(3)的值．
本题主要考查用代换法求函数的值，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，不等式|3x−2|≤4，即−4≤3x−2≤4，即−23≤x≤2，解集为[−23,2]；
不等式x(x−2)≤0，即0≤x≤2，解集为[0,2]，
因为[−23,2]⫌[0,2]，所以“|3x−2|≤4”是“x(x−2)≤0”的必要不充分条件．
故选：B．
根据题意，找出不等式|3x−2|≤4的解集与x(x−2)≤0的解集的包含关系，进而判断出正确答案．
本题主要考查不等式的解法、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：∵当0≤x1
∴f(1−a)≤f(2a+1)，可转化为|1−a|≥|2a+1|，
解得−2≤a≤0．
故选：C．
依题意，得偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，原不等式可转化为|1−a|≥|2a+1|，解之可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：因为a>0，b>0且2a+b=2，
则2a+ab=2a+ba+ab=2+ba+ab≥2+2 ba⋅ab=4，当且仅当a=b=23时取等号．
故选：D．
由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，f(x)=−x3+3x2+1=−(x−1)3+3x=−(x−1)3+3(x−1)+3，
则函数f(x+1)−3=−x3+3x，为奇函数，
则函数f(x)=−x3+3x2+1图象的对称中心为(1,3)．
故选：A．
根据题意，分析可得f(x)=−(x−1)3+3(x−1)+3，进而可得f(x+1)−3=−x3+3x为奇函数，由此分析可得答案．
本题考查函数的对称性问题，涉及函数的解析式以及变形，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：A选项，因为a>b，c>d，所以a+c>b+d，A正确；
B选项，因为y=x3在R上单调递增，故a3>b3，B正确；
C选项，a>b>0，不等式两边同时乘以c<0得ac
故选：ABD．
由不等式的性质可判断ACD，由函数单调性可判断判断B．
本题主要考查了不等式的性质，考查了函数单调性的应用，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：由于y=f(|x|)=f(|−x|)，故y=f(|x|)为偶函数，
G(x)=f(−x)=−f(x)，G(−x)=f(x)，∴G(x)=−G(−x)，故y=f(−x)为奇函数，
F(x)=xf(x)，F(−x)=−xf(−x)=−x(−f(x))=xf(x)，所以F(x)=F(−x)，故y=xf(x)为偶函数，
m(x)=f(x)⋅g(x)，m(−x)=f(−x)⋅g(−x)=−f(x)g(x)=−m(x)，所以y=f(x)⋅g(x)为奇函数．
故选：BD．
根据函数奇偶性的定义即可求解．
本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由题意得−x与x同为有理数或同为无理数，
所以D(−x)=1,−x为有理数0,−x为无理数=D(x)，即D(x)偶函数，图象关于y轴对称，A正确；
根据题意可知，D(x)∈{0,1}，B错误；
由x+1，x同为有理数或同为无理数，
所以D(x+1)=D(x)，C正确；
因为D(x)∈{0,1}，
所以D(D(x))=1，D正确．
故选：ACD．
由已知结合分段函数的性质及函数的定义检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数性质的应用，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：对于A，f(x)+f(y)+xy=f(x+y)中，令x=y=0，则f(0)=0，A正确；
对于BCD，再令y=−x，则f(x)+f(−x)−x2=f(0)=0，即f(x)+f(−x)=x2①
所以f(x)=x3f(1x)=x3[1x2−f(−1x)]=x−x3f(−1x)=x+f(−x)，即f(x)−f(−x)=x(x≠0)②，
又因为f(0)=0也符合上式，C正确；
联立①②解得f(x)=x2+x2(x∈R)，D错误；
f(3)=6，B错误．
故选：AC．
利用赋值法及f(x)=x3f(1x)，得f(x)=x2+x2(x∈R)，逐一判断即可．
本题考查了抽象函数及其应用，属于中档题．
13.【答案】x2
【解析】解：∵点(2,4)在幂函数f(x)=xα的图象上，
∴2α=4，解得α=2，
则f(x)=x2．
故答案为：x2．
利用幂函数的定义和性质直接求解．
本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】0
【解析】解：全集U={1,2,a2}，A={2,a+1}，∁UA={a}，
∴a+1≠aa≠2a+1=1a=a2，解得a=0．
故答案为：0．
利用补集定义、集合中元素的互异性求解．
本题考查集合的运算，考查补集定义、集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】−15
【解析】解：设g(x)=ax3+bx，
g(−x)+g(x)=a(−x)3+b−x+ax3+bx=0，
f(5)+f(−5)=g(x)−5+g(−x)−5=−10，
f(5)=5，
则f(−5)=−15．
故答案为：−15．
根据已知条件，结合函数的奇偶性，以及函数的解析式，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
16.【答案】(12,+∞)
【解析】解：对于函数f(x)=3x,x≤0,2x2,x>0,
当x≤0，则f(x)+f(x−1)=3x+3(x−1)=6x−3>−1，解得x>13，故此时x不存在；
当0
解得x>12或x<−2，故此时x的取值范围为(12,1]；
当x>1，则f(x)+f(x−1)=2x2+2(x−1)2=4x2−4x+2>−1，即4x2−4x+3>0，其中Δ<0，
不等式恒成立，故此时x的取值范围为(1,+∞)．
综上，x的取值范围为(12,+∞)．
故答案为：(12,+∞)．
对x分类讨论，将不等式转化，即可求解x的取值范围．
本题主要考查分段函数及其应用，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)m=1时，B={x|2≤x≤5}，则CRB={x|x<2或x>5}，
则A∩CRB={x|−6
当B=⌀，则m+1>2m+3，解得m<−2，符合题意；
当B≠⌀，则m+1≤2m+3m+1>−62m+3≤8，解得−2≤m≤52．
综上，实数m的取值范围为(−∞,52].
【解析】(1)根据集合补集和交集的定义运算即可；
(2)分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论，列不等式解出实数m的取值范围．
本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)若f(x)在区间[−2,3]上不单调，则f(x)一定是二次函数，
所以a≠0，
根据二次函数图象性质可知只需满足−2<12a<3，
解得a>16或a<−14，
即实数a的取值范围为{a|a>16或a<−14}；
(2)由题意可知−2，3是方程f(x)=0的两个根，
则x1+x2=1a=−2+3=1x1⋅x2=ba=−2×3=−6，解得a=1b=−6，
解不等式x−6x−1≤0等价于(x−6)(x−1)≤0(x≠1)，
解得1
(2)先利用韦达定理求出a，b的值，再代入所求不等式求解即可．
本题主要考查了二次函数的性质，考查了分式不等式的解法，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为奇函数f(x)在x=0有意义，所以f(0)=0，所以b=0，
又因为f(1)=a1+4=45，解得a=4，
所以f(x)=4xx2+4．
(2)证明：对∀x1，x2∈(−2,2)，令x1
x1x2−4<0，
f(x1)−f(x2)=4x1x12+4−4x2x22+4=4(x2−x1)(x1x2−4)(x12+4)(x22+4)<0，
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)
则f(a−1)>f(−a−2)，
由(2)可知函数f(x)在(−2,2)单调递增，所以需满足a−1>−a−2−2
(2)∀x1，x2∈(−2,2)，令x1
20.【答案】解：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2−ax，
∴当x<0时，f(x)=−f(−x)=−[(−x)2−a(−x)]=−x2−ax，
f(0)=0，
∴f(x)=x2−ax,x>00,x=0−x2−ax,x<0．
(2)∵f(x)≥−a−3对x∈[1,2]恒成立⇔x2−ax+a+3≥0对x∈[1,2]恒成立，
当x=1时，x2−ax+a+3=4，不等式恒成立，
∴a≤x2+3x−1=(x−1)2+2(x−1)+4x−1=(x−1)+4x−1+2对x∈(1,2]恒成立，
令t=x−1(t∈(0,1])，g(t)=t+4t在t∈(0,1]单调递减，gmin(t)=g(1)=5，
∴a≤7．
∴实数a的取值范围为(−∞,7]．
【解析】(1)利用函数的奇偶性求函数的解析式；
(2)x2−ax+a+3≥0对x∈[1,2]恒成立，当x=1时，x2−ax+a+3=4，不等式恒成立，则a≤x2+3x−1=(x−1)+4x−1+2对x∈(1,2]恒成立，令t=x−1，求g(t)=t+4t在(0,1]上的最小值即可．
本题考查了函数的奇偶性及其应用，函数不等式恒成立，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意知，当x=0时，t=10，即10=15−k2，解得k=10，
所以t=15−10x+2；
因为每件商品的销售价格为2×40+10tt元，
根据利润=销售额−产品成本−促销费用，
所以y=2t⋅40+10tt−40−10t−x=10t+40−x=190−100x+2−x，x≥0；
(2)因为x≥0，所以100x+2+x+2≥2 100x+2⋅(x+2)=20，
当且仅当100x+2=x+2，即x=8时等号成立，
所以100x+2+x≥18，
所以y=190−100x+2−x≤190−18=172，
所以当促销费用x=8(万元)，该商家能够获得利润最大，此时利润最大值为172(万元)．
【解析】(1)由x=0时t=10求出k，利用利润=销售额−产品成本−促销费用，求出利润函数；
(2)利用基本不等式求出利润函数的最大值，以及取最大值时x的值．
本题考查了函数模型应用问题，也考查了数学建模的应用问题，是中档题．
22.【答案】解：(1)当a=b=2时，f(x)=2x2−2x−2，
令f(x)=x，
可得2x2−2x−2=x，
即2x2−3x−2=0
解得x=−12或x=2；
(2)由题意可知，对∀b∈R，关于x的方程ax2−bx−b=x，
即ax2−(b+1)x−b=0恒有两个不等实根，
从而Δ1=(b+1)2+4ab>0恒成立，
即关于b的不等式b2+(4a+2)b+1>0恒成立，
从而Δ2=(4a+2)2−4<0恒成立，
解得a∈(−1,0)，
即a的取值范围为(−1,0)；
(3)由题意可得方程关于x的方程x2+2x+2=mx，
即x2+(2−m)x+2=0在x∈(0,2]上恒有两个不等实根，
令h(x)=x2+(2−m)x+2，
根据二次函数性质，须满足h(0)=2>0h(2)=10−2m≥0Δ=(2−m)2−8>00
即参数m的取值范围为(2+2 2,5]．
【解析】(1)当a=b=2时，令f(x)=2x2−2x−2=x，然后求解；
(2)由题意可知ax2−(b+1)x−b=0恒有两个不等实根，然后利用判别式法求解；
(3)由题意可得方程关于x的方程x2+(2−m)x+2=0在x∈(0,2]上恒有两个不等实根，然后结合根的分布求解．
本题考查了函数与方程的综合应用，重点考查了运算能力，属中档题．
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