专题一函数与导数 第1讲 函数的图象与性质（含部分解析）-2024年高考数学大二轮复习专题强化练

这是一份专题一函数与导数 第1讲 函数的图象与性质（含部分解析）-2024年高考数学大二轮复习专题强化练，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

第1讲 函数的图象与性质
一、单项选择题
1．(2023·台州质检)已知函数f(x)同时满足性质：①f(－x)＝f(x)；②当∀x1，x2∈(0,1)时，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0，则函数f(x)可能为( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x
C．f(x)＝cs 4x
D．f(x)＝ln(1－|x|)
2．(2023·成都模拟)要得到函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－1的图象，只需将指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x的图象( )
A．向左平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度
C．向左平移eq \f(1,2)个单位长度
D．向右平移eq \f(1,2)个单位长度
3．(2023·南宁模拟)函数f(x)＝eq \f(2x－2－x,1－x2)的图象大致是( )
4．(2023·天津)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝eq \f(5ex－e－x,x2＋2)
B．f(x)＝eq \f(5sin x,x2＋1)
C．f(x)＝eq \f(5ex＋e－x,x2＋2)
D．f(x)＝eq \f(5cs x,x2＋1)
5．(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2]
B．[－2,0)
C．(0,2]
D．[2，＋∞)
6．(2023·大庆模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln x，x≥1，,0，0≤x<1，,x，x<0，))
若f(2a－1)－1≤0，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e＋1,2)，＋∞))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(e＋1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(e＋1,2)))
D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(e＋1,2)))
7．(2023·大连模拟)已知对于每一对正实数x，y，函数f(x)都满足：f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－xy－1，若f(1)＝1，则满足f(n)＝n(n∈N*)的n的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
8．(2023·西安模拟)已知函数f(x)及其导函数f′(x)定义域均为R，记函数g(x)＝f′(x)，若函数f(x)的图象关于点(3,0)中心对称，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3,2)))为偶函数，且g(1)＝2，g(3)＝－3，则eq \(∑,\s\up6(2 024),\s\d6(k＝1))g(k)等于( )
A．672
B．674
C．676
D．678
二、多项选择题
9．(2023·大同模拟)十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x∈Q，,0，x∈∁RQ，))它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数f(x)＝x2－D(x)，则下列函数f(x)的函数值可能是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，－2≤x<1，,－x＋2，x≥1，))关于函数f(x)的结论正确的是( )
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的值域为(－∞，4]
C．若f(x)＝2，则x的值是－eq \r(2)
D．f(x)<1的解集为(－1,1)
11．(2023·上饶模拟)关于函数f(x)＝2sin x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))sin x的说法正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于y轴对称
B．函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称
C．函数f(x)的最小正周期为2π
D．函数f(x)的最小值为2
12．(2023·嘉兴模拟)设函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，若f′(－x)＝f′(x)，f(2x)＋f(2－2x)＝3，则下列结论一定正确的是( )
A．f(1－x)＋f(1＋x)＝3
B．f′(2－x)＝f′(2＋x)
C．f′(f(1－x))＝f′(f(1＋x))
D．f(f′(x＋2))＝f(f′(x))
三、填空题
13．(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))为偶函数，则a＝________.
14．(2023·湖州、衢州、丽水三市模拟)定义在R上的非常数函数f(x)满足：f(－x)＝f(x)，且f(2－x)＋f(x)＝0.请写出符合条件的一个函数的解析式________．
15．(2023·济宁模拟)已知函数f(x)＝e|x|－cs eq \f(π,2)x，则使得f(x－1)>f(2x)成立的x的取值范围是____________．
16．(2023·江苏省八市模拟)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(x)的最小值为________．
第1讲 函数的图象与性质
1．D 2.D 3.C 4.D 5.D 6.D
7．A [令y＝1得f(x)＋f(1)＝
f(x＋1)－x－1，
即f(x＋1)－f(x)＝x＋2，
故当x∈N*时，f(x＋1)－f(x)>0，
又f(1)＝1，f(2)＝4，故f(x)>0在x∈N*上恒成立，且f(x)在x∈N*上单调递增，所以满足f(n)＝n(n∈N*)仅有f(1)＝1，即n仅有1个．]
8．D [因为f(x)的图象关于点(3,0)中心对称，
所以f(x＋3)＝－f(－x＋3)，
则f(x)＝－f(－x＋6)，
所以f′(x)＝f′(－x＋6)，
即g(x)＝g(－x＋6)，
所以g(x＋3)＝g(－x＋3)，
所以函数g(x)的图象关于直线x＝3对称．
又geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋2x))为偶函数，
所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋2x))＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－2x))，
则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－x))，
所以g(x)的图象关于直线x＝eq \f(3,2)对称，
所以g(x＋3)＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋\f(3,2)－x))
＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－\f(3,2)＋x))＝g(x)，
所以g(x)的周期为T＝3.
由geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－x))，
得g(2)＝g(1)＝2.
又g(3)＝－3，
所以g(1)＋g(2)＋g(3)＝1.
故eq \(∑,\s\up6(2 024),\s\d7(k＝1))g(k)＝[g(1)＋g(2)＋g(3)]×674＋g(1)＋g(2)＝674＋4＝678.]
9．ABD [由题意可知
f(x)＝x2－D(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1，x∈Q，,x2，x∈∁RQ.))
所以f(1)＝12－1＝0，f(eq \r(2))＝(eq \r(2))2＝2，f(eq \r(3))＝(eq \r(3))2＝3，
而f(x)＝1无解．]
10．BC [函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，－2≤x<1，,－x＋2，x≥1))
的定义域是[－2，＋∞)，故A错误；
当－2≤x<1时，f(x)＝x2的值域为[0,4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2的值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确；
当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，得到x＝－eq \r(2)，故C正确；
当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得－11，故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)，故D错误．]
11．ABD [对于A，f(x)的定义域为R，
因为f(－x)＝2sin(－x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))sin(－x)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))sin x＋2sin x＝f(x)，
所以f(x)是R上的偶函数，
所以函数f(x)的图象关于y轴对称，故A正确；
对于B，对于任意的x∈R，
f(π－x)＝2sin(π－x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))sin(π－x)
＝2sin x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))sin x＝f(x)，
所以函数f(x)的图象关于直线
x＝eq \f(π,2)对称，
故B正确；
对于C，因为f(π＋x)＝2sin(π＋x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))sin(π＋x)＝2－sin x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－sin x
＝2sin x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))sin x＝f(x)，
所以π为函数f(x)的一个周期，故2π不是函数f(x)的最小正周期，故C错误；
对于D，设t＝2sin x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，
则f(t)＝t＋eq \f(1,t)，因为t＋eq \f(1,t)≥2，当且仅当t＝eq \f(1,t)，即t＝1时等号成立，
所以函数f(x)的最小值为2，故D正确．]
12．ABD [f(2x)＋f(2－2x)＝3，
令x＝2x，得f(x)＋f(2－x)＝3，
令x＝x＋1，
得f(1－x)＋f(1＋x)＝3，故A正确；
由选项A的分析知f(x)＋f(2－x)＝3，等式两边同时求导，
得f′(x)－f′(2－x)＝0，
即f′(x)＝f′(2－x)，①
又f′(x)＝f′(－x)，f′(x)为偶函数，
所以f′(2－x)＝f′(x－2)，②
由①②得f′(x)＝f′(x－2)，所以函数f′(x)的周期为2.
所以f′(2－x)＝f′(x)＝f′(2＋x)，
即f′(2－x)＝f′(2＋x)，故B正确；
由选项B的分析知f′(2－x)＝f′(2＋x)，
则函数f′(x)的图象关于直线x＝2对称．
令f(1－x)＝eq \f(3,2)－Δ(x)，f(1＋x)＝eq \f(3,2)＋Δ(x)，
若f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－Δx))＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋Δx))，
则函数f′(x)图象关于直线x＝eq \f(3,2)对称，不符合题意，故C错误；
由选项B的分析可知函数f′(x)的周期为2，则f′(x)＝f′(x＋2)，所以f(f′(x))＝f(f′(x＋2))，故D正确．]
13．2
14．f(x)＝cs eq \f(π,2)x(答案不唯一)
15.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3)))
解析 显然f(x)是偶函数，
当x>0时，f(x)＝ex－cs eq \f(π,2)x，
f′(x)＝ex＋eq \f(π,2)sin eq \f(π,2)x，
当00，
当x>2时，ex>e2，
－eq \f(π,2)≤eq \f(π,2)sin eq \f(π,2)x≤eq \f(π,2)，
所以f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．
所以当f(x－1)>f(2x)时，
有|x－1|>|2x|，解得－116．2eq \r(2)
解析 因为函数y＝f(x)＋ex为偶函数，
所以f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，
即f(x)－f(－x)＝e－x－ex，①
又因为函数y＝f(x)－3ex为奇函数，
所以f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex，
即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x，②
联立①②可得f(x)＝ex＋2e－x，
由基本不等式可得f(x)＝ex＋2e－x≥2eq \r(ex·2e－x)＝2eq \r(2)，
当且仅当ex＝2e－x，即x＝eq \f(1,2)ln 2时，等号成立，
故函数f(x)的最小值为2eq \r(2).