专题一函数与导数第2讲基本初等函数、函数与方程（含部分解析）-2024年高考数学大二轮复习专题强化练

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这是一份专题一函数与导数第2讲基本初等函数、函数与方程（含部分解析）-2024年高考数学大二轮复习专题强化练，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8,2eq \r(2))，则f(9)的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．9
2．(2023·南昌模拟)已知a＝lg40.4，b＝lg0.40.2，c＝0.40.2，则( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．b>c>a D．a>c>b
3．(2023·威海模拟)已知2a＝9，lg83＝b，则eq \f(a,b)等于( )
A.eq \f(2,3) B．2
C．6 D．9
4.已知函数y＝lga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1 B．a>1,0C．01 D．05．(2023·银川模拟)函数f(x)＝lg2x＋x2＋m在区间(2,4)上存在零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－18) B．(5，＋∞)
C．(5,18) D．(－18，－5)
6．(2023·天津模拟)设正实数a，b，c分别满足eq \f(1,a)＝2a，eq \f(1,b)＝lg2b，eq \f(1,c)＝lg3c，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．a>c>b
7．(2023·郑州模拟)某中学坚持“五育”并举，全面推进素质教育．为了更好地增强学生们的身体素质，校长带领同学们一起做俯卧撑锻炼．锻炼是否达到中等强度运动，简单测量方法为f(t)＝ket，其中t为运动后心率(单位：次/分)与正常时心率的比值，k为每个个体的体质健康系数．若f(t)介于[28,34]之间，则达到了中等强度运动；若低于28，则运动不足；若高于34，则运动过量．已知某同学正常时心率为80，体质健康系数k＝7，经过俯卧撑后心率y(单位：次/分)满足y＝80eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln\r(\f(x,12))＋1))，x为俯卧撑个数．已知俯卧撑每组12个，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的俯卧撑组数为(e为自然对数的底数，e≈2.718)( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8．(2023·铜陵模拟)已知a＝lg75，b＝lg97，c＝lg119，则( )
A．aC．b二、多项选择题
9．(2023·红河模拟)下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )
A．y＝x＋eq \f(1,x) B．y＝x3＋x
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))
10．在下列四个图形中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x的图象可能是( )
11．(2023·重庆九龙坡区模拟)若a，b，c都是正数，且2a＝3b＝6c，则( )
A.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(2,c)
B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,c)
C．a＋b>4c
D．ab>4c2
12．(2023·蚌埠模拟)已知函数f(x)＝lg4(1＋4x)－eq \f(1,2)x，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于原点对称
B．函数f(x)的图象关于y轴对称
C．函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减
D．函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
三、填空题
13．(2023·深圳模拟)若函数f(x)＝eq \f(1,2x)－的零点属于区间(n，n＋1)(n∈N)，则n＝________.
14．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|lg x|，x>0，,－x2－2x＋1，x≤0，))则函数y＝4[f(x)]2－8f(x)＋3的零点个数是________．
15．(2023·聊城模拟)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2 mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为________．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)
16．已知 a>0且a≠1，方程xa＝ln x(x>0)有且仅有两个不相等的实数根，则a的取值范围为________．
第2讲基本初等函数、函数与方程
1．B 2.C 3.C 4.D 5.D 6.C 7.B
8．A [因为lg75－lg97＝eq \f(lg 5,lg 7)－eq \f(lg 7,lg 9)＝eq \f(lg 5lg 9－lg27,lg 7lg 9)，
又因为lg 5lg 9≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 5＋lg 9,2)))2
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 45,2)))2所以lg75－lg97<0，即a因为lg97－lg119＝eq \f(lg 7,lg 9)－eq \f(lg 9,lg 11)＝eq \f(lg 7lg 11－lg29,lg 11lg 9)，
又因为lg 7lg 11≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 7＋lg 11,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 77,2)))2所以lg97－lg119<0，即b9．BD [对于A，设f(x)＝x＋eq \f(1,x)，x≠0，
则f(－x)＝－x＋eq \f(1,－x)＝－f(x)，得y＝x＋eq \f(1,x)为奇函数，
令x＋eq \f(1,x)＝0，方程无解，即函数不存在零点，A不符合；
对于B，设f(x)＝x3＋x，x∈R，
则f(－x)＝(－x)3－x＝－x3－x＝－f(x)，得y＝x3＋x为奇函数，令x3＋x＝0，得x＝0，即函数存在零点，B符合；
对于C，设f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝cs x，其为R上的偶函数，C不符合；
对于D，设f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－sin x，其为R上的奇函数，且存在零点，D符合．]
10．ABD [当a>b>0时，A正确；当2a>b>a>0时，B正确；当0>a>b>2a时，D正确；对于C，由二次函数知－eq \f(b,a)<－1，即eq \f(b,a)>1，此时y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x单调递增，故C不正确．]
11．BCD [设2a＝3b＝6c＝t，
则a＝lg2t＝eq \f(1,lgt2)，eq \f(1,a)＝lgt2，
b＝lg3t＝eq \f(1,lgt3)，eq \f(1,b)＝lgt3，
c＝lg6t＝eq \f(1,lgt6)，eq \f(1,c)＝lgt6，
所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,c)，
(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，
因为a≠b，所以eq \f(b,a)≠eq \f(a,b)，则等号不成立，
所以(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))>4，
则a＋b>eq \f(4,\f(1,a)＋\f(1,b))＝4c，
因为a＋b＝abeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))>4c，
所以ab>eq \f(4c,\f(1,a)＋\f(1,b))＝4c2.]
12．BD [因为f(x)的定义域为R，
f(x)＝lg4(1＋4x)－lg4
＝lg4eq \f(1＋4x,2x)＝lg4(2－x＋2x)，所以f(－x)＝lg4(2x＋2－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，所以A错误，B正确；
令t＝2x，则y＝lg4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,t)))，
令s＝t＋eq \f(1,t)，则y＝lg4s，
当x∈[0，＋∞)时，t∈[1，＋∞)，
所以s＝t＋eq \f(1,t)为增函数，
又y＝lg4s为增函数，
所以y＝lg4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,t)))为增函数，
又t＝2x为增函数，
所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
又f(x)为R上的偶函数，
所以f(x)≥f(0)＝eq \f(1,2)，
所以f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，
所以C错误，D正确．]
13．0 14.7
15．8
解析设该污染物排放前过滤的次数为n(n∈N*)，由题意1.2×0.8n≤0.2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n≥6，两边取以10为底数的对数可得lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n≥lg 6，
即nlgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5×2,8)))≥lg 2＋lg 3，
所以n≥eq \f(lg 2＋lg 3,1－3lg 2)，
因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，
所以eq \f(lg 2＋lg 3,1－3lg 2)≈eq \f(0.3＋0.477,1－3×0.3)＝7.77，
所以n≥7.77，又n∈N*，所以nmin＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8.
16.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))
解析由xa＝ln x(x>0)，
得ln(ln x)＝aln x(x>1)．
令ln x＝t(t>0)，则a＝eq \f(ln t,t)，
设函数g(t)＝eq \f(ln t,t)，
得g′(t)＝eq \f(1－ln t,t2).
令g′(t)＝0，得t＝e.
在(0，e)上g′(t)>0，g(t)单调递增；
在(e，＋∞)上g′(t)<0，g(t)单调递减，
所以g(t)max＝g(e)＝eq \f(1,e)，
geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝－e<0，
又当t>1时，g(t)>0恒成立，
所以方程xa＝ln x(x>0)有且仅有两个不相等的实数根，即曲线y＝g(t)＝eq \f(ln t,t)的图象与直线y＝a有两个交点，即0所以a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e))).