吉林省吉林市昌邑区第十三中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份吉林省吉林市昌邑区第十三中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（每小题2分，共12分）
1.以下关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A.B.
C.D.
2.在下列二次函数中，其图象对称轴为的是（ ）
A.B.C.D.
3.为备战中考，同学们积极投入复习，卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷2张，藏文试卷3张，英语试卷1张，从中任意抽出一张试卷，恰好是语文试卷的概率是（ ）
A.B.C.D.
4.如图，是的切线，切点为A，的延长线交于点B.若，则的度数为（ ）
A.20°B.25°C.40°D.50°
5.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
6.如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3.若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
7.如图，在中，，，则_______度.
8.如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么m的值为_______.
9.如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是_______.
10.一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是_______.
11.如图，四边形是边长为的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则的面积为_______.
12.如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪.要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为_______米.
13.如果将抛物线向上平移，使它经过点，那么所得新抛物线的表达式是_______.
14.已知，二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为_______.
三、解答题（每小题5分，共20分）
15.解方程：.
16.已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴.
（1）确定a、b、c的符号；
（2）当x取何值时，；当x取何值时，.
17.如图，在中，，将以B为中心顺时针旋转90°，得到.求证：.
18.如图，在正方形中，，连接、以点C为圆心、长为半径画弧，点E在的延长线上，则图中阴影部分的面积为多少？
四、解答题（每小题7分，共28分）
19.如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离是多少米？
20.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2018年利润为2亿元，2020年利润为2.88亿元.
（1）求该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率；
（2）若2021年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2021年的利润能否超过3.4亿元？
21.小明为班上联欢会设计一个摸扑克牌获奖游戏，先将梅花2，3，4，5和红心2，3，4，5分别洗匀，并分开将正面朝下放在桌子上，游戏者在4张梅花牌中随机抽1张，再在4张红心牌中随机抽1张，规定：当两次所抽出的牌面上数字之积为奇数时，他就可获奖.
（1）利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；
（2）游戏者获奖的概率是多少？
22.如图，是的直径，是弦，点E是的中点，交于点D.连接，若，，求的长.
五、解答题（每小题8分，共16分）
23.某市某水果批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种水果，为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元。
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该水果，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择.方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元，试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由.
24.如图，已知是的直径，切于点C，交于点D，E为的中点，连结.
（1）若，，求切线的长；
（2）求证：是的切线.
六、解答题（每小题10分，共20分）
25.已知，在中，，，点E是上一点，连接.
（1）如图1，当平分时，作于H，若的周长为，求的长；
（2）如图2，延长至D，使，将线段绕点A顺时针旋转90°得线段，连接，过点B作，交的延长线于点G，求证：.
26.如图，直线与抛物线相交于点和，点P是线段上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求为直角三角形时点P的坐标.
答案
一、1.D 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A
二、7.28 8. 9.120° 10. 11. 12.2 13. 14.
三、15.，.
16.（1），，.
（2）当时，；当或时，.
17.证明：由旋转知，.∵，∴，∴.
18.解：在正方形中，，∴，.
∵点E在的延长线上，∴，∴，
∴.
四、19.解：设抛物线的解析式为，把代入，得，.
∴抛物线的解析式为：.
当时，，解得：（舍去），.
答：水流下落点B离墙的距离是3米.
20.解：（1）设利润的年平均增长率为x，根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率为20%.
（2）（亿元），因为，所以该企业2021年的利润能超过3.4亿元.
21.解：（1）画树状图如图所示.
由图知，积共有16种等可能的结果数.
（2）游戏者获奖的概率为.
五、22.解：连接.
∵点E是的中点，∴.∵，∴，.
∵，∴.设的半径为r，则.
∵，∴.∵，∴，
∴，即，解得，
∴.∵，，∴，∴.
23.解：（1）设平均每次下调的百分率为x，
由题意，得，解得，（不合题意，舍去）.
答：平均每次下调的百分率是20%.
（2）超市采购员方案一购买更优惠.理由如下：
方案一所需费用为：（元）；
方案二所需费用为：（元）.
∵，
∴超市采购员选择方案一购买更优惠.
24.（1）解：连接.∵，∴D为中点.∵O为中点，∴.
∵，∴.
（2）证明：连接.∵是的直径，∴，∴.
∵E为的中点，∴，∴.∵，∴.
∵切于点C，∴，∴，
即，∴是的切线.
六、25.解：（1）∵，，∴.∵平分，，
∴.又∵，∴，
∴，∴.∵的周长为，
∴.
（2）连接.由旋转知，，.
∵，，∴，，
∴，∴，
∴，∴，，
∴.∵，∴.
又∵，，∴，
∴，.
26.解：（1）将代入，得，∴.
将、代入得，
，解得，
故抛物线的解析式为.
（2）设动点P的坐标为，则C点的坐标为，
∴.
∵，∴当时，线段有最大值为.
（3）可分两种情况：
当点A为直角顶点时，.
易知，∴为等腰直角三角形，
∴，即，
解得（含去），.当时，.∴；
当点C为直角顶点时，.
易知轴，由抛物线的对称性知，.
当时，，
∴.
综上所述，为直角三角形时，点P的坐标为或.题号
一
二
三
四
五
六
总分
得分