广西壮族自治区贵港市港北区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区贵港市港北区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共26页。

4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知四个数，，，成比例，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．6B．7.5C．8D．12.5
3．反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值是（ ）
A．3B．-3C．-1D．1
4．一组数据：，，，，的平均数为，则这组数据的方差是（ ）
A．B．C．D．
5．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．有一个角为的两个等腰三角形
B．两个直角三角形
C．有一个角为的两个等腰三角形
D．两个矩形
6．若m是关于x的一元二次方程的根，则的值是（ ）
A．2B．1C．4D．5
7．中，，分别是，的中点，．下面四个结论：①；②；③的面积与的面积之比为；④的周长与的周长之比为，其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
8．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
9．如图，河坝横断面迎水坡的坡比为．坝高为，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，面积为的的斜边在轴上，，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（ ）

A．B．C．D．
11．如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为（ ）
A．5B．C．3D．
12．如图，在平面直角坐标系中有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点，，双曲线经过的中点，交于点，下列四个结论：①；②；③点的坐标是；④连接、，则，则正确的结论有（ ）．
A．个B．个C．个D．个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分
13．函数中，自变量的取值范围是 .
14．如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D＝，则＝
15．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且D E∥BC，BE、CD相交于点O，若S△DOE：S△DOB＝1：3，则当S△ADE＝2时，四边形DBCE的面积是 ．
16．一组数据有个数，它们的平方和是，平均数是，则这组数据的方差是 ．
17．如图，等边的边长为6，P，D分别是、边上点，且，，则长为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，，点是直线上的动点，以为边作正方形，当最小时，点恰好落中反比例的图象上，则的值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
19．按要求解下列方程：
(1)直接开平方法；
(2)公式法．
20．．
21．如图，中，，，．
(1)在上求作一点D，使（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求的周长．
22．为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x（单位：h）的一组数据，将所得数据分为四组（A：x＜8；B：8≤x＜9；C：9≤x＜10；D：x≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次一共抽样调查了 名学生．
(2)求出扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数．
(3)将条形统计图补充完整．
(4)若该校共有1200名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
23．消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂（20米30米）是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内上下转动张角，转动点A距离地面的高度为4米．
(1)当起重臂的长度为24米，张角时，云梯消防车最高点C距离地面的高度的长为_____米．
(2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：）（提示：当起重臂伸到最长且张角最大时，云梯顶端C可以达到最大高度）
24．哈市某展览馆计划将长60米，宽40米的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是个1500平方米的矩形展览区，四周留有等宽的通道．
(1)求通道的宽为多少米？
(2)若展览区用彩色地砖铺设，铺设每平方米需要80元，通道用白色地砖铺设，铺设每平方米需要60元，铺设整个展馆需要多少钱？
25．如图，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，点在双曲线上，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，．

(1)求阴影部分的面积；
(2)若四边形是平行四边形，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，直接写出点的坐标．
26．如图，矩形中，，，，分别为上两个动点，连接，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，．
(1)如图，当点落在边上时，连接．
①求的值；
②若点为的中点，求的长．
(2)如图，若为的中点，，求的值．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，如 ：：即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．根据成比例的定义得到：：，然后利用比例的性质可求出的值．
【详解】解：根据题意得：：，
所以，
解得．
故选：D．
2．A
【分析】根据题意画出图形，然后根据三角函数的知识进行解答即可．
【详解】解：如图
∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，
，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟知正弦的定义：对边比斜边，是解本题的关键．
3．B
【分析】根据反比例函数、正比例函数图象上点的坐标特征，得到ab=1，b=a+2，再代入计算即可．
【详解】解：由于反比例函数的图象与一次函数y=x+2的图象交于点A（a，b），
∴ab=1，b=a+2，
∴aabb
=abab
=21
=3，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象和性质是正确解答的前提．
4．C
【分析】本题考查了算术平均数，方差；
先根据算术平均数的定义列式求出的值，再根据方差的定义计算即可．
【详解】解：
，
则这组数据的方差为
故选：C．
5．A
【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．
【详解】解：A、分别有一个角是的两个等腰三角形，其底角都等于，所以有一个角是的两个等腰三角形相似，此选项符合题意；
B、两个直角三角形的对应锐角不一定相等，对应边不一定成比例，所以两个直角三角形不一定相似，此选项不符合题意；
C、一个角为的两个等腰三角形不一定相似，因为的角可能是顶角，也可能是底角，此选项不符合题意；
D、两个矩形的对应边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似，此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解决问题的关键．
6．B
【分析】由m是关于x的一元二次方程的根，可得，， 再把要求值的代数式化为，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵m是关于x的一元二次方程的根，
∴
∴，
∴



故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，求解代数式的值，掌握“方程的解的含义，以及构建整体代入求解代数式的值”是解本题的关键．
7．C
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．根据题意做出图形，点、分别是、的中点，可得，，则可证得，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得的面积与的面积之比为，然后由三角形的周长比等于相似比，证得的周长与的周长之比为，选出正确的结论即可．
【详解】解：在中，、分别是、的中点，如图，
∴，，
∴，故正确；
∵，，
的面积与的面积之比为，故正确；
的周长与的周长之比为，故错误．
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据题意得出，求解即可得到答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且，
故选：D．
9．B
【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1：；
∴AC=BC÷tanA=米，
∴米．
故选：B．
【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，根据坡比求出AC的长度是解答本题的关键．
10．D
【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得的面积是解答此题的关键．作于，根据角的直角三角形的性质得出，然后通过证得，求得的面积，然后根据反比例函数的几何意义即可求得的值．
【详解】解：作于，

在中，，
∴
∵，
，
∴
∴
∵
∴
反比例函数图象在二、四象限，
∴．
故选：．
11．B
【分析】延长BD交AC于点E，先证明，从而求出BE的长，再利用等腰三角形的判定求出AE，利用线段的和差关系求出CE，得用勾股定理求出CD，最后求出的正切．
【详解】解：延长BD交AC于点E，如图，
∵DC平分，于点D，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴BD=ED=1，
∵，
∴AE=BE=2，
∵AC=7
∴CE=AC-AE=5，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定是解决本题的关键．
12．C
【分析】过作轴于点，过作轴于点，设，则，结合勾股定理可求出x的值，进而可分别求出，，故可判断①②；由菱形的性质可求得的长度，结合勾股定理可求得，结合三角形相似的判定和性质可以得到点的坐标，则可求得双曲线解析式．设，将其代入反比例函数解析式即求得点的横坐标，由此可判断③；由菱形的性质可知，的面积等于菱形的面积的一半，即可判断④．
【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，
，
．
设，则．
∵四边形为菱形，
∴，
，即，
，
，，
，故①正确；
，故②错误；
∵，
．
在中，，，由勾股定理可得，
．
∵轴，，
∴，
∴，
∴．
为中点，即，
，，
，
．
双曲线过点，
，
双曲线解析式为．
由上可知，，故可设，
将其代入双曲线，得，
，
，故③正确；
，
，故④正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的特征，勾股定理，菱形的性质，三角形相似的判定和性质，坐标与图形．正确作出辅助线是解题的关键．
13．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；可得关系式x﹣2≠0，求解可得自变量x的取值范围．
【详解】根据题意，有x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解答本题的关键．
14．
【分析】先根据∠D的正切值设AB=2x，AD=3x，然后根据等腰直角三角形的性质求出CD的长，即可求解.
【详解】解：在Rt△ABD中，
∵
∴设AB=2x，AD=3x，
∵∠ACB=45°，
∴AC=AB=2x，
则CD=AD﹣AC=3x﹣2x=x，
∴
故答案为．
点睛：此题主要考查了解直角三角形的性质，关键是设出未知数表示出相应的线段的长，从而求比值.
15．
【分析】由S△DOE：S△DOB＝1：3得到 再利用相似三角形的性质得到，再利用相似三角形的性质得到，从而可得答案．
【详解】解： S△DOE：S△DOB＝1：3，








四边形DBCE的面积是
故答案为：
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质的应用，掌握以上知识是解题的关键．
16．
【分析】此题主要考查了方差的求法，解决问题的关键是对方差公式的正确应用．根据已知条件个数据的平方和是，平均数是，可知应该应用求方差公式推导出代入求出即可．
【详解】解：根据求方差公式：
，
故答案为：．
17．##
【分析】证明后，利用相似三角形的性质与判定即可求出答案．
【详解】解：∵等边的边长为6，且，
∴，
，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
18．
【分析】先利用点在直线的图象上，以及，时，最小，求出点的坐标，再根据正方形的性质求出点的坐标，最后利用待定系数法求出的值即可．
【详解】解：由题意知，，
点是直线上的动点，
∴，
∴当时，最小，
如图，过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
四边形是正方形，
点与点关于轴对称，
∴，
将代入得，，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质．掌握相关函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）解一元二次方程公式法，进行计算即可解答．
【详解】（1），
，
，；
（2），


，
，
，．
20．
【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，有理数的乘方法则，绝对值的意义和零指数幂的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．利用特殊角的三角函数值，有理数的乘方法则，绝对值的意义和零指数幂的意义化简运算即可．
【详解】解：原式

．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点C作于点D，点D即为所求；
（2）利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求；
∵
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，，，
∴，
∴的周长，
∵，
∴，
∴．
∴的周长．
【点睛】本题考查尺规作图--作垂线，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
22．(1)50
(2)
(3)答案见解析
(4)720
【分析】（1）由B组人数及其所占百分比求出总人数；
（2）用360°乘以D组人数所占比例即可；
（3）根据总人数求出A组人数，从而补全图形；
（4）用总人数乘以睡眠时长大于或等于9h人数所占比例即可．
【详解】（1）解：本次调查的学生人数为16÷32%＝50（名），
故答案为：50；
（2）解：表示D组的扇形圆心角的度数为360°×＝14.4°；
（3）解：A组人数为50﹣（16+28+2）＝4（名），
补全图形如下：
（4）解：1200×＝720（名）．
答：估计该校最近两周有720名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确计算的前提．
23．(1)16
(2)能
【分析】（1）过点作，在中求出的长度，然后计算即可；
（2）当起重臂最长，转动张角最大时，同样求出的长度，与26米比较即可.
【详解】（1）解：如图，过点作，
由题意的：，，
，
，
在中，
，
，
米．
故答案为：16；
（2）解：当起重臂最长，转动张角最大时，
即：米，，
，
，
米．
，
能实施有效救援．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确从图中提取数学模型是解题关键．
24．(1)5米；
(2)174000元．
【分析】（1）设通道的宽为x米，则中间的矩形展览区的长为米，宽为米，根据中间的矩形展览区的面积为1500平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×面积，即可求出结论．
【详解】（1）解：设通道的宽为x米，则中间的矩形展览区的长为米，宽为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：通道的宽为5米．
（2）解：
（元）．
答：铺设整个展馆需要174000元钱．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．(1)5
(2)
(3)点
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）由反比例函数的性质可求和的面积，即可求解；
（2）由平行四边形的性质可求点，点的横坐标互为相反数，可求，的长，即可求解；
（3）先求出点，点坐标，由中点坐标公式可求点坐标，由平行四边形的性质可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，，
阴影部分的面积；
（2）解：如图所示，连接交于点，

四边形是平行四边形，
，即点H为的中点，
，
，，
；
（3）解：，，
∴，
在中，当时，
，，
，
点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
点．
26．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①过点作，交于点，交于点，证明四边形为平行四边形，可得，然后求出，证明∽，利用相似三角形的性质解答即可；
②设，则，利用轴对称的性质求出，再在中利用勾股定理解答即可；
（2）过点作于点，证明四边形为矩形，利用勾股定理求出，可得，再利用直角三角形的性质和轴对称的性质证明即可．
【详解】（1）解：①过点作，交于点，交于点，如图，

四边形为矩形，
∴，
，
四边形为平行四边形，
，
将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，，
垂直平分，
，
．
，
．
，
∽，
，
；
②设，则．
点，关于对称，
垂直平分，
．
点为的中点，
，
，
．
在中，
，
，
解得：．
的长为；
（2）过点作于点，如图，

为的中点，
．
，
．
四边形为矩形，
，
，
四边形为矩形，
，，．
．
．
．
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．