吉林省长春市农安县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市农安县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。

考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．立方根为( )
A．B．C．D．
2．在下列实数中，无理数是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若是完全平方式，则k的值是（ ）
A．B．C．3D．6
5．如图在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分前拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．B．
C．D．
6．在下列各命题中，是假命题的是（ ）
A．在一个三角形中，等边对等角B．全等三角形的对应边相等
C．同旁内角相等，两直线平行D．等角的补角相等
7．如图，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，则说明的依据是（ ）
A．B．C．D．
8．下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．中，B．中，，
C．中， D．中，三边之比为
9．等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，它的面积为（ ）
A．24B．20C．15D．12
10．如图，中，，平分，，，则的面积为（ ）
A．20B．10C．15D．30
二、填空题（每小题4分，共40分）
11．若，则
12．分解因式： ．
13．“若，则，”是 命题（选填“真”或“假”）.
14．已知直角三角形两直角边长分别为3和5，则斜边长为 .
15．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”时，应先假设一个三角形中 ．
16．为了解某市万名学生平均每天读书的时间，请你运用数学的统计知识将统计的主要步骤进行排序：
①得出结论，提出建议；
②分析数据；
③从万名学生中随机抽取名学生，调查他们平均每天读书的时间；
④利用统计图表将收集的数据整理和表示．
合理的排序是 ．
17．如图，将一张长方形纸片按图中那样折叠，若，，，则重叠部分（阴影）的面积是 ．
18．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若，，则中间小正方形的面积是 ．
19．如图，在 中， 的中垂线交边于点，，，则 ．
20．若的三边长分别为，7，6，当为等腰三角形时，则的值为 ．
三、解答题（21-24题各5分，25、26题各7分，27、28题各8分，共50分）
21．已知实数的一个平方根是，的立方根是，求的算术平方根．
22．先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2.
23．已知，，求与的值．
24．如图，已知，，，，．求图中着色部分的面积．
25．图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中以为边，画一个等腰；
(2)在图②中画，使与关于直线对称；
(3)在图③中画，使与全等．
26．为了解某校九年级学生数学期末考试情况，小亮随机抽取了部分学生的数学成绩（成绩都为整数）为样本，分为A（90～100分）、B（89～80分）、C（79～60分）、D（59～0分）四个等级进行统计，并将统计结果制成如下统计图，请根据图中信息解答以下问题：
(1)求这次随机抽取的样本容量；
(2)请补全条形统计图；
(3)这个学校九年级共有学生1200人，若分数为80分（含80分）以上为优秀，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有多少？
27．阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：
．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)三边，，满足，判断的形状并说明理由．
28．【问题提出】（1）如图1，和均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；
【类比延伸】（2）如图2，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．填空：的度数为 ；线段与之间的数量关系为 ．
【拓展研究】（3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，于点，连接．请求出的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．

参考答案与解析
1．A
【分析】根据立方根的定义即可求解，如果的立方是，则的立方根是．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．
2．B
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、不是无理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、不是无理数．不符合题意；
D、，不是无理数，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查无理数．熟练掌握无理数的定义，是解题的关键．
3．B
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方法则对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．，故错误，不符合题意；
B．，故正确，符合题意；
C．，故错误，不符合题意；
D．，故错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．B
【分析】原式利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
【详解】解：是完全平方式，
，
故选：B．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．A
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论．
【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
所以得出：，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
6．C
【分析】分别判断命题的真假即可得出答案．
【详解】在一个三角形中，等边对等角，正确，是真命题，则A不符合题意；
全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，则B不符合题意；
同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，则C符合题意；
等角的补角相等，正确，是真命题，则D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了命题的真假，掌握定义是解题的关键．即条件和结论相矛盾的命题是假命题．
7．A
【分析】由作图知，，利用证明，可得，进而得出答案．
【详解】解：由作图知：，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴说明的依据是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据作图得出，是解题的关键．
8．A
【分析】根据直角三角形的判定方法：有一个角为的三角形，或利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可；
【详解】A、中，，设，
则：，解得：，
∴，
∴不是直角三角形，符合题意；
B、中，，则：，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
C、中，，则：，∴是直角三角形，不符合题意；
D、中，三边之比为，
设三角形的三边长分别为：，
∵，
∴是直角三角形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查直角三角形的判定．熟练掌握有一个角是的三角形，或者三角形的三边满足：，则：三角形为直角三角形是解题的关键．
9．D
【分析】根据等腰三角形的性质可知上的中线，同时也是边上的高线，根据勾股定理求出的长即可求得．
【详解】解：如图所示，
∵等腰三角形中，，是上的中线，
，同时也是上的高线，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出底边上的中线是上的高线．
10．C
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点作于，
∵，平分，，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积．理解和掌握角平分线的性质并求出边上的高是解题的关键．
11．2
【分析】由题意根据非负数的性质求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查非负数的性质，熟练掌握非负数的性质即“几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0”是解题的关键．
12．
【分析】先提取公因式4，然后利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
13．假
【分析】根据有理数乘法法则可知若，也有可能，，即可得到答案．本题主要考查真假命题的判断，熟练掌握乘法法则是解题的关键．
【详解】解：若，根据有理数的乘法法则可知也有可能，，
∴“若，则，”是假命题．
故答案为：假．
14．
【分析】根据勾股定理求解即可．本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键，在直角三角形中，如果两直角边的长为a、b，斜边的长为c，那么．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为3和5，
∴斜边长为，
故答案为：．
15．有两个角是钝角
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”，
应先假设这个三角形有两个角是钝角，
故答案为：有两个角是钝角．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
16．③④②①
【分析】根据调查统计的方法步骤进行判断即可．
【详解】解：根据调查、统计的方法和步骤可知，
统计的主要步骤依次为：
③从万名学生中随机抽取名学生，调查他们平均每天读书的时间；
④利用统计图表将收集的数据整理和表示；
②分析数据；
①得出结论，提出建议，
合理的排序为：③④②①，
故答案为：③④②①．
【点睛】本题考查调查统计的方法和步骤，掌握调查统计的方法步骤是正确解答的前提．
17．78
【分析】根据折叠的性质得到，根据可得，得，然后根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵长方形纸片按图中那样折叠，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴重叠部分的面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、三角形的面积公式，解决本题的关键是掌握折叠的性质．
18．
【分析】由四个全等的直角三角形可知，，已知，，则在直角三角形中可求出的长度，即小正方形的边长，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，在中，，，且，
∴，
又∵，
∴，即小正方形的边长是，
∴小正方形的面积为，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查直角三角形的勾股定理的证明，理解图示中四个全等直角三角形的边的关系与小正方形边的关系是解题的关键．
19．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到，再根据线段的和差求解即可．
【详解】解：∵的中垂线交边于点E，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质．理解和掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20．3或4##4或3
【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况：当时，当时，再结合三角形三边关系检验即可．
【详解】解：∵为等腰三角形，
∴当时，
解得，
∴三边长为6，6，7
∵，
∴符合三角形三边的条件，
当时，
解得，
∴三边长为7，7，6
∵，
∴符合三角形三边的条件，
∴的值为4和3．
故答案为：4和3．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的定义（两边相等的三角形），灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
21．6
【分析】根据已知条件列出关于的方程组，然后解方程组，求出的值，最后代入计算，最后再求算术平方根．
【详解】解：由题可知
解方程组得
将代入得
则
∴的算术平方根为
【点睛】本题考查了二元一次方程组、平方根、立方根、算术平方根、掌握相关知识并正确计算是解题关键．
22．﹣20a2+9a；-98
【分析】先计算整式的乘法，然后计算加减，最后代入求值即可.
【详解】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）
＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
＝﹣20a2+9a，
当a＝﹣2时，
原式＝﹣20×4﹣9×2
＝﹣98.
【点睛】题目主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键.
23．；．
【分析】已知等式，利用完全平方公式化简，相加即可求出的值，相减即可得出的值．
【详解】解：∵①，
②，
∴①＋②得：，
解得；
①﹣②得：，
解得：．
，．
【点睛】此题考查了完全平方公式、平方根的运用，熟练掌握完全平方公式和平方根的运算是解本题的关键．
24．图中着色部分的面积为
【分析】根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，再根据即可得出结论．
【详解】解：在中，
∵，，，
∴，
在中，
，，，
∵，．
∴，
∴为直角三角形，．
∴
．
答：图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据轴对称的性质即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：如图①，即为所求；
（2）解：如图②，即为所求；
（3）解：如图③，即为所求．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的性质，解本题的关键在利用相关性质正确画出图形．
26．(1)40人
(2)见解析
(3)480人
【分析】（1）由等级人数及其所占百分比可得总人数，用乘以等级人数所占比例即可；
（2）用总人数乘以等级对应的百分比求出其人数，据此可补全图形；
（3）用总人数乘以样本中、等级人数所占比例．
【详解】（1）解：∵C等级的人数是20人，占总数的百分比是50%，
∴这次随机抽取的学生人数：（人）；
（2）解：B等级的人数是：（人），补全统计图如下：
（3）解：根据题意得：
（人），
∴这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有480人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
27．(1)
(2)是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）先把前三项利用完全平方公式得到，再利用平方差公式即可分解；
（2）先将等式变形为，进而求出，且，，即可得到是等边三角形．
【详解】（1）解：；
（2）解：是等边三角形，
理由：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，且，
∴，且，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查了因式分解，等边三角形的定义等知识，理解题意中的“分组分解”，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
28．（1）见解析；（2），；（3）；，理由见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．
（2）首先根据和均为等边三角形，可得，，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，进而判断出的度数为即可．
（3）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；证明，得出，，进而求出；再根据，，，可得，得出，判断出即可．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
，
．
（2）解：和均为等边三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
，
，，
点，，在同一直线上，
，
，
，
故答案为：；．
（3）解：和均为等腰直角三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
，
，，
点，，在同一直线上，
，
，
；
，，，
，
，
；
即线段、、之间的数量关系为．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．