吉林省松原市前郭县南部学区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

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1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下面所给的银行标志图中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．经测算，一粒芝麻的质量约为，数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．
C．D．
5．小华在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为，则中间一项的系数是（ ）
A．6B．C．6或D．18
6．如图，在中，点M，，，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．计算： ．
8．若分式的值为零，则x的值为 ．
9．分解因式： ．
10．已知一个n边形的内角和是其外角和的5倍，则n= ．
11．如图所示，，则 °．
12．如图所示，，表示两根长度相同的木条，若是，的中点，经测量，则容器的内径为 ．

13．如图，在中，，点E在的垂直平分线上，平分．若，，则 ．
14．如图，在中，平分，，于点E，若，，，则四边形的面积是 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．解方程：
16．如图，已知中，，，E是的中点，，连接．求证：是等边三角形．
17．先化简，再求值：，其中，．
18．已知：P是线段AB的中点，∠1＝∠2，PD＝PC，求证：∠C=∠D

四、解答题（每小题7分，共28分）
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点A、B均在格点上，分别按下列要求画图．
(1)在图①中画一个，使的面积是10；
(2)在图②中画一个，使是轴对称图形；
(3)在图③中画一个，点E在格点上，且大于．
20．先化简：，再从1、2、0中选择一个合适的数代入求值．
21．已知三角形的底边长为（2x+1）cm，高是（x﹣2）cm，若把底边和高各增加5厘米，那么三角形面积增加了多少？并求出x=3时三角形增加的面积．
22．如图，在四边形中，对角线平分，，与的延长线交于点E．
(1)求证：；
(2)若，直接写出图中所有的锐角等腰三角形．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．某中学为了止学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A、B两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2400元，则应购买A种菜苗至少多少捆？
24．【问题】如图①，在等边中，点D、E在、上，、交于点O，则 度；
【探究】如图②，在等边中，点D、E分别在、的延长线上，求的度数；
【应用】如图③，在中，，点D、E分别在、的延长线上，若，，则 度．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．【教材原题】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为______．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______．
【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______．
（2）若x满足，求的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和．

26．如图，是等腰直角三角形，，，于点．点为边上一动点，连接，作，使点在射线上，过点作于点．
(1)的长为 ；
(2)当点在线段上时，求证：；
(3)若将分成面积比为的两部分，求的长；
(4)若的一个内角为，直接写出的大小．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据分式的分母不等于0时分式有意义，得，即可求得结果.
【详解】∵分式有意义
∴
得
故选D
【点睛】此题考查分式的意义，熟记定义才能正确判断.
2．B
【分析】根据轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项分析判断即可．
【详解】解：A.不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
B.是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；
C. 不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
D. 不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．A
【分析】本题是对整式运算的考查，熟练掌握同底数幂相乘除，幂的乘方及积的乘方的法则是解决本题的关键．根据同底数幂的乘除法，幂的乘方及合并同类项依次判断即可．
【详解】解：A、，计算正确，故本选项正确；
B、，计算错误，故本选项错误；
C、，计算错误，故本选项错误；
D、，计算错误，故本选项错误．
故选：A．
4．D
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了完全平方公式，根据，直接作答即可．
【详解】解：∵，
∴染黑的部分为．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，先证明，可得，再证明，再结合三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∴，
故选：B．
7．
【分析】本题考查了整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
先计算整数指数幂的运算，然后进行有理数的加法运算，由此得到答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
8．
【分析】根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的值为0的条件，解题的关键是掌握分式为0的条件，正确的计算．
9．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键．
10．12．
【详解】试题解析：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n-2）=360°×5，
解得n=12．
考点：多边形内角与外角．
11．200
【分析】根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解答．
【详解】如图，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴
故答案为200．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理．掌握三角形的三个内角的和为是解题关键．
12．9
【分析】先证明，进而证明得到即可．
【详解】解：∵，是，的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
13．4
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，先证明，，从而可得答案．
【详解】解：∵，平分，，
∴，
∵点E在的垂直平分线上，
∴，
∴，
故答案为：4．
14．21
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点D作延长线于点，由角平分线的性质定理，易证，得到，再证，得到，进而得出，然后由，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点D作延长线于点，
∵平分，，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：21．
15．x=3
【分析】先去分母，再去括号，接着移项，然后合并同类项，最后系数化为1，进行检验，即可求出答案.
【详解】解：
去分母得：x-3-(4-x)=-1
去括号得：x-3-4+x=-1
移项得：x+x=-1+3+4
合并同类项得：2x=6
系数化为1得：x=3
将x=3代入最简公分母4-x中，经检验，4-x≠0，
故此分式方程的解为x=3.
【点晴】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是熟知解分式方程的步骤，注意解分式方程一定要进行检验.
16．详见解析
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，先证明，再证明，从而可得结论．熟练的证明是解本题的关键．
【详解】证明：∵E是的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
17．，
【分析】本题考查了整式的化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原式化简，把的值代入计算即可得到答案，熟练掌握整式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
当，，原式．
18．见解析
【分析】由角的和差关系可得∠CPB=∠DPA，由中点的定义可得BP=AP，利用SAS可证明△APD≌△BPC，根据全等三角形的性质即可得结论．
【详解】∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CPD=∠2+∠CPD，即∠CPB=∠DPA
∵P是线段AB的中点，
∴BP=AP，
在△APD和△BPC中，，
∴△APD≌△BPC，
∴∠C=∠D．
【点睛】本题考查中点的定义及全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的常用方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL等，注意：SSA、AAA不能判定两个三角形全等，利用SAS时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．
（1）利用三角形面积公式，在B点右边4格处取C点，则满足条件；
（2）以过A的铅垂线为对称轴，作出B点的对称点D，则满足条件；
（3）把B点右边1格处取E点，则满足条件．
【详解】（1）如图，即为所求；

．
（2）如图，即为所求；

（3）如图，，即为所求；

20．；1
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后选一个使所给分式有意义的数代入计算．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴当时，
原式．
21．三角形面积增加了x+10；当x=3时， 三角形增加的面积32.5cm2．
【分析】根据三角形的面积公式和整式的各个运算法则计算，然后代入求值即可．
【详解】解：根据题意，面积增加（2x+1+5）（x﹣2+5）﹣（2x+1）（x﹣2）
=（2x2+6x+6x+18）﹣（2x2﹣4x+x﹣2）
=x2+6x+9﹣（x2﹣x﹣1）
=x+10，
当x=3时，原式=×3+10=32.5（cm2）．
【点睛】此题考查的是整式运算的应用，掌握三角形的面积公式和整式的各个运算法则是解决此题的关键．
22．(1)详见解析
(2)，，
【分析】此题考查等腰三角形的判定与性质，三角形内角和，平行线的性质和角平分线的定义，关键是根据平行线的性质和角平分线的定义和等腰三角形的判定解答即可．
（1）由平行线的性质得，由角平分线的定义得，等量代换得，从而可证；
（2）由可判断是等腰三角形；求出可判断是等腰三角形；再求出，可判断是等腰三角形．
【详解】（1）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴是等腰三角形，，
∴，
∵对角线平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴所有的锐角等腰三角形是，，．
23．(1)菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元
(2)菜苗基地购买A种菜苗至少60捆
【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，分式方程的解法，确定相等关系与不等关系是解本题的关键；
（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，利用“用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆”，再建立方程求解即可；
（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗捆，利用“所花的费用不超过2400元”，再建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗捆，
，
解得：，
∴所花的费用不超过2400元，在菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．
答：菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．
24．问题：60；探究：；应用：76
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练的证明三角形全等是解本题的关键．
[问题]先证明，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案；
[探究]先证明，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案；
[应用]先证明，可得，则，由，可得，再建立方程求解即可．
【详解】[问题]解：∵为等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
[探究]∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
[应用]∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．[教材原题] ；[类比探究] ；
[应用]（1）90；（2）5；[拓展]12
【分析】[教材原题]由题意知，；
[类比探究]由题意知，；
[应用]解：（1）将，代入，计算求解即可；
（2）由题意知，，根据，计算求值即可；
[拓展]由题意知，，，，由，可得，由，，可得，计算求出的值，根据种草区域的面积和为，计算求值即可．
【详解】[教材原题]解：由题意知，，
故答案为：；
[类比探究]解：由题意知，，
故答案为：；
[应用]解：（1），
故答案为：90；
（2）解：由题意知，，
∴，
故答案为：5；
[拓展]解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，解得，，
∴种草区域的面积和为，
∴种草区域的面积和为12．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
26．(1)
(2)详见解析
(3)的长为或
(4)的度数为或或．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，得到，再由直角三角形斜边上中线性质，得到答案．
（2）通过证明，，由此得到．
（3）分两种情况：点在线段上时；点在线段上时，分别求出的长，由此得到答案．
（4）分两种情况：点在线段上时，，证明为等边三角形，
；点在线段上时，或，分别求出的大小，由此得到答案．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，，，
，，
，
故答案为：．
（2）证明：是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：分两种情况：
①如图1，点在线段上时，
将分成面积比为的两部分，
，
，
，，
由（1）可知，，，
，，
；
②如图2，点在线段上时，
将分成面积比为的两部分，
，
，
，，
同（1）得：，，
，，
；
综上所述，的长为或；
（4）分两种情况：
①点在线段上时，如图1，
，
，
，
，
，
只有，
，
，
为等边三角形，
；
②点在线段上时，如图2，
，
或，
当时，
由（2）可知，，
，
，
，
，
；
当时，
，
，
；
综上所述，的度数为或或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形的面积，熟练掌握相关性质定理，灵活运用分类讨论的思想，是解答本题的关键．