湖南省郴州市桂东县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份湖南省郴州市桂东县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共22页。

4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．如果点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（ ）
A．0B．C．2D．
2．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ）
A．1，0B．﹣1，0C．1，﹣1D．无法确定
3．如果把方程变形为的形式，那么以长为直角边的 中的值是（ ）
A．B．C．D．
4．在△ABC中，，则△ABC为（ ）.
A．直角三角形B．等边三角形C．含60°的任意三角形D．是顶角为钝角的等腰三角形
5．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
6．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（ ）
A．15mB．C．20mD．
7．合肥市农科所在相同条件下经试验发现玉米种子的发芽率为，该市某种粮大户准备了玉米种子用来育种，他可能会损失大约（ ）．
A．971B．129C．1D．29
8．如图，平行于x轴的直线分别与反比例函数的图象相交于M，N两点，点P为x轴上的一个动点，若的面积为2．则的值为（ ）
A．2B．C．4D．
二、填空题（每小题3分共24分）
9．若，则 ．
10．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 ．
11．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是 ．
12．已知反比例函数在图象的每个象限内随增大而增大，则的取值范围是 ．
13．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ．
14．如图，等腰中，，，点D是上一点，，则AD的长为 ．
15．有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的方差是 ．
16．如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标
为(－1，1)，点C的坐标为(－4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是 _ ▲ ．
三、解答题（17~19每题6分，20~22每小题8分，23~25每题10分，共72分）
17．当m为何值时，关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣=0有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？
18．计算：．
19．如图，在中，，，，求．

20．南宁某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？
21．如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为．

(1)求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度；
(2)大树BC的高度约为多少米？（参考数据：，，）
22．为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为 ；
（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？
23．如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．
（1）求k的值；
（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．阅读材料解决问题：在锐角中，的对边分别为，作 于点，在中，，，在中，，，即，．
(1)证明：；
(2)如图二，求（结果保留根号）；
(3)如图三，在锐角中，，，又，垂足为，，求的长度．
25．如图1，在矩形中，，动点，分别从点，点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边上沿，的方向运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点运动的时间为，连接，过点作，与边相交于点，连接．
（1）如图2，当时，延长交边于点．求证：；
（2）在（1）的条件下，试探究线段三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）如图3，当时，延长交边于点，连接，若平分，求的值．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象上的点一定满足其解析式得到，进而推出，据此代值计算即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
故选D．
2．C
【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．
【详解】解：∵，
把代入得：，
即方程的一个解是，
把代入得：，
即方程的一个解是；
故选：C．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查配方法的应用，勾股定理，求角的余弦值．掌握配方法，勾股定理和余弦的定义是解题关键．根据配方法可求出，结合勾股定理可求出的斜边长为5，最后根据余弦的定义求解即可．
【详解】解：方程变形为的形式为，
∴．
∵以长为直角边，
∴的斜边长为，
∴．
故选B．
4．A
【分析】根据绝对值的非负性得出tanA-3=0，2csB-，再根据特殊角的三角函数值得出，最后根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】解：由题意得：tanA-3=0，2csB-，
得：tanA= ，csB= ，
得
则
故选A．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握三角函数值是解题的关键．
5．D
【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
6．C
【详解】解∶∵Rt△ABC中，BC=10m，tanA=，
∴AC===m．
∴AB=m．
故选C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数，特殊角的三角函数值及勾股定理，熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键．
7．D
【分析】本题考查用样本估计总体，蚕豆种子的发芽率为，可知不发芽率为，再乘以1000斤总数，即可知1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有多少．
【详解】解：黄石地区1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有斤，
即他可能会损失大约29斤，
故选：D．
8．C
【分析】设点的坐标为，从而可得点的坐标和的长，再利用三角形的面积公式即可得．
【详解】解：由题意得：，
设点的坐标为，则点的纵坐标为，
对于函数，
当时，，解得，
，，
轴，点为轴上的一个动点，
的边上的高为，
又的面积为2，
，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
9．##
【详解】解：根据题意，可设a=3k，b=7k，k≠0，代入可得=.
故答案为.
10．2
【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1
∵点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2
11．
【详解】∵x1，x2是关于x的方程x2+ax−2b=0的两实数根，
∴x1＋x2=−a=−2，x1x2=−2b=1，
解得a=2，b=
∴ba=()2=.
故答案为.
12．
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：反比例函数的图象，在每个象限内随的增大而增大，
∴函数图像在二、四象限，
，解得．
故答案为： ．
13．
【详解】∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥CD．
∴△ABE∽△DCE．
∴．
∵在Rt△ACB中∠B=45°，
∴AB=AC．
∵在RtACD中，∠D=30°，
∴．
∴．
故答案为
14．2
【分析】作于点E，先利用勾股定理求出，然后证明是等腰直角三角形，得到，设，则，则，在中，，则，再由，即可求解．
【详解】解：过点D作于点E，如图，
∴，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，设，则，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴
∴．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握解直角三角形的方法．
15．2
【详解】∵2，3，a，5，6，它们的平均数是4，
∴a=4×5-2-3-5-6=4，
∴=2．
故答案为：2
16．（2，0）或（-，）
【详解】解：①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF与x轴的交点，
设直线CF解析式为y=kx+b，将C（-4，2），F（-1，1）代入，得，
解得即y=-x+，
令y=0得x=2，
∴O′坐标是（2，0）；
②当位似中心O′在两个正方形之间时，
可求直线OC解析式为y=-x，直线DE解析式为y=x+1，
联立，解得，
即O′（-，）．
故本题答案为：（2，0）或（-，）．
17．m=；x1=x2=2．
【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，可知根的判别式的值等于零，建立方程即可求解．
【详解】解：由题意知，△=(-4)2 -4（m-）=0，
即16-4m+2=0，
解得：m=．
当m=时，方程化为：x2 -4x+4=0，
∴（x-2）2 =0，
∴方程有两个相等的实数根x1 =x2 =2．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．解题的关键在于要根据一元二次方程根的情况建立方程或不等式求解．
18．2
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，根据负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的余弦函数值计算即可．
【详解】解：
．
19．9
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，可得，即可得，问题随之得解．
【详解】解：，
，
，
，
即 ，
，
，
．
20．（1）平均每次降价的百分率为10％；（2）选方案①更优惠
【分析】（1）根据公式列出关系等式求解即可．
（2）按照两种优惠方案，分别计算出优惠后的实际房款，再进行比较即可．
【详解】解：（1）设平均每次降价的百分率是x，依题意得
5000（1－x）2= 4050
解得：x1=10％，x2＝（不合题意，舍去）
答：平均每次降价的百分率为10％．
（2）方案①的房款是：4050×100×0.98＝396900（元）
方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2＝401400（元）
∵396900＜401400
∴选方案①更优惠．
答：选方案①更优惠．
【点睛】本题考查了有关增长率问题的应用，增长或降低的基础公式为，n表示增长次数或降低．一般的方案问题，需要分别计算出各个方案的实际值，再作比较．
21．(1)小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米
(2)大树的高度约为米
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，熟练掌握勾股定理的内容，解直角三角形的方法和步骤，以及正确画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
（1）作于H，根据，得出，再根据勾股定理得出，列出方程求解即可；
（2）延长交于点G，设，则，根据，得出，根据，得出，再根据，得出．最后根据，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：作于H，如图1所示：
AI
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米；
（2）解：如图2所示：延长交于点G，
设，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
∵，
∴，
解得：．
答：大树的高度约为米．

22．（1）100；（2）补全图形见解析；（3）36°；（4）估计该校喜欢书法的学生人数为500人．
【详解】解：（1）学校本次调查的学生人数为10÷10%=100（名），
故答案为：100；
（2）“民乐”的人数为100×20%=20人，
补全图形如下：
（3）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为360°×10%=36°，
故答案为：36°；
（4）估计该校喜欢书法的学生人数为2000×25%=500（人）．
23．（1）4；（2）存在，P点坐标为（，0）
【分析】（1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，得点M的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标．从而可求K的值；
（2）根据反比例函数解析式可求N点坐标；作点N关于x轴的对称点N1，连接MN1与x轴的交点就是满足条件的P点位置：
【详解】解：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2．
∵tan∠AHO=2，∴OH=1．
∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为1．
∵点M在直线y=2x+2上，
∴点M的纵坐标为4．即M（1，4）．
∵点M在上，∴k=1×4=4．
（2）存在．
∵点N（a，1）在反比例函数（x＞0）上，
∴a=4．即点N的坐标为（4，1）．
过点N作N关于x轴的对称点N1，连接MN1，交x轴于P（如图所示）．
此时PM+PN最小．
∵N与N1关于x轴的对称，N点坐标为（4，1），∴N1的坐标为（4，﹣1）．
设直线MN1的解析式为y=kx+b．
由解得．
∴直线MN1的解析式为．
令y=0，得x=．
∴P点坐标为（，0）．
24．(1)见解析
(2)
(3)10
【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
（1）根据题目提供的方法进行证明即可；
（2）根据（1）的结论，直接进行计算即可．
（3）根据（1）的结论，可直接进行计算求出，利用三角函数求出，再分别利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：过点作于点，
在中，，
，
又，
，
即
；
（2）解：如图：，
，
由得，，
，
如图一：作于点，
在中，由于，
，
在中，由于，
，
，
；
（3）解：由，
可设，则
，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
由勾股定理可得：
，
．
25．（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）．
【分析】（1）先根据运动速度和时间求出，再根据勾股定理可得，从而可得，然后根据矩形的性质可得，从而可得，，最后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）如图（见解析），连接FQ，先根据（1）三角形全等的性质可得，再根据垂直平分线的判定与性质可得，然后根据勾股定理、等量代换即可得证；
（3）先根据角平分线的性质得出，再根据直角三角形全等的判定定理与性质得出，然后根据等腰三角形的三线合一得出，又分别在和中，利用余弦三角函数可求出t的值，从而可得CP、AP的长，最后根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】（1）由题意得：
四边形ABCD是矩形
，
在和中，
；
（2），证明如下：
如图，连接FQ
由（1）已证：
PQ是线段EF的垂直平分线
在中，由勾股定理得：
则；
（3）如图，设FQ与AC的交点为点O
由题意得：，，
平分，
（角平分线的性质）
是等腰三角形
在和中，
，即是的角平分线
（等腰三角形的三线合一）
在中，
在中，，即
解得
，即
故的值为．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、矩形的性质、余弦三角函数、平行线分线段成比例定理等知识点，较难的是题（3），熟练利用三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的三线合一是解题关键．