广西壮族自治区河池市凤山县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区河池市凤山县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共23页。
1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员
管理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）

A． B． C． D．
2．从数学的观点看，对以下成语及诗句中的事件判断正确的是（ ）
A．成语“守株待兔”是随机事件B．成语“水中捞月”是随机事件
C．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件D．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
3．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．在中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ）
A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定
5．函数与(是常数，且)在同一坐标系中的图像可能是( )
A．B．C．D．
6．如图，、是的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交、于点D、E，若，则的周长为（ ）

A．B．2C．3D．6
7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于直线x=1对称
B．函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4
C．﹣1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）=0的两个根
D．当x＜1时，y随x的增大而增大
8．如图是反比例函数和在x轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象交于、两点，点在轴上，则的面积为（ ）
A．3B．6C．D．
9．对于实数a，b定义运算“※”为，例如，则关于x的方程的解是（ ）
A．B．C．，D．，
10．如图，已知是一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是（ ）mm．
A．48B．80C．20D．46
11．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽” ．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，已知的三个顶点均在正方形格点上，则下列结论错误的为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．在中，，，，则的值是 ．
14．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中8环以上”的概率约是 .
15．如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥的底面圆的半径为3米，母线长为6米，为防雨水，需要在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价为元/米2，那么购买油毡所需要的费用是 元（结果保留）．
16．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感.已知某女士的身高为，下半身长与身高的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 ．（精确到）
17．如图是某种型号的飞机，飞机着陆后滑行的距离（单位：）
关于滑行时间（单位：）的函数解析式是，则此型号飞机着陆后滑行 停下来．
18．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，点A在反比例函数y＝的图象上，若点B在反比例函数y＝的图象上，则k＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：
20．先化简，再求值：，化简后，从的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值.
21．如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知．
(1)作出以O为旋转中心，顺时针旋转的（只画出图形）．
(2)作出关于原点O成中对心称的，（只画出图形）；
(3)请在y轴上找一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标．
22．某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了㸷学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为．请结合图中所给信息解答下列问题：

(1)这次被调查的学生共有______人；
(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；
(4)在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
23．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上．
(1)求的长；
(2)求灯泡到地面的高度．
24．我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系．直至水温降至时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温（）和时间x（）的关系如图所示．
(1)a=___________，b=___________．
(2)直接写出图中y关于x的函数关系式．
(3)饮水机有多少时间能使水温保持在及以上？
(4)若某天上午饮水机自动接通电源，开机温度正好是，问学生上午第一节下课时（）能喝到以上的水吗？请说明理由．
25．如图，是的直径，，于点，连接交于点．

(1)求证：；
(2)若，，求弦的长．
26．某智能机器人生产厂家准备对甲、乙两款机器人进行投资生产，根据前期市场调研情况发现，投资甲机器人一年后的收益（万元）与投入成本（万元）的函数表达式为：，投资乙机器人一年后的收益（万元）与投入成本（万元）的函数表达式为：．
(1)若将2万元资金投给乙机器人，一年后获得的收益是多少？
(2)请在平面直角坐标系中画出两函数图象的简图，并结合图象分析怎样选择投资对象使获得的收益更多？
(3)若该生产厂家共有活动资金32万元，计划全部投入到甲、乙两款机器人生产中，当甲、乙两款机器人分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
参考答案与解析
1．B
【分析】通过观察立体图形即可．
【详解】解：该立体图形的主视图是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答．
2．A
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；在一定条件下，肯定它一定不会发生的事件，称为不可能事件；在一定条件下，肯定它一定会发生的事件，称为必然事件；根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义进行分析即可．
【详解】解：A：“守株待兔”可能发生也可能不发生，故是随机时间，符合题意；
B：“水中捞月”是肯定会失败的，是不可能事件，故不符合题意；
C：“清明时节雨纷纷” 可能发生也可能不发生，是随机时间，故不符合题意；
D：“离离原上草，一岁一枯荣”是肯定会发生的事件，是必然事件，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查事件类型的判断，解题的关键是掌握事件的分类知识．
3．D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
4．A
【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐角A的各三角函数值没有变化，
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握三角函数值的大小只与角的大小是解题的关键．
5．C
【分析】本题可先由一次函数图像得到字母系数的正负，再与二次函数的图像相比较看是否一致．
【详解】解：A．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向下，，但是一次函数与轴的交点和二次函数与轴的交点，不是同一点，故A选项错误；
B．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向下，，两者相矛盾，故B选项不正确，不符合题意；
C．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向上，，且两函数相交轴于同一点，故C选项正确，符合题意；
D．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向上，两者相矛盾，故D选项不正确，不符合题意 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数综合，掌握一次函数与二次函数图像的性质是解题的关键．
6．B
【分析】本题主要考查了切线长定理的应用，先根据切线长定理得，，，再根据的周长，进而得出答案．
【详解】∵，是的切线，，是的切线，
∴，，．
∵的周长，
∴的周长．
故选：B．
7．D
【分析】根据函数图象确定对称轴、最小值、增减性、二次函数与一元二次方程的关系判断即可．
【详解】A．观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x=1，则图象关于直线x=1对称，正确，故本选项不符合题意；
B．观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），又抛物线开口向上，所以函数ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，正确，故本选项不符合题意；
C．由图象可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线x=1，所以抛物线与x轴的另外一个交点为（3，0），则﹣1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，正确，故本选项不符合题意；
D．由抛物线的对称轴为x=1，所以当x＜1时，y随x的增大而减小，错误，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查的是二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质，理解二次函数的对称轴、最值、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的增减性是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，利用反比例函数的比例系数的几何意义求出与的面积，从而得出的面积，最后运用平行线之间三角形“同底等高”面积相等的性质，即可得到答案．掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
【详解】解：如图，
连接、，设交轴于，
轴的平行线分别与这两个函数图象相交于点，，
轴，
点、在反比例函数和在轴上方的图象上，
，
，
轴,
与“同底等高”，
，
故选：A．
9．D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据新运算可得方程，再利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
整理得：，
解得：，．
故选：D
10．A
【分析】本题主要考查三角形的相似，根据正方形的性质得到对应角度度相等，有，对应边成比例即可求得答案．
【详解】解：设正方形的边长为，
则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
故选：A．
11．C
【分析】设6210文购买椽的数量为x株，可得一株椽的价钱为文，或文，从而可得答案．
【详解】解：设6210文购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为文，则
；
故选C
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
12．D
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理可得，再根据锐角三角函数，逐项判断，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∴，
∴，，，，
∴正确的有A，B，C，D选项错误．
故选：D
13．
【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据在直角三角形中正切等于对边比邻边，即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴．
故答案为：
14．
【分析】本题考查用频率估计概率，根据大量的实验结果稳定在，即可得出结论．
【详解】解：由题知，射击次数越多，“射中8环以上”的频率越接近，
所以这名运动员射击一次时“射中8环以上”的概率约是．
故答案为：．
15．
【分析】根据圆锥侧面积公式，算出油毡的面积，乘以10即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：圆锥侧面积（平方米），
则购买油毡所需要的费用（元）．
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥侧面积公式是解本题的关键．
16．
【分析】本题考查黄金比例的问题，熟练掌握黄金分割点是解题的关键，根据某女士的身高、下半身长与身高的比例即可求出她下半身的长度，再根据列方程求解，注意要检验结果是否符合题意．
【详解】解：由题可得：
某女士的下半身长为，
∴，
要接近黄金比例，设鞋高为，
∴，
解之得：，
经检验是方程的解，
故答案为：．
17．
【分析】要求飞机滑行多少米才能停下，即要求飞机滑行距离的最大值，根据已知二次函数解析式求s的最大值即可．本题主要考查二次函数的实际应用，将飞机滑行多少距离停止转化为二次函数的最值是解题关键．
【详解】解：
，
当时，s有最大值．
所以飞机着陆后滑行米才能停下来．
故答案为：．
18．-6.
【详解】试题解析：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠DBO+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC．
∵∠BDO=∠ACO=90°，
∴△BDO∽△OCA．
∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴，
∴，
设A（m，n），则B（-n，m），
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴mn=2，
∴-n•m=-3×2=-6，
∴k=-6．
19．
【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键．
20．；当时，原式
【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则和分式有意义的条件，准确计算．
【详解】解：原式
；
由题意可知：，，，
∴当时，原式．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析，点P的坐标
【分析】本题考查坐标与图形变换．
（1）根据旋转的性质，画出即可；
（2）根据成中心对称的性质，画出即可；
（3）作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，写出点的坐标即可．
掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求，
（3）如图，点P即为所求，点P的坐标．
22．(1)
(2)见解析
(3)这名学生中有人参加了篮球社团
(4)
【分析】（1）由D所占扇形的圆心角为，根据，计算可求这次被调查的学生；
（2）根据C组人数为：，计算求解，然后补图即可；
（3）根据，计算求解即可；
（4）根据题意，画树状图，然后求概率即可．
【详解】（1）解：∵D所占扇形的圆心角为，
∴这次被调查的学生共有：（人）；
故答案为：；
（2）解：由题意知，C组人数为：（人），
补充条形统计图如下：

（3）解：（人），
答：这名学生中有人参加了篮球社团，
（4）解：设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：

∴一共有种可能的情况，恰好选择一男一女有种，
∴．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，列举法求概率．从统计图中获取正确的信息，正确的画树状图是解题的关键．
23．(1)
(2)．
【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长；
（2）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长．
【详解】（1）解：（1）由题意可得：，
则，
∴，
∴，
解得：，
答：的长为；
（2）解：∵，
∴，
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
24．(1)，
(2)
(3)饮水机有分钟时间能使水温保持在及以上
(4)不能，见解析
【分析】（1）根据题意，求得，再求得反比例函数解析式，将代入求得；
（2）根据题意得出点的坐标为（0，20）和（8，100），然后利用待定系数法求出两个函数解析式；
（3）先求出到第一节课下课时的时间为100分钟，是2个40分钟多20分钟，令，代入函数解析式求得，即可求解．
【详解】（1）（1）开机加热时每分钟上升，
，
∵停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系．
设关系为，将点代入得，
∴反比例函数解析式为，
令，解得：，
∴；
故答案为：，；
（2）∵设一次函数关系式为：，
将（代入，
解得．
∴，
由（1）可得反比例函数解析式为：；
∴
（3）在中，令，解得；
在反比例函数中，令，
解得：，
，
∴饮水机有分钟时间能使水温保持在及以上．
（4）上午到上午第一节下课时（）的时间是分钟，是2个40分钟多20分钟，
在中，当时，，
∵，
∴学生上午第一节下课时不能喝到超过以上的水．
【点睛】本题主要考查的是一次函数与反比例函数的实际应用问题，根据题意和函数图象得出函数解析式是解决问题的关键．
25．(1)见解析；
(2)．
【分析】（）根据是的直径，可知，据此即可确定，由得出，则，则有，根据，再通过等弧所对的圆周角相等即可求解；
（）连接，根据等腰三角形的“三线合一”定理得出，再根据垂径定理得到，再由勾股定理即可求解；
本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及等腰三角形的判定等，熟练掌握这些定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，交于点，

∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴的半径为，
设，则，
由勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
∴．
26．(1)一年后获得的收益是4万元
(2)见解析，见解析
(3)当投入甲款机器人生产28万元，投入乙款机器人生产4万元，一年后获得的收益之和最大，最大值是20万元
【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用．
（1）将代入求解即可；
（2）根据画直线和抛物线的简洁方法画出两函数图象的简图，结合两图象的交点和相对位置分析怎样选择投资对象使获得的收益更多即可；
（3）设一年后获得的收益之和为w，投入甲款机器人生产n万元，则投入乙款机器人生产万元，根据题意可求出w与n的关系式，再结合二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）当时，
（万元），
答：一年后获得的收益是4万元；
（2）过点，
画出简图如图，
抛物线的对称轴为：直线，顶点为，
当时，，
当时，，
解得，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，
画出简图如图，
直线与抛物线的两个交点为，
由图象可知：当投入成本万元时，选择投资生产甲、乙两款机器人获得的收益一样；
当投入成本万元时，选择投资生产乙款机器人获得的收益更多；
当投入成本万元时，选择投资生产甲款机器人获得的收益更多．
（3）设一年后获得的收益之和为w，投入乙款机器人生产n万元，则投入甲款机器人生产万元，
，
∴当时，w有最大值，最大值为20．
．
答：当投入甲款机器人生产28万元，投入乙款机器人生产4万元，一年后获得的收益之和最大，最大值是20万元．
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中8环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中8环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82