河南省平顶山市舞钢市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份河南省平顶山市舞钢市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。
考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）

A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同D．三种视图都相同
2．已知是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．9B．C．11D．
3．已知在中，，，，那么的长为（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示，在中，，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是矩形
6．与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是，则的面积是
A．B．C．D．
7．在反比例函数（k为常数）上有三点，若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．从1，2，3这三个数中任取两数，分别记为m，n，那么点在反比例函数图象上的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是（ ）
A．4B．6C．8D．2
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若x为锐角，且cs（x﹣20°）＝，则x＝ ．
12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数a的最大值是 ．
13．如图，点是反比例函数图象上一点，由点分别向轴和轴作垂线，阴影部分的面积为，则反比例函数表达式是 ．
14．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，求树高AB是 m．
15．如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则两港之间的距离为 ．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（1）解方程：；
（2）计算：．
17．9月23日，第十九届亚洲运动会开幕式在浙江省杭州市举行．在比赛中，运动员们奋勇争先，捷报频传．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图．

18．妙乐寺塔，又名妙乐寺真身舍利塔，位于河南省焦作市武陟县城西7.5公里处，建于后周显德二年，是我国现存最古老、规模最大、保存最为完整的五代大型砖塔，2001年6月25日妙乐寺塔作为五代时期古建筑，被国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．某数学兴趣小组准备测量妙乐寺塔的高度，由于塔底不可到达，小组准备用无人机测量，组员小明操作无人机飞至离地面高度为60米的C处时，测得妙乐寺塔的顶端A的俯角为，他操控无人机水平飞行70米至塔另一侧D处时，测得塔的顶端A的俯角为．已知A，B，C，D在同一平面内，求妙乐寺塔的高度．（精确到0.1米，参考数据：）
19．根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？
20．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是 （精确到0.01），由此估出红球有 个.
(2)现从该袋中按上述方式摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率.
21．如图，中，，D、E分别是边、的中点．将绕点E旋转180度，得．
（1）判断四边形的形状，并证明；
（2）已知，，求四边形的面积S．
22．如图所示，直线与反比例函数交于、两点，已知点的坐标为，点的纵坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线及反比例函数的解析式；
(2)若点是第二象限内反比例函数图像上的一点，的面积是，求点的坐标；
(3)直接写出不等式的解集．
23．某数学学习小组在学习了相似三角形以后，他们发现对于同一个物体在灯光下，它的影子的长度与电灯到物体的距离有一定的关系，利用物体影子的长度可以计算电灯到物体的距离，利用电灯到物体的距离也可以计算物体影子的长度．
下面是他们的试验内容，请解答：

(1)如图①，放在水平地面上的正方形框架，在其正上方有一个小射灯，在小射灯的照射下，正方形框架在地面上的影子为、，若正方形框架的边长为，，则________；小射灯离地面的距离为_______．
(2)如图②，不改变（1）中的条件，将另一个同样大小的小正方形框架紧贴在原小正方形框架的左边并排摆放，即正方形．求小射灯下的影长的长度．
(3)如图③，小射灯到地面的距离为，一共有个边长为的小正方形框架（无重叠）并排如图摆放，影长与的和为__________________（用、、表示）．
参考答案与解析
1．A
【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
【详解】解：这个花鹅颈瓶的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的概念是解题关键．
2．C
【分析】根据根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系式：，熟记两个关系式是解题的关键．
3．D
【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意利用正弦公式列出代数式即为本题答案．
【详解】解：∵，，，
∴，即，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】解：∵，，
∴，则
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得出比例式是解题的关键．
5．C
【分析】根据正方形，菱形，矩形的判定方法即可求解．
【详解】解：、四边相等的四边形是菱形，原选项说法错误，不符合题意；
、对角线平分互相垂直且相等的四边形是正方形，原选项说法错误，不符合题意；
、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原选项说法正确，符合题意；
、对角线平分且相等的四边形是矩形，原选项说法错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查正方形，菱形，矩形的判定方法，掌握特殊四边形的判定知识是解题的关键．
6．A
【分析】利用位似比得出三角形面积比，进而得出答案．
【详解】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，
∴，
∵△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是：12．
故选A．
【点睛】此题主要考查了位似变换，利用位似比得出面积比是解题关键．
7．C
【分析】根据偶次方的非负性，得，再根据反比例函数的图象的特点解决此题．
【详解】解：∵，
∴．
∴反比例函数(k为常数）的函数图象在第一、第三象限；在第一象限内，y随着x的增大而减小；在第三象限内，y随着x的增大而减小．
∵，
∴，，即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的特点，熟练掌握反比例函数的图象的特点是解决本题的关键．
8．B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出，列表或画树状图找出所有的值，然后根据概率公式分析求解．
【详解】解：∵点在反比例函数图象上，
∴．
画树状图如下：
共6种等可能结果，其中符合题意的有2种，
∴点在反比例函数图象上的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，掌握反比例函数图像上点的坐标特征及概率的概念是解题的关键．
9．B
【分析】如图，连接DD＇，延长交AD于E，由菱形，可得,进一步说明,得到菱形AE=AD；又由正方形ABCD，得到AB=AD,即菱形的高为AB的一半，然后分别求出菱形和正方形ABCD的面积，最后求比即可．
【详解】解：如图：延长交AD于E
∵菱形
∴
∵
∴
∴AE=AD
又∵正方形ABCD
∴AB=AD,即菱形的高为AB的一半
∴菱形ABC′D′的面积为，正方形ABCD的面积为AB2．
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是．
故答案为B．
【点睛】本题主要考出了正方形的性质、菱形的性质以及含30°直角三角形的性质，其中表示出菱形ABC′D′的面积是解答本题的关键．
10．C
【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．
【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于B，
∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∵，
∴BD＝2，
∵tan∠BOC，
∴，
∴OD＝4，
∴点B的坐标为（2，4），
∵反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，根据正切值求边长，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标．
11．##50度
【分析】根据特殊角的三角函数值，求得的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查了根据三角函数值求角，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
12．1
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
则a的最大整数值是1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．
13．##
【分析】设出点A的坐标，阴影部分面积等于点A的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可．
【详解】解：设点A的坐标为（x，y）．
∵A（x，y）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝xy，
∴|xy|＝8，
∵点A在第二象限，
∴k＝﹣8．
∴反比例函数表达式是；
故答案是：．
【点睛】此题考查的是反比例函数与矩形的面积关系，掌握反比例函数图象上一点作x轴、y轴的垂线与坐标轴围成的矩形的面积与反比例函数的比例系数的关系是解决此题的关键．
14．9
【分析】先统一单位，再根据有两角对应相等的两个三角形相似，可得，，进而求得，再根据，即可解决问题.
【详解】，
∵
∴
∴，即
∴
∴
故答案为9
【点睛】本题考查利用三角形相似求线段长，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
15．
【分析】设过点正北方向直线为，过点正北方向直线为，过作于，过作，由题意得：，，，，则，为等腰直角三角形，，由平行线的性质可得，再由，求出的长，即可得到答案．
【详解】解：如图，设过点正北方向直线为，过点正北方向直线为，过作于，过作，
由题意得：，，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方位角问题、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
16．（1），；（2）
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，特殊角的三角函数值的混合计算，熟练掌握特殊角的函数值，选择适当方法解方程时解题的关键．
(1)选择配方法求解即可．
(2)根据特殊角的三角函数值代入求解即可．
【详解】解：（1），
，
，
∴，
（2）
17．见解析
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图，据此作答．
【详解】解：如图所示：

【点睛】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向，属于基础题．
18．妙乐寺塔的高度约为37.6米．
【分析】过点A作，垂足为E，设，由直角三角形可得，，根据，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作，垂足为E，设，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
，
解得，米.
则米.
答：妙乐寺塔的高度约为37.6米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线并熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
19．参加旅游的人数40人.
【分析】首先设有人参加这次旅游，判定，然后根据题意列出方程，再判定出符合题意的解即可.
【详解】设有人参加这次旅游
∵
∴参加人数
依题意得：
解得：，
当时，，符合题意.
当时，，不符合题意
答：参加旅游的人数40人.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，列出方程.
20．(1)0.33；2
(2)见解析，
【分析】对于（1），根据多次试验的结果可得常数，再根据多次试验的频率估计概率，求出红球的个数；
对于（2），先画出树状图，再根据概率公式计算即可．
【详解】（1）随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.33，因此接近的常数就是0.33；
设红球由x个，由题意得：
，
解得：，
经检验：是分式方程的解.
故答案为：，2；
（2）画树状图得：

共有9种等可能得结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，
摸到一个白球一个红球的概率为：.
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，画树状图计算概率等，掌握概率公式是解题的关键．
21．（1）菱形，理由见解析；（2）7
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，根据旋转的性质，，可证明四边形是平行四边形，再根据，D、E分别是边、的中点，可知，所以四边形是菱形；
（2）由（1）得菱形的对角线互相垂直平分，再根据，可得到，利用勾股定理可求出BO和AO，再根据菱形的面积求解公式计算即可；
【详解】（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵D、E分别是边、的中点，
∴，
又∵绕点E旋转180度后得，
∴，
∴，
∴四边形ABDF是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形ABDF是菱形．
（2）如图，连接AD、BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD与BF相互垂直且平分，
又∵，
∴，
令，，
在Rt△ABO中，，
∴,
即，
解得：，，
即由图可知，，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质综合应用，准确理解中位线定理和旋转性质是解题的关键．
22．(1)反比例函数的解析式为；直线的解析式为
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意将和坐标代入列出二元一次方程组，解出，即可得到直线的解析式，再将代入求得反比例函数解析式；
（2）设点的坐标为，利用的面积是的条件列出方程，即可得到本题答案；
（3）先将点坐标求出，通过观察图像比较两函数交点左右的函数值大小，即可得到本题答案．
【详解】（1）解：∵直线与反比例函数交于、两点，与轴交于点，
∴把，分别代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵把点代入得：，
∴反比例函数的解析式为；
故答案为：反比例函数的解析式为；直线的解析式为；
（2）解：∵点是第二象限内反比例函数图像上的一点，
∴设点的坐标为，
∵直线与轴交于点，
∴把代入，得，
∴，
∵，
∴，解得，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
（3）解：∵直线与反比例函数交于、两点，，
又∵由（1）知直线的解析式为，点的纵坐标为，
∴把的纵坐标为代入中，解得：，
∴，
∵通过观察图像：在两交点的左右两侧分别进行分析，
∵当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
故不等式的解集为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，二元一次方程组，三角形面积公式，函数交点与一元一次不等式关系．
23．(1)；80
(2)
(3)
【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、相似三角形的性质在实际问题中的应用等知识与方法，
（1）设于点，交于点，由正方形的性质得，，，，则，所以，再证明，得，则，所以，求得，于是得到问题的答案；
（2）由（1）得，，，则，，，可证明，得，于是得，求得，则小射灯下的影长的长度为；
（3）设于点，交于点，则，，，由，得，则，所以，于是得到问题的答案．
此题综合性强，难度较大，正确理解和应用相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】（1）如图①，于点，交于点，

四边形是边长为的正方形，
，，，，
，，，
，
点在正方形的正上方，
，
，
，，
，
，
，
，
解得，
小射灯离地面的距离为，
故答案为：，80．
（2）如图②，于点，交于点，

由（1）得，，，
，
，
，，
，
，
，
，
解得，
答：小射灯下的影长的长度为．
（3）如图③，于点，交于点，则，，，

，
，
，
，
，
故答案为：．
摸球的次数
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数
72
93
130
334
532
667
摸到白球的频率
0.3600
0.3100
0.3250
0.3340
0.3325
0.3335