陕西省商洛市2024届高三上学期尖子生学情诊断考试数学（理科）试卷及答案

这是一份陕西省商洛市2024届高三上学期尖子生学情诊断考试数学（理科）试卷及答案，共15页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，已知等比数列的前项和，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C.1 D.-1
3.如图所示方格纸上的图形为某几何体的三视图（其中小方格边长为1），则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在中，满足条件，若，则（ ）
A.8 B.4 C.2 D.
5.已知抛物线的焦点为，点在上，点，则周长的最小值为（ ）
A.8 B.10 C.12 D.13
6.已知等比数列的前项和，则（ ）
A.3 B.9 C.-9 D.-3
7.已知双曲线的一条渐近线为为右支上任意一点，且到的距离为，到左焦点的距离为，则的最小值为（ ）
A.4 B. C. D.
8.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一个“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一个重卦.在所有重卦中随机取一个重卦，则该重卦恰有2个阴爻的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数的图象与的图象关于轴对称，若将的图象向左至少平移个单位长度后可得到的图象，则（ ）
A.的图象关于原点对称
B.
C.在上单调递增
D.的图象关于点对称
11.半正多面体亦称“阿基米德体”或者称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示.已知，若在该半正多面体内放一个球，则该球体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
12.设，则（ ）
A. B.
C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，则__________.
14.已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为__________.
15.若，则__________.
16.设函数的定义域为为的导函数，，则__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知中，角所对的边分别为.
（1）求；
（2）设是边上的点，且满足，求内切圆的半径.
18.（本小题满分12分）
随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.在丑橘销售旺季，某丑橘基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售丑橘的数量（都在100箱到600箱之间）情况如下：
（1）求实数的值，并用组中值估计这100个购物群销售丑橘总量的平均数（箱）；
（2）假设所有购物群销售丑橘的数量服从正态分布，其中为（1）中的平均数，100.若参与销售该基地丑橘的购物群约有2000个，销售丑橘的数量在（单位：箱）内的群为“一级群”，销售数量小于266箱的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596箱的购物群为“优质群”.该丑橘基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该丑橘基地大约需要准备多少元？
附：若服从正态分布，则.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，为棱上一点.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的大小.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率是，其左､右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于.
（1）求证：；
（2）若点，过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若，函数.
（i）证明：在区间上存在极值点；
（ii）记在区间上的极值点为在区间上的零点的和为.证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､ 23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线交于两点，求线段的长.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知.
（1）解不等式；
（2）令，若的图象与轴所围成的图形的面积为，求实数的值.
商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试·数学试卷（理科）
参考答案､提示及评分细则
1.B ，所以.故选B.
2.D 因为，所以，则的虚部为-1.故选D.
3.A 易知三视图所表示的为四棱锥（如图所示），且底面是边长为2的正方形，
一条侧棱与底面垂直，且，易求，
，所以该几何体的表面积为.故选A.
4.A 因为，所以，故.故选A.
5.D 如图，显然，记抛物线的准线为，则，记点到的距离为，点到的距离为，则.故选D.
6.D 当时，；当时，.，又是等比数列，所以，解得.故选D.
7.C由题可知，，设右焦点到渐近线的距离为，由图可知，.故选C.
8.B 所有“重卦”共有种，恰有2个阴爻的情况有种，所以该重卦恰有2个阴爻的概率为.故选B.
9.A 由任意两个实数，不等式恒成立，
得函数在上单调递增.由函数是定义在上的奇函数，得，
所以不等式化为，解得，
所以不等式的解集为.故选A.
10.B 由题意，可设，因为与的图象关于轴对称，所以，则的最小值为，所以，则.
对于A，因为的定义域为，而，所以不是奇函数，图象不关于原点对称，错误；
对于B，，B正确；
对于C，由，得，又在上不单调，C错误；
对于D，，不存在，使，故不是图象的对称中心，D错误.故选B.
11.A 由题意，半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，，当球的体积最大时，该球的球心即为半正多面体所在正四面体的内切球的球心，记球心为.在中，，该半正多面体所在的正四面体的高，设点到正六边形所在平面的距离为，过点作于，由几何知识得，，所以，即，解得，所以当球的体积最大时，该球的半径为，则该球的体积为.故选A.
12.D 设，设0，所以，所以函数在上单调递增，所以，即.根据已知得，可设，则，所以函数在上单调递增，所以，即.综上，.故选D.
13. .
14. 解法一：圆，所以圆心为，半径为2，设，由线段的中点为，可得，即有，即，所以点的轨迹方程为.解法二：因为，所以点的轨迹是以为直径的圆，所以点的轨迹方程为.
15.196 由，所以.
16.89 因为，所以，所以，所以，即，所以，则
.
17.解：（1）结合及正弦定理得，
因为，所以，因为，所以.
（2）如图所示：
在中根据余弦定理得，即，①
又因为，所以，因为，所以，
将两边平方并整理得，②
联立①②得到，所以，
所以的面积为.
设其内切圆半径为，则，解得，
所以内切圆的半径为.
18.解：（1）由题意得，解得.
故平均数为（箱）.
（2）由题意，，且，
故，
所以“优质群”约有（个），
，
所以“一级群”约有（个），
所以需要资金为（元），
故至少需要准备373400元.
19.（1）证明：，
由余弦定理，得，
.
平面平面，
又平面，
平面.
平面.
（2）解：以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.
则.
，
平面的一个法向量为.
设，则.
又，
即，故.
设平面的一个法向量为，
由得取，可得.
设二面角的大小为，由图可知为钝角，
则，得.
故二面角的大小为.
20.（1）证明：设椭圆的半焦距为，因为，
所以，
又，
所以，所以直线，
令，解得，所以，
所以，
所以.
（2）解：若点，则，解得，则，
所以椭圆方程为.
如图，设直线的方程为，则，
联立得，
则.
直线的方程为，
令，得
.
故在轴上存在一个定点，使得三点共线.
21.（1）解：因为，
所以.
令，所以，因为，所以，所以，所以在上单调递增，
又因为，所以当时，；当时，，
即当时，；当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）证明：（i）因为，
所以，
令，则，
令，则，
显然在区间上，即即在上单调递增，
所以，
所以即在区间上单调递增，
又，
由零点存在性定理可得：在区间上存在唯一零点，且在该零点左右两侧的值符号相反，
故在区间上存在极值点.
（ii）由（i）得在上小于0，在上大于0，又当时，，，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，即，使，
又，所以.
令，则，
所以在上单调递增，，所以，
由，得，
.
令，则，
所以在上单调递增，即，所以.
令，
则，
所以在上单调递增，即，
所以，
所以，
又在上单调递增，所以，即.
22.解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
所以曲线的普通方程为；
因为曲线的极坐标方程为，所以，
即
又，
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，为直线，
且圆心到直线的距离，
所以圆与直线相交，
所以.
23.解：（1）
当时，，解得，无解；
当时，，解得，所以；
当时，，解得，所以.
综上所述，不等式的解集为.
（2）画出的图象，由（1）知，阴影部分的面积为，
所以的图象向下平移至阴影部分的上沿与轴重合时，图形与轴所围成图形的面积恰为阴影部分
的面积，即为，
此时函数的图象向下平移的距离为3，故.
丑橘数量（箱）
购物群数量（个）
18
18