2023-2024学年湖北省十堰市张湾区、郧阳区九年级上册期中考试数学测试卷（附答案）

这是一份2023-2024学年湖北省十堰市张湾区、郧阳区九年级上册期中考试数学测试卷（附答案），共14页。试卷主要包含了下列方程有两个相等的实数根的是，在平面直角坐标系中，点A，将抛物线y＝﹣2等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本卷共有4页，共有25小题，满分120分，考试时限120分钟．
2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形码．
3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内．
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．将一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，1B．3，6C．﹣3，﹣6D．3，﹣6
3．二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）
4．下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝0B．x2﹣3x+2＝0C．x2﹣2x+3＝0D．x2﹣9＝0
5．在平面直角坐标系中，点A（﹣4，3）关于原点的对称点的坐标为（ ）
A．（4，3）B．（﹣3，4）C．（﹣4，﹣3）D．（4，﹣3）
6．将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1B．y＝﹣2（x+2）2+5
C． y＝﹣2（x+2）2+1D．y＝﹣2（x﹣4）2+5
7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（ ）
A．50°B．70°C．110°D．120°
8．某种防疫物资原价为50元/件，经过连续两次降价后售价为28元/件，每次降价的百分率均为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．50（1﹣x）2＝50﹣28B．50（1﹣x）2＝28
C．50（1﹣2x）＝28D．50（1﹣x2）＝28
9．如图，点A、B、C、D、P都在⊙O上，OC⊥AB．若∠ADC＝α（0°＜α＜90°），则∠APB＝（ ）
A．90°+αB．180°﹣αC．180°﹣2αD．2α
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个C．4个D．5个
第10题
第7题
第9题
二、填空题。（每题3分，共18分）
11．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 ．
12．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 ．
13．如图，在△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A＝100°，∠D＝50°，则∠AOD的度数是 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于 ．
15．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝ ．
16．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE＝∠BDC．其中正确的序号是 ．（请填写序号）
第13题
第16题
第14题
三、解答题。（共72分）
17．（6分）解下列方程：
（1）2x2+6x+3＝0；
（2）（x+2）2＝3（x+2）．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点均在格点上．
（1）画出△ABO关于原点O对称的图形△A1B1O；
（2）画出△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的图形△A2B2O，并写出点B的对应点B2的坐标．
19．（6分）如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为
米．
20．（7分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC的一条边BC的长为，另两边AB，AC的长分别为关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+1＝0的两个实数根．当k＝2时，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）设方程两实数根分别为x1、x2，且＝x1x2﹣4，求实数k的值．
21．（7分）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？
（8分）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC
∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若BC＝3，DE＝2，求⊙O的半径长．
23．（10分）某公司电商平台，在2023年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
（1）该商品进价 （元/件），y关于x的函数解析式是 （不要求写出自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求售价不低于进价，售价x为多少时，周销售利润W最大，并求出此时的最大利润；
（3）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m＞0的整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利润最大，请直接写出m的值．
24．（10分）（10分）（1）如图1，已知，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD边上，点E在BC边上，则BE与DG的数量关系为 ；
（2）将（1）中的正方形CEFG绕点C旋转至图2时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给以证明；若不成立，请说明理由；
（3）若AB＝5，，将（1）中正方形CEFG绕点C旋转α度（0＜α＜90），如图3，当B，E，G三点在一条直线上时，求DG的长．
25．（12分）如图①，抛物线y＝ax2+x+c，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，顶点为E，其中，点A坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝2．
（1）求此抛物线解析式；
（2）在第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，求点F的坐标；
（3）如图②，点P是x轴上一点，点E与点H关于点P成中心对称，点B与点Q关于点P成中心对称，当以点Q，H，E为顶点三角形是直角三角形时，求P的坐标．
数学答案
一、选择题。
1． D．2． D．3．C．4．A．5．D． 6．B 7．D．8．B．9．C． 10．C．
二、填空题。（每题3分，共18分）
11．（1，8） 12． 6 ．13． 40 ．14． 2 ．15．-1或2 16． ①②③ ．
三、解答题。
17．（6分）
解：（1）∵2x2+6x+3＝0，
∴2x2+6x＝﹣3，
则x2+3x＝﹣，
∴x2+3x+＝﹣+，即（x+）2＝，…………………………2
则x+＝±，
∴x1＝，x2＝； …………………………3
（2）∵（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
∴（x+2）（x﹣1）＝0， …………………………2
则x+2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1． …………………………3
18．（6分）解：（1）如图，△A1B1O即为所求．…………………………2
（2）如图，△A2B2O即为所求． …………………………4
点B2的坐标为（3，4）． …………………………6
19．（6分）解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，
则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF，
由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，
设圆的半径是r，
则：r2＝402+（r﹣20）2，
解得：r＝50；
即桥拱的半径为50米； …………………………3
（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示
则MH＝NH＝MN＝30，
∴EH＝＝40（米），
∵EF＝50﹣20＝30（米），
∴HF＝EH﹣EF＝10（米）； …………………………6
故10．
20．（7分）解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根，
∴△≥0，即Δ＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，
解得k≤3．
故k的取值范围为：k≤3；…………………………2
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
当k＝2时，
原方程化为：x2﹣4x+3＝0，
解得：x＝3或x＝1，
∴32+12＝（）2，
∴△ABC是直角三角形；…………………………4
（3）由根与系数的关系可得x1+x2＝4，x1x2＝k+1，
∵＝x1x2﹣4，
∴，
代入x1+x2和x1x2的值，可得：，
解得：k1＝﹣3，k2＝5，…………………………6
∵k≤3．
∴k＝﹣3，
经检验，k＝﹣3是原方程的根，
故k＝﹣3．…………………………7
21.（7分）解：设小路的宽应为xm， …………………………1
根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112， …………………………4
解得：x1＝1，x2＝16．
∵16＞9，
∴x＝16不符合题意，舍去，
∴x＝1． …………………………6
答：小路的宽应为1m． …………………………7
22．（8分）1）证明：∵OD∥BC，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC； …………………………3
（2）解：过O点作OH⊥BC于H，如图，则BH＝CH＝BC＝，
∵DE⊥AB，OH⊥BC，
∴∠DEO＝90°，∠OHB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠DOE＝∠OBH，
在△ODE和△BOH中，
，
∴△ODE≌△BOH（AAS），
∴DE＝OH＝2， …………………………6
在Rt△OBH中，OB＝＝＝，…………………………8
即⊙O的半径长为．
23．（10分）（1）该商品进价 20 （元/件），y关于x的函数解析式是 y＝﹣3x+300 ………2
解：（2）由（1）可得W＝（﹣3x+300）（x﹣20）
＝﹣3x2+360x﹣6000
＝﹣3（x﹣60）2+4800，…………………………5
∵﹣3＜0．
∴当x＝60时，W最大，最大值为4800，…………………………6
∴售价为60元时，周销售利润W最大，最大利润为4800元；
（3）由题意W′＝（﹣3x+300）（x﹣20﹣m）
＝﹣3x2+（360+3m）x﹣6000﹣300m，…………………………8
对称轴x＝60+，
∵当售价为63元/件时，周销售利润最大，
∴60+＝63，
解得：m＝6．
∴m的值为6． …………………………10
24．（10分）
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，
∵四边形CEFG是正方形，
∴CE＝CG，
∴BC﹣CE＝CD﹣CG，即BE＝DG；
故BE＝DG． …………………………3
（2）结论成立．∵BC＝DC，EC＝GC，∠BCD＝∠ECG，
∴∠BCE＝∠DCG．
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG； …………………………6
（3）连FC交EG于点M，
∵四边形CEFG是正方形，，
∴CM＝EM＝1且EG⊥FC．
由勾股定理，得，
∴BE＝BM﹣EM＝7﹣1＝6．
由（2）得DG＝BE＝6． …………………………10
25．（12分）
解：（1）∵对称轴为x＝2．
∴a＝﹣，
∵A（﹣1，0），
把A（﹣1，0）代入抛物线y＝﹣x2+x+c，
解得：c＝，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+；…………………………3
（2）∵对称轴为x＝2．A（﹣1，0），
∴B（5，0），
∵直线BC过C（0，），B（5，0）点，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+，
∵在第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，
∴AF∥BC，
设直线AF的解析式为y＝﹣x+﹣k，
把A（﹣1，0）代入得k＝，
∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣，
联立方程组得，
解得，（舍去），
∴点F的坐标为（6，﹣）； …………………………7
（3）如图，设对称轴交x轴于点T，作HM⊥x轴于M，作HN⊥对称轴于N，
∵点P是x轴上一点，
∴设P（m，0），
∵点B与点Q关于点P成中心对称，
∴BP＝QP＝5﹣m，
∴点Q坐标为（2m﹣5，0），
∴OQ＝QP+OP＝5﹣2m，
∴QT＝OQ+OT＝7﹣2m，
∴QM＝OQ﹣OM＝5﹣2m﹣（2﹣2m）＝3，
∵点E与点H关于点P成中心对称，顶点E（2，4），
∴H坐标为（2m﹣2，﹣4），N坐标为（2，﹣4），
根据勾股定理得：
QE2＝QT2+ET2＝4m2﹣28m+65，
HE2＝EN2+HN2＝4m2﹣16m+80，
QH2＝42+32＝25，
①当∠HQE＝90°时，QE2+QH2＝HE2，解得m＝，
∴P点坐标为（，0）．
②当∠QHE＝90°时，HE2+QH2＝QE2，解得m＝﹣，
∴P点坐标为（﹣，0）．
③∵QH＝QP＝5，
∴∠QHP＝∠QPH＞∠QEH，
∴∠QEH≠90°，
综上所得，当P点坐标为（，0）或（﹣，0）时，以点Q，H，E为顶点的三角形是直角三角形． …………………………12
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100