+辽宁省铁岭市铁岭县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份+辽宁省铁岭市铁岭县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.观察下列图形，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列调查中，适宜采用抽样调查的是( )
A. 调查某班学生的身高情况
B. 调查某批汽车的抗撞击能力
C. 调查亚运会 100 米游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况
D. 调查一架“歼 10”隐形战斗机各零部件的质量
3.关于二次函数y=−(x+1)2+3的图象，下列说法错误的是( )
A. 开口向下
B. 对称轴为直线x=−1
C. 当x<−1时，y随x的增大而增大
D. 当x=−1时，函数有最小值，最小值为y=3
4.用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程应变形为( )
A. (x+1)2=6B. (x+2)2=9C. (x−1)2=6D. (x−2)2=9
5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF，其中，E，F是点B，C旋转后的对应点，BE，CF相交于点D.若四边形ABDF为菱形，则∠CAE的大小是( )
A. 90°
B. 75°
C. 60°
D. 45°
6.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是18，则⊙O的半径是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ABD=54°，则∠C的度数为( )
A. 34°
B. 36°
C. 46°
D. 54°
8.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( )
A. 289(1−x)2=256B. 256(1−x)2=289
C. 289(1−2x)=256D. 256(1−2x)=289
9.现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形桌面(如图1)，餐桌两边AD和BC平行且相等，AB⊥AD(如图2)，小华用皮尺量得AC=1.2m，AB=0.6m，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加( )
A. (625π−9100 3)m2B. (625π−925 3)m2
C. (325π−950 3)m2D. (625π−950 3)m2
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：
①4ac−b2<0；②4a+c<2b；③3b+2c<0；④m(am+b)+b其中正确结论的个数是( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.一元二次方程x2+x=0的根是______．
12.经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是______ ．
13.已知二次函数y=kx2−6x−9的图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围______．
14.如图，点B在反比例函数y=8x(x>0)的图象上，点C在反比例函数y=−2x(x>0)的图象上，且BC//y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A.则△ABC的面积为______ ．
15.如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧AB上的一动点(不与A，B重合)，点F是弧BC上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，连接GH，AE，BF，若∠EOF=90°，则以下结论：①AE=BF；②△OGH是等腰直角三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+2 2，其中正确的有______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解下列方程：
(1)x2−2x−1=0；
(2)(x−2)2=3x−6．
17.(本小题8分)
为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组(依次记为A，B，C，D).小雨和莉莉两名同学参加比赛，其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．
(1)小雨抽到A组题目的概率是______；
(2)请用列表法或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率．
18.(本小题8分)
方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
(1)画出△ABC绕B点顺时针旋转90°后的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2．
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a<0)与反比例函数y=kx(k≠0)交于A(−m,3m)，B(4,−3)两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)请根据图象直接写出不等式kx20.(本小题9分)
网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝.已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数解析式．
(2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？
21.(本小题8分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点E作EF/​/AB，交CA的延长线于点F．
(1)求证：EF与⊙O相切；
(2)若∠CAB=30°，AB=8，过点E作EG⊥AC于点M，交⊙O于点G，交AB于点N，求AG的长．
22.(本小题12分)
【发现问题】
如图，某公园在一个扇形OEF草坪上的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子OA，在A处安装一个自动喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状．
【提出问题】
喷出的水距地面的高度y米与喷出的水与池中心的水平距离x米之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小腾测出连喷头在内柱高109m，喷出的水流在与O点的水平距离4米处达到最高点B，点B距离地面2米.于是小腾以OA所在直线为y轴，垂直于OA的地平线为x轴，点O为坐标原点建立如图1所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点A，点B的坐标，从而得到y与x函数关系式．
【解决问题】
(1)如图1，在建立的平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,109)，水流的最高点B的坐标为(4,2)，求抛物线水流对应的函数关系式；
(2)当喷头旋转120°时，这个草坪刚好被水覆盖，求喷水装置能喷灌的草坪的面积(结果用含π的式子表示)；
(3)在扇形OEF的一块三角形区域地块△OEF中，现要建造一个矩形GHMN花坛，如图2的设计方案是使H、G分别在OF、OE上，MN在EF上.设MN=2x米，当x为多少米时，矩形GHMN花坛的面积最大？最大面积是多少平方米？
23.(本小题12分)
△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点(不与点B，C重合)，连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段EF，连接BF，交DE点M．
【特例感知】
(1)如图①，当点E为BC中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；
【类比迁移】
(2)如图②，当点E在线段BC延长线上时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
【方法运用】
(3)当BC=6，CE=2时，请直接写出AM的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】B
【解析】解：A、调查某班学生的身高情况适合采用全面调查，故此选项不符合题意；
B、调查某批汽车的抗撞击能力适宜采用抽样调查，故此选项符合题意；
C、调查亚运会 100 米游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况适合采用全面调查，故此选项不符合题意；
D、调查一架“歼 10”隐形战斗机各零部件的质量适合采用全面调查，故此选项不符合题意；
故选B．
根据全面调查与抽样调查的特点判断即可．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=−(x+1)2+3，
∴a=−1<0，函数的图象开口向下，故选项A正确，不符合题意；
对称轴是直线x=−1，故选项B正确，不符合题意；
当x<−1时，y随x的增大而增大，故选项C正确，不符合题意；
当x=−1时，函数有最大值y=3，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的图象、性质、最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4.【答案】C
【解析】解：由原方程移项，得
x2−2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数−2的一半的平方1，得
x2−2x+1=6
∴(x−1)2=6．
故选：C．
配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5.【答案】C
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF，
∴∠EAF=∠AEB=40°，AB=AE，
∵四边形ABDF为菱形，
∴AF/​/BE，
∴∠FAE=∠AEB=40°，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=40°，
∴∠BAE=180°−40°−40°=100°，
∴∠CAE=60°，
故选：C．
由旋转的性质可得∠EAF=∠AEB=40°，AB=AE，由菱形的性质可求∠FAE=∠AEB=40°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BAE的度数，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，求出∠AEB的度数是本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：连接OB，OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC，
∵正六边形的周长是18，
∴BC=3，
∴⊙O的半径是3．
故选：B．
连接OB，OC，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论．
本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：连接AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=90°−∠ABD=90°−54°=36°，
∴∠C=∠A=36°．
故选：B．
连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠C=∠A，然后利用互余计算出∠A，从而得到∠C的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8.【答案】A
【解析】【分析】
设平均每次降价的百分率为x，则经过两次降价后的价格是289(1−x)2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289(1−x)2=256．
此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
【解答】
解：由平均每次降价的百分率为x，
则第一次降价后售价为289(1−x)，
第二次降价后售价为289(1−x)2，
由题意得：289(1−x)2=256．
故选：A．
9.【答案】D
【解析】解：将圆形补全，设圆心为O，连接DO，过点O作OE⊥AD于点E，
由题意可得出：∠DAB=∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∵AC=1.2m，AB=0.6m，
∴∠ACB=30°，
∵餐桌两边AB和CD平行且相等，
∴∠ACB=∠DAC=30°，
∴EO=12AO=0.3，
∴AE= AO2−OE2=3 310，
∴AD=2AE=3 35，
∵∠CAD=∠D=30°，
∴∠AOD=120°，
∴S弓形AD=S扇形AOD−S△AOD
=120π×0.6×0.6360−12×3 35×0.3，
=325π−9 3100，
∴桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加(625π−9 350)平方米．
故选：D．
首先将圆形补全，设圆心为O，连接DO，过点O作OE⊥AD于点E，进而得出AD，EO的长以及∠CAD，∠AOD的度数，进而得出S弓形AD=S扇形AOD−S△AOD求出即可．
此题主要考查了垂径定理，平行线的性质，勾股定理，扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握弓形的面积求法是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴4ac−b2<0，∴①正确；
∵对称轴是直线x=−1，和x轴的一个交点在点(0,0)和点(1,0)之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，
∴把(−2,0)代入抛物线得：y=4a−2b+c>0，
∴4a+c>2b，∴②错误；
∵把x=1代入抛物线得：y=a+b+c<0，
∴2a+2b+2c<0，
∵−b2a=−1，
∴b=2a，
∴3b+2c<0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=−1，
∴y=a−b+c的值最大，
即把x=m(m≠−1)代入得：y=am2+bm+c∴am2+bm+b即m(am+b)+b即正确的有3个，
故选：B．
利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法，同时注意特殊点的运用．
11.【答案】x1=0，x2=−1
【解析】解：x2+x=0，
x(x+1)=0，
x=0，x+1=0，
x1=0，x2=−1，
故答案为：x1=0，x2=−1．
提公因式得到x(x+1)=0，推出x=0，x+1=0，求出方程的解即可．
本题主要考查对解一元一次方程，解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．
12.【答案】29
【解析】解：画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：
∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，两辆汽车一辆左转，一辆右转的结果有2种，且所有结果的可能性相等，
∴P(两辆汽车一辆左转，一辆右转)=29．
故答案为：29．
此题可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，两辆汽车一辆左转，一辆右转的有2种情况，根据概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解．
13.【答案】k>−1且k≠0
【解析】解：令y=0，则kx2−6x−9=0．
∵二次函数y=kx2−6x−9的图象与x轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程kx2−6x−9=0有两个不相等的解，
∴k≠0△=(−6)2−4k×(−9)>0，
解得：k>−1且k≠0．
故答案是：k>−1且k≠0．
由抛物线与x轴有两个不同的交点可得出一元二次方程kx2−6x−9=0有两个不相等的解，由二次项系数非零及根的判别式△>0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题拷出来抛物线与x轴的交点，牢记“△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：过点B作BD⊥y轴于点D，
∵BC/​/y轴，AC⊥BC，
∴∠ACB=∠CBD=∠BDA=90°，
∴四边形ACBD为矩形，
设BC与x轴的交点为E，则四边形ACEO和四边形OEBD均为矩形，
∵点B在反比例函数y=8x(x>0)的图象上，点C在反比例函数y=−2x(x>0)的图象上，
∴矩形ACBD的面积=S矩形OEBD+S矩形ACEO=2+8=10，
∵AB为矩形ACBD的对角线，
∴△ABC的面积等于矩形ACBD的面积的一半，即：△ABC的面积等于5；
故答案为：5．
过点B作BD⊥y轴于点D，则四边形ACBD为矩形，根据反比例函数k值的几何意义，得到矩形ACBD的面积等于|k1|+|k2|，再根据△ABC的面积是矩形面积的一半即可得解．
本题考查利用k值的几何意义，求图形的面积．熟练掌握反比例函数k值的几何意义，是解题的关键．
15.【答案】①②④
【解析】解：①如图所示，连接OC，OB，CF，BE，
∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE与△COF中，
OB=OC∠BOE=∠COFOE=OF，
∴△BOE≌△COF(SAS)，
∴BE=CF，
∴BE=CF，
∴AE=BF，
∴AE=BF，
∴AE=BF，①正确；
②∵∠COH=∠BOG，OC=OB，∠OCH=∠OBG=45°，
∴△BOG≌△COH(ASA)；
∴OG=OH，
∵∠GOH=90°，
∴△OGH是等腰直角三角形，②正确；
③如图所示，过点O作OM⊥BC于M，ON⊥AB于N，
∵△HOM≌△GON，
∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，③错误；
④∵△BOG≌△COH，
∴BG=CH，
∴BG+BH=BC=4，
设BG=x，则BH=4−x，
则GH= BG2+BH2= x2+(4−x)2，
∴△GBH周长的最小值为4+2 2，④正确．
故答案为：①②④．
①根据SAS可证△BOE≌△COF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，根据等弦对等弧得到AE=BF，可以判断①；
②根据ASA可证△BOG≌△COH，根据全等三角形的性质得到∠GOH=90°，OG=OH，根据等腰直角三角形的判定得到△OGH是等腰直角三角形，可以判断②；
③通过证明△HOM≌△GON，可得四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，可以判断③；
④根据△BOG≌△COH可知BG=CH，则BG+BH=BC=4，设BG=x，则BH=4−x，根据勾股定理得到GH的长，可以求得其最小值，可以判断④．
本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，圆的有关概念和性质等知识，解决问题的关键是转化有关条件，熟练运用相关定理和方法．
16.【答案】解：(1)x2−2x−1=0，
x2−2x=1，
x2−2x+1=1+1，
(x−1)2=2，
x−1=± 2，
x1=1+ 2，x2=1− 2；
(2)(x−2)2=3x−6．
(x−2)2=3(x−2)，
(x−2)2−3(x−2)=0，
(x−2)(x−2−3)=0，
x−2=0，x−2−3=0，
x1=2，x2=5．
【解析】(1)移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键．
17.【答案】14
【解析】解：(1)小雨抽到A组题目的概率是14，
故答案为：14；
(2)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果有4种，
∴小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率为416=14．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，其中A1的坐标为(3,−1)；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．
【解析】(1)分别作出点A、C绕B点顺时针旋转90°后所得对应点，再首尾顺次连接即可；
(2)分别作出点A、B、C关于原点O的对称点，再首尾顺次连接即可．
本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
19.【答案】解：(1)∵点B(4,−3)在反比例函数y=kx的图象上，
∴−3=k4．
∴k=−12．
∴反比例函数的表达式为y=−12x．
∵A(−m,3m)在反比例函数y=−12x的图象上，
∴3m=−12−m．
∴m1=2，m2=−2 (舍去)．
∴点A的坐标为(−2,6)．
∵点A，B在一次函数y=ax+b的图象上，把点A(−2,6)，B(4,−3)分别代入，得−2a+b=64a+b=−3，
∴a=−32b=3．
∴一次函数的表达式为y=−32x+3．
(2)∵点C为直线AB与y轴的交点，
∴OC=3．
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC
=12⋅OC⋅|xA|+12⋅OC⋅|xB|
=12×3×2+12×3×4
=9．
(3)由题意得，x<−2或0【解析】(1)根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
(2)根据三角形面积的和差，可得答案；
(3)根据函数图象可得，一次函数图象在反比例函数图象上方的自变量的取值范围，即可得解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式．
20.【答案】解：(1)设每日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间满足如图所示的一次函数关系为y=kx+b，
∴8k+b=220014k+b=1600，
解得k=−100b=3000，
∴y与x的函数解析式为y=−100x+3000；
(2)设每千克荔枝的销售价格定为x元时，销售这种荔枝日获利为w元，
根据题意得，w=(x−6−2)(−100x+3000)=−100x2+3800x−24000=−100(x−19)2+12000，
∵a=−100<0，对称轴为x=19，
∴当x=19时，w有最大值为12000元，
∴当销售单价定为18时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元．
【解析】(1)由日获利=(销售单价−成本)×日销售量，可求解；
(2)由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，求出函数关系式是本题的关键．
21.【答案】(1)证明：连接OE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE平分∠ACB交⊙O于点E，
∴∠ACE=12∠ACB=45°，
∴∠AOE=2∠ACE=90°，
∴OE⊥AB，
∵EF//AB，
∴OE⊥FE．
∵OE为⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；
(2)解：连接OG，OC，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠B=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠AOC=120°．
∵∠ACE=45°，EG⊥AC，
∴∠MEC=45°，
∴∠GOC=2∠MEC=90°，
∴∠AOG=∠AOC−∠GOC=30°，
∵AB=8，AB是⊙O的直径，
∴OA=OG=4，
∴AG的长=30π×4180=2π3．
【解析】(1)连接OE，利用直径所对的圆周角为直角，角平分线的定义，圆周角定理，垂直的定义，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
(2)连接OG，OC，利用同圆的半径相等，等边三角形的判定与性质，圆周角定理求得∠AOG的度数，再利用圆的弧长公式计算即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，垂直的定义，平行线的性质，圆的切线的判定定理，圆的弧长公式，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
22.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x−h)2+k，
∵水流的最高点B的坐标为(4,2)，
∴y=a(x−4)2+2，代入A点，
得109=a(0−4)2+2，
解得：a=−118，
y=−118(x−4)2+2=−118x2+49x+109(x>0)；
(2)令y=0，则x=10，
喷水装置能喷灌的草坪的面积=120°π×102360∘=100π3(平方米)；
(3)由矩形GHMN可得，GH=MN=2x，NG=MH，∠MNG=∠NMH=90°，
，
过O作OP⊥EF，交EF于点P，
∵∠EOF=120°，OE=OF，
∴∠FEO=∠EFO=30°，
∵OE=10(m)，
∴OP=OE⋅sin∠PEO=5(m)，EP=OE⋅cs∠PEO=5 3(m)，
同理可得，FP=5 3(m)，
∵∠ENG=180°−∠MNG=90°=∠EPO，∠PEO=∠NEG，
∴△PEO∽△NEG，
∴NGPO=ENEP，
同理可得，MHPO=FMFP，
∵NP=EP−EN，MP=FP=FM，
∴PM=PN，
∵MN=2x(m)，
∴PM=PN=x(m)，NG=MH=(5− 33x)(m)，
矩形GHMN花坛的面积=2x×(5− 33x)=(−2 33x2+10x)(m2)，
∴x=−102×(−2 33)=5 32时，矩形GHMN花坛的面积最大为25 32平方米．
【解析】(1)设抛物线顶点式，代入A、B两点，可得；
(2)令y=0，求得x，即为草坪半径，用扇形面积公式可得；
(3)已知MN=2x，借助辅助线和相似三角形对应边成比例，表示出NG，求得矩形GHMN花坛的面积表示，可得当x为多少米时，矩形GHMN花坛的面积最大，最大面积是多少平方米．
本题考查了扇形面积、二次函数，关键是掌握扇形面积公式．
23.【答案】(1)解：∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，
∴∠BAC=60°，∠BAE=12∠BAC，
∴∠BAE=30°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠DAE−∠BAE=60°−30°=30°，
∴∠DAE=∠BAE，
∴DM=EM；
(2)(1)中的结论成立，理由：
证明：如图1，

连接BD，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠DAE=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE=180°−∠ACB=120°，BD=CE，
∴∠DBE=∠ABD−∠ABC=120°−60°=60°，
∴∠DBE+∠BEF=60°+120°=180°，
∴BD//EF，
∵CE=EF，
∴BD=EF，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴DM=EM；
(3)解：如图2，

当点E在BC的延长线上时，
作AG⊥BC于G，
∵∠ACB=60°，
∴CG=AC⋅cs60°=12AC=3，
AG=AC⋅sin60°= 32AC=3 3，
∴EG=CG+CE=3+2=5，
∴AE= AG2+EG2=2 13，
由(2)知：DM=EM，
∴AM⊥DE，
∴∠AME=90°，
∵∠AED=60°，
∴AM=AE⋅sin60°=2 13× 32= 39，
如图3，

当点E在BC上时，
作AG⊥BC于G，
由上知：AG=3 3，CG=3，
∴EG=CG−CE=3−2=1，
∴AE= AG2+EG2=2 7，
∴AM=2 7× 32= 21，
综上所述：AM= 39或 21．
【解析】(1)可证得∠BAD=∠BAE=30°，进一步得出结果；
(2)连接BD，可证明△BAD≌△CAE，从而∠ABD=∠ACE=120°，BD=CE，进而得出∠DBE=60°，从而得出∠DBE+∠BEF=60°+120°=180°，从而BD/​/EF，结合BD=EF得出四边形BDFE是平行四边形，从而得出DM=EM；
(3)分为两种情形：当点E在BC的延长线上时，作AG⊥BC于G，可得出CG和AG，从而EG=CG+CE=3+2=5，进而得出AE，进一步得出结果；当点E在BC上时，作AG⊥BC于G，可得出EG=1，即可求解．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”等模型．