2024届新高考数学模拟练习（新高考地区适用）

这是一份2024届新高考数学模拟练习（新高考地区适用），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.集合的容量是指集合中元素的和．已知集合 A=-1,0,2 ，B=zz=x+y , x∈A , y∈A} ，则 B 的容量为
A．1B．2C．3D．4
2.已知复数 z 满足 z-2i=z-2 ，则 z+2 的最小值为
A．2B．1C．2D．22
3.1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为
A．240B．480C．384D．1440
4.对中国文人来说，折扇既是一种身份的象征，又寄寓着个人的文化趣味．如1的折扇其平面图如扇形 AOB ，其中 ∠AOB=120° ，OA=2OC=2 ，点 E 在 CD 上，则 EA·EB 的最小值是
A．4B．3
C．-3D．-4
5.已知函数 fx=sinωx+φ ω>0 , 0<φ<π ，记方程 fx=f0 的两个最小正实数解为 x1 ，x2 ，满足 3x1=2x2 ，则 φ 的值为
A．16πB．13πC．23πD．23π
6.已知焦点分别在 x 轴，y 轴上的两个椭圆 C1 ，C2 ，且椭圆 C2 经过椭圆 C1 的两个顶点与两个焦点，设椭圆 C1 ，C2 的离心率分别是 e1 ，e2 ，则
A．e12<12 且 e12+e22<1 B．e12<12 且 e12+e22>1
A．e12>12 且 e12+e22<1C．e12>12 且 e12+e22>1
7.函数 fx=x+alnx 满足对任意构成三角形三边长的 m,n,p ，fm,fn,fp 也构成三角形的三边长，则实数 a 的取值范围是
A．-1,+∞B．0,+∞C．1,+∞D．e,+∞
8.如图，将圆柱 O1O2 的下底面圆 O1 置于球 O 的一个水平截面内，恰好使得 O1 与水平截面圆的圆心重合，圆柱 O1O2 的上底面圆的圆周始终与球 O 的内壁相接（球心 O 在圆柱 O1O2 内部），已知球 O 的半径为3，O1O2=32 ，则圆柱 O1O2 体积的最大值为
A．24πB．814πC．20πD．816π
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9.已知复数 z0=1-i 和 z ，则下列命题是真命题的有
A．若 z 满足 z-z0=z0+z0 ，则其在复平面内对应点的轨迹是圆
B．若 z 满足 z-z0+z-z0=3 ，则其在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．若 z 满足 z-z0-z-z0=2 ，则其在复平面内对应点的轨迹是双曲线
D．若 z 满足 z+z0+z0=z-z0 ，则其在复平面内对应点的轨迹是抛物线
10.已知一长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体
A．一定不是正方体B．外接球的表面积为 6π
C．长、宽、高的值均属于区间 1,2D．体积的取值范围为 32,2
11.已知数列 an 满足 a1=1 ，an+12-3anan+1+2an2=0 ，则其6项之和可能是
A．6B．22C．33D．60
12.设定义在 R 上的函数 fx 的导函数为 f'x ，若 fx+1 与 fx+2 均为偶函数，则下列命题是真命题的有
A．fx 的图像关于直线 x=1 对称B．fx 是周期函数，其一个周期为2
C．f'x 的图像关于点 2,0 中心对称D．f'x 的图像关于 y 轴对称
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.函数 fx=3sinxcsx+cs2x 的最小正周期是____*____．
14.已知 x , y , z∈N* ，且 x+y+z=10 ，记随机变量 ξ 为 x , y , z 中的最大值，则 E12ξ 的值为____*____．
15.已知点 M ，N 分别在曲线 x=y2 和 x2+y-t2=1 t>0 上，若 MN 的最小值为 5-1 ，则 t 的值为____*____．
16.如图，“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱"垂直贯穿"构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点），若某“十字贯穿体”由两个底面边长为 2 ，高为 32 的正四棱柱构成，如图所示，则该"十字贯穿体"的体积为____*____．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（10分）2019年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于 20,45 岁的人中随机地抽取200人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图的各年龄段人数的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估计这200人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；
（2）已知年龄段在 25,30 的“环保族”有25人，年龄段在 30,35 的“环保族”有20人，现从年龄段在 25,35 的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在 30,35 中的概率．
18.（12分）如图，已知四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD ，AB⊥AD ，AD//BC ，PA=AB=AD=2BC=2 ，E 为 PD 中点．
（1）求证：CE//平面；
（2）求直线 CE 与平面 PAC 所夹角的正弦值．
19.（12分）已知数列 an 的首项 a1=1 ，且其前 n 项和 Sn 满足 2Sn=n+1an-2 n≥2 ．
（1）求 a2024 ；
（2）求数列 4anan+1 的前 n 项和 Tn．
20.（12分）在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ，b ，c ，记其面积为 S ，有
tanBtanA-2ca=1 ．
（1）求 B ；
（2）若 a=3 ，b=37 ，求 S ．
21.（12分）已知顶点为原点的抛物线 C 开口向上，且准线过点 1,-18 ．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）若倾斜角为 45° 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，抛物线 C 上的点 M ，N 关于 l 对称，证明：点 A ，B ，M ，N 在同一个圆上．
22.（12分）已知函数 fx=ax-x+2lnx+1 , a∈R ．
（1）若 fx 的零点也是其的极值点，求 a ；
（2）若 fx 的图像经过四个象限，求 a 的取值范围．
2024届新高考模拟练习数学参考答案
一、单项选择题
二、多项选择题
三、填空题
四、解答题
17.（1）由频率分布直方图可知，这200人年龄的平均值为
22.5×0.06+27.5×0.04+32.5×0.04+37.5×0.03+42.5×0.03×5≈31（岁）
故这200人年龄的平均值为31岁．
（2）由题意可知，从年龄段在25,35的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，这9人中，年龄段在 25,30 的人数为 9×2525+20=5 人，分别记为a、b、c、d、e，
年龄段在 30,35 的人数为 9×2025+20=4 人，分别记为A、B、C、D．
在这9人中选取2人作为记录员，所有的基本事件有：ab、ac、ad、ae、aA、aB、aC、aD、bc、bd、be、bA、bB、bC、bD、cd、Ce、CA、cB、cC、cD、de、dA、dB、dC、dD、eA、eB、eC、eD、AB、AC、AD、BC、BD、CD，共36种，
其中，事件“选取的2名记录员中至少有一人年龄在 30,35 中”所包含的基本事件有：aA、aB、aC、aD、bA、bB、bC、bD、cA、cB、cC、cD、dA、dB、dC、dD、eA、eB、eC、eD、AB、AC、AD、BC、BD、CD，共26种，
因此，所求概率为
P=2636=1318
故选取的2名记录员中至少有一人年龄在 30,35 中的概率为 1318 ．
18．（1）如答图，取 PA 中点 F ，连接 EF ，BF ，
因为 F ，E 分别为 PA ，PD 的中点，所以 EF//AD ，EF=12AD ．
因为 AD//BC ，AD=2BC ，所以 FE//BC ，EF=BC ，
所以四边形 EFBC 为平行四边形，BF//CE ，
因为 BF⊂平面 PAB ，CE⊄平面 PAB ，所以 CE//平面 PAB ．
（2）过点 B 作 BH⊥AC 于点 H ，连接 FH ．
因为 BF//CE ，所以直线 CE 与平面 PAC 所成角和直线 BF 与平面 PAC 所成角相等，
因为 PA⊥平面 ABCD ，BH⊂平面 ABCD ，所以 BH⊥PA ，
因为 PA∩AC=A ，PA , AC⊂平面 PAC ，所以 BH⊥平面 PAC ，
所以 ∠BFH 为直线 BF 与平面 PAC 所夹角，
BF=22+12=5 ，AC=22+12=5 ，BH=1×25=255 ，所以
sin∠BFH=BHBF=2555=25
故直线 CE 与平面 PAC 所夹角的正弦值为 25 ．
19.（1）构造数列 bn ：b1=2 ，bn=an n≥2 ，记其前 n 项和为 Pn ，则 Pn=Sn+1 ，又 2Sn=n+1an-2 n≥2 ，
所以 2Pn=2Sn+1=n+1an-2+2=n+1bn ，2Pn+1=2Pn+2bn+1=n+1bn+2bn+1=n+2bn+1 ，化简得 n+1bn=nbn+1 ，即
bnn=bn+1n+1
同理，可得
b11=b22 ，b22=b33 ，…，bnn=bn+1n+1
所以 bn=nk （k 为常数），又 b1=2=2×1 ，所以 k=2 ，即 bn=2n ．
故 an=1 ，n=12n ，n≥2 ，所以 a2024=2×2024=4048 ．
（2）当 k≥2 时，
4akak+1=42k·2k+1=1kk+1=1k-1k+1
所以
Tn=14+12-13+13-14+…+1n-1n+1=34-1n+1
故 Tn=34-1n+1 ．
20.（1）由题意，
tanBtanA=2ca-1
即
sinBcsAcsBsinA+1=2ca
又
sinBcsA+csBsinAcsBsinA=sinA+BcsBsinA=sinπ-CcsBsinA=sinCcsBsinA
由正弦定理
2ca=2sinCsinA
所以
sinCcsBsinA=2sinCsinA
化简得 csB=12 ，由 B∈0,π ，所以 B=π3 ．
（2）在 △ABC 中，由（1）得 B=π3 ，由题意 a=3 ，b=37 ，由余弦定理，有
63=c2+9-6ccsπ3=c2-3c+9
解得 c1=-6（舍去），c2=9 ，所以
S=12acsinB=12×3×9×sinπ3=2734
故 S 为 2734 ．
21.（1）设 C 的方程为 x2=2py ，由题意，其准线方程为 y=-p2=-18 ，所以 p=14 ，该抛物线 C 的方程为 x2=12y ．
（2）设直线l的方程为y=x+m，Ax1,y1，Bx2,y2，Px3,y3，Qx4,y4，
将y=x+m代入 y=2x2 ，得2x2-x-m=0，
则Δ=1+8m>0，x1+x2=12，x1x2=-m2．
连接PQ，由点P，Q关于直线l对称，得PQ⊥l，
所以
kPQ=y4-y3x4-x3=2x42-2x32x4-x3=2x3+x4=-1
得x3+x4=-12，即 x4=-12-x3．
因为线段PQ的中点在直线y=x+m上，所以y3+y42=x3+x42+m，得2x3+2x42=x3+x42+m，即x3+x42-2x3x4=x3+x42+m，故x3x4=14-m2，
把x4=-12-x3代入上式，得x3-12-x3=14-m2，即x32+12x3-m2+14=0，
连接PA，PB，所以
PA⋅PB =x1-x3x2-x3+y1-y3y2-y3
=x1-x3x2-x3+2x12-2x322x22-2x32
=x1-x3x2-x31+4x1+x3x2+x3
=4x1-x3x2-x3x32+x1+x2x3+x1x2+14
=4x1-x3x2-x3x32+12x3-m2+14=0，
故PA⊥PB，故点 P 在以AB为直径的圆上．同理，点Q在以AB为直径的圆上，即A，B，P，Q四点共圆．证毕．
22.（1）fx=ax-x+2lnx+1 ，x∈-1,+∞ ，观察得 f0=0 ，即 x=0 为其零点，
f'x=a-1-1x+1-lnx+1
所以 f'0=a-2=0 ，即 a=2 ．故 a 的值为2．
（2）由（1）得 y=fx 必经过原点，若需使 y=fx 经过四个象限，则 fx 需在区间 -1,0 和 0,+∞ 上均至少存在一个零点，
令 fx=ax-x+2lnx+1=0 ⟹a=x+2lnx+1x x≠0 在 -1,0 和 0,+∞ 上均有根．
设函数 gx=x+2lnx+1x ，g'x=x2+2x-2x+1lnx+1x+1x2 ，
令 hx=x2+2x-2x+1lnx+1 ，h'x=2x-lnx+1 ，
令 φx=x-lnx+1 ，φ'x=xx+1 ，当 x∈-1,0 时，φ'x<0 ，φx 单调递减；当 x∈0,+∞ 时，φ'x>0 ，φx 单调递增．所以 x=0 是 φx 的极小值点，φxmin=φ0=0 ．
所以 φx≥0 恒成立，即 h'x≥0 ，故 hx 单调递增．又 h0=0 ，所以当 x∈-1,0时，hxh'0=0 ，即 g'x>0 ，所以 gx 单调递增．
又当 x→0 时，gx→2 ，所以要使得 gx=a 在 -1,0 和 0,+∞ 上均有根，a 需满足 a∈2,+∞ ．
综上所述，若 fx 的图像经过四个象限，则 a∈2,+∞ ．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
C
D
A
B
B
题号
9
10
11
12
答案
AD
ABD
AC
ABC
题号
13
14
15
16
答案
π
68
3
5623