2023-2024学年河南省漯河实验中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省漯河实验中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在杭州亚运会上，中国代表团以201金111银71铜的成绩高居奖牌榜首位，金牌数和奖牌总数均遥遥领先于其他代表团.下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.在△ABC中，∠A的相邻外角是80°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为( )
A. 80°B. 40°C. 100°D. 100°或40°
3.一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是( )
A. 1080°B. 540°C. 2700°D. 2160°
4.如图所示，AD是△ABC的中线，AB=12，AC=10，△ABD的周长和△ACD的周长差为( )
A. 6
B. 3
C. 2
D. 不确定
5.下列运算正确的是( )
A. x3+x3=2x6B. (x2)4=x6C. x2⋅x4=x6D. (−2x)3=−6x3
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥AB于E，若AC=8，则AD+DE等于( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
7.如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为6，面积为24，则OE+OF的值为( )
A. 4
B. 245
C. 15
D. 8
8.△ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于( )
A. 67.5°或45°B. 22.5°或45°C. 36°或72°D. 67.5°或22.5°
9.如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足( )
A. PA=PCB. PA=PE
C. ∠APE=90°D. ∠APC=∠DPE
10.如图，△DAC，△ECB均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，且AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，连结MN.则下列结论：
①△ACE≌△DCB；
②△CMN为等边三角形；
③OC平分∠AOB；
④MN//BC；
⑤CO平分∠DCE．
其中正确的有( )
A. ①②③B. ②③④C. ③④⑤D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知△ABC的三边是a，b，c，化简|a+b−c|−|b−c−a|+|c−b+2a|= ______ ．
12.图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ______ °.
13.已知3m=a，3n=b.m，n为正整数，则33m+2n= ______ (用含a，b的式子表示)．
14.如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动_____________________秒时，△DEB与△BCA全等．
15.如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，E为BC中点，AD为△ABC的角平分线，△ABC的面积记为S1，△ADE的面积记为S2，则S1S2= ______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)a3⋅a5+(a2)4+(−2a4)2−10a10÷5a2．
(2)3x−[2x(x+2y)−(x+2y)(2x−y)]+2y2．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D，点E分别在BC，AB上，连接AD，DE，且AD=CD，AC/​/ED，
(1)尺规完成以下基本作图：作∠ADC的角平分线，交AC于点F，交BA延长线于点G(保留作图痕迹，不写作法，不写结论)；

(2)在(1)问的条件下，连接CG，求证：∠AED=∠GCA．
请将下列证明过程补充完整．
证明：∵DG平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF(______ ).
∵AD=CD，∠ADF=∠CDF，
∴ ______ ，DF⊥AC(等腰三角形三线合一)，
∴直线DF是AC的垂直平分线，
∴ ______ (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)，
∴∠GAC=∠GCA(等边对等角)．
∵AC/​/ED，
∴ ______ (两直线平行，同位角相等)，
∴∠AED=∠GCA(等量代换)．
18.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC=ED，求证：CE=DB．
19.(本小题9分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−4,−2)，B(−1,−1)，C(−1,−4)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
(2)在x轴上作出一点P，使PA+PB的值最小，求出该最小值．(保留作图痕迹)
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E.(1)求证：△ABD是等腰三角形；
(2)若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．
(1)求证：DF是线段AB的垂直平分线；
(2)当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．
22.(本小题13分)
图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE，FD=FE．

(1)如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P.AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由．
(2)如图3，在(1)的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ=6，AC=9，△ABC的面积是60，求AB的长．
23.(本小题13分)
如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠BAC+∠DAE=180°．
(1)如图1，当点C在AD上时，∠BAC=90°，连接CE，若∠ABC=30°，求∠CED的度数；
(2)如图2，若∠BAC≠90°，连接BE、CD，F为BE中点，连接AF，求证：AF=12CD．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项A能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2.【答案】B
【解析】解：∵∠A的相邻外角是80°，
∴∠A=180°−80°=100°，
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B=12(180°−100°)=40°．
故选：B．
根据内角与相邻的外角的和等于180°求出∠A，再根据等腰三角形两底角相等解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，根据求出的∠A是钝角可知∠B是底角是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：多边形的边数是：360°÷45°=8，
则多边形的内角和是：(8−2)×180°=1080°．
故答案为：A．
本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．
4.【答案】C
【解析】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∵AB=12，AC=10，
∴(AB+BD+AD)−(AC+CD+AD)
=AB−AC
=12−10
=2，
∴△ABD的周长和△ACD的周长差为2，
故选：C．
根据三角形的中线的定义得到BD=DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
5.【答案】C
【解析】解：A.原式=2x3，选项错误，不符合题意；
B.原式=x8，选项错误，不符合题意；
C.原式=x2+4=x6，选项正确，符合题意；
D.原式=−8x3，选项错误，不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方法则进行判断便可．
本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，关键是熟记合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方法则．
6.【答案】B
【解析】解：连接BD．
∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴△BCD与△BED均是直角三角形．
在Rt△BCD与Rt△BED中，
BE=BCBD=BD，
∴△BCD≌△BED(HL)，
∴CD=DE，
∴AD+DE=AD+CD=AC=8．
故选：B．
连接BD，先根据HL定理得出△BCD≌△BED，故可得出DE=DC，由此可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，熟知根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：连接AO，如图，
∵AB=AC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴S△ABC=S△ABO+S△AOC=12AB⋅OE+12AC⋅OF=12AB(OE+OF)，
∵△ABC的面积为24，
∴12AB(OE+OF)=24，
∵AB=6，
∴OE+OF=8．
故选：D．
连接AO，根据三角形的面积公式即可得到12AB⋅OE+12AC⋅OF=24，根据等腰三角形的性质进而求得OE+OF的值．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：①如图所示，CD在△ABC内部，
∵AB=AC，CD为AB上的高，
∴∠B=∠ACB，∠CDB=90°，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
∴∠B=∠ACB=12(180°−45°)=67.5°，
∴∠BCD=∠ACB−ACD=67.5°−45°=22.5°；
②如图所示，CD在△ABC外部，
∵AB=AC，CD为AB上的高，
∴∠B=∠ACB，∠CDB=90°，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
∴∠B=∠ACB=12×45°=22.5°，
∴∠BCD=∠ACB+ACD=22.5°+45°=67.5°；
所以∠BCD等于22.5°或67.5°．
故选：D．
根据题意，应该考虑两种情况，①CD在△ABC内部；②CD在△ABC外部．分别结合已知条件进行计算即可．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角的计算．注意分类讨论．此类题一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查轴对称最短问题、对顶角的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
作点E关于直线BC的对称点F，连接AF交BC于P，此时PA+PE的值最小，依据轴对称的性质即可得到∠APC=∠DPE．
【解答】
解：如图，作点E关于直线BC的对称点F，连接AF交BC于P，此时PA+PE的值最小．
由对称性可知：∠EPD=∠FPD，
∵∠CPA=∠FPD，
∴∠APC=∠DPE，
∴DP+PB最小时，点P应该满足∠APC=∠DPE，
故选D．
10.【答案】D
【解析】解：∵△DAC，△ECB均是等边三角形，
∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，①正确；
∴∠CAM=∠CDN，
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCN=60°=∠ACM，
∴△ACM≌△DCN(ASA)，
∴CM=CN，
∴△CMN为等边三角形，②正确；
∴∠MNC=60°=∠ECB，
∴MN/​/BC，故④正确；
过点C分别作OA，OB的垂线CP，CQ，
∴∠APC=∠DQC=90°，
∵AC=DC，∠PCA=∠QDC，
∴△ACP≌△DCQ(AAS)，
∴OC平分∠AOB，故③正确；
连接OC，
在Rt△OCQ和Rt△OCP中，
CP=CQCO=CO，
∴Rt△OCQ≌Rt△OC(HL)，
∴∠OCQ=∠OCP，
∵∠OCP−∠MCO不一定等于∠OCQ−∠PCN．
∴CO不一定平分∠DCE.故⑤错误．
故选D．
根据△DAC，△ECB均是等边三角形可得△ACE≌△DCB，进而可得△ACM≌△DCN，即可判定△CMN是等边三角形，进而得出MN/​/BC，过点C分别作OA，OB的垂线，证明三角形全等即可判断⑤．
本题考查全等三角形的判断和性质，角平分线的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题关键．
11.【答案】2a+b−c
【解析】解：∵△ABC的三边是a，b，c，
∴a+b>c，c+a>b，
∴a+b−c>0，b−c−a<0，c−b+2a>0，
则原式=a+b−c+b−c−a+c−b+2a=2a+b−c，
故答案为：2a+b−c．
根据三角形的三边关系得到a+b−c>0，b−c−a<0，c−b+2a>0，再根据绝对值的性质、合并同类项计算即可．
本题考查的是三角形的三边关系、绝对值的性质，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
12.【答案】180
【解析】解：如图，连接CD，设AC，BD交于点F，
∵∠A+∠B+∠AFB=∠CDF+∠DCF+∠CFD=180°，∠AFB=∠CFD，
∴∠A+∠B=∠CDF+∠DCF，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠CDF+∠DCF+∠FCE+∠FDE+∠E=180°，
故答案为：180．
连接CD，设AC，BD交于点F，利用三角形的内角和定理即可求得答案．
本题考查三角形的内角和，连接CD，设AC，BD交于点F后证得∠A+∠B=∠CDF+∠DCF是解题的关键．
13.【答案】a3b2
【解析】解：∵3m=a，3n=b，m，n为正整数，
∴33m+2n=33m⋅32n=(3m)3⋅(3n)2=a3b2．
故答案为：a3b2．
逆向运用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则解答即可．
本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
14.【答案】0，2，6，8
【解析】【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC=BE，AB=BE进行计算即可．
【解答】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，
∵AC=4，
∴BE=4，
∴AE=8−4=4，
∴点E的运动时间为4÷2=2(秒)；
②当E在BN上，AC=BE时，
∵AC=4，
∴BE=4，
∴AE=8+4=12，
∴点E的运动时间为12÷2=6(秒)；
③当E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，
AE=8+8=16，
点E的运动时间为16÷2=8(秒)．
故答案为0，2，6，8．
15.【答案】10
【解析】解：∵AB=4，AC=6，E为BC中点，AD为△ABC的角平分线，
∴S△ABE=S△AEC=12S△ABC，D到AB的距离=D到AC的距离，
∴S△ABDS△ADC=12AB⋅h12AC⋅h=46=23，
△ABC的面积记为S1，△ADE的面积记为S2，则S1S2=53−52=10，
故答案为：10．
根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可．
此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答．
16.【答案】解：(1)a3⋅a5+(a2)4+(−2a4)2−10a10÷5a2
=a8+a8+4a8−2a8
=4a8
(2)3x−[2x(x+2y)−(x+2y)(2x−y)]+2y2
=3x−[2x2+4xy−(2x2−xy+4xy−2y2)]+2y2
=3x−[2x2+4xy−(2x2+3xy−2y2)]+2y2
=3x−(2x2+4xy−2x2−3xy+2y2)+2y2
=3x−(xy+2y2)+2y2
=3x−xy−2y2+2y2
=3x−xy．
【解析】(1)根据整式的四则混合运算法则计算即可；
(2)根据整式的四则混合运算法则计算即可．
本题考查了整式的四则混合运算，涉及到多项式乘多项式、单项式乘多项式、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、积的乘方及幂的乘方．
17.【答案】角平分线定义 AF=CF AG=CG ∠GAC=∠AED
【解析】(1)解：作∠ADC的角平分线，交AC于点F，交BA延长线于点G，
(2)证明：∵DG平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF(角平分线定义)．
∵AD=CD，∠ADF=∠CDF，
∴AF=CF，DF⊥AC(等腰三角形三线合一)，
∴直线DF是AC的垂直平分线，
∴AG=CG(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)，
∴∠GAC=∠GCA(等边对等角)．
∵AC/​/ED，
∴∠GAC=∠AED(两直线平行，同位角相等)，
∴∠AED=∠GCA(等量代换)．
故答案为：角平分线定义，AF=CF，AG=CG，∠GAC=∠AED．
(1)根据角平分线的作法即可解决问题；
(2)结合(1)利用等腰三角形的性质即可解决问题．
本题考查了作图−基本作图，等腰三角形的性质，角平分线定义，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
18.【答案】证明：∵ED⊥AB，
在△ABC与△AED中，
∠ACB=∠ADE=90°∠A=∠ABC=DE
∴△ABC≌△AED(AAS)，
∴AE=AB，AC=AD，
∴CE=BD．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABC≌△AED是本题的关键．
由“AAS”可证△ABC≌△AED，可得AE=AB，AC=AD，由线段的和差关系可得结论．
19.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1，
A1(−4,2)，B1(−1,1)，C1(−1,4)；
(2)如图，连接AB1于x轴交于点P，
由勾股定理可得：AB1=3 2，
∴PA+PB的最小值为3 2．
【解析】(1)直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用勾股定理进而得出答案．
此题主要考查了轴对称变换以及勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键．
20.【答案】解：(1)∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形；
(2)∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，
∴AB=2AE=12，
∵△CBD的周长为20，
∴BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=20，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．
【解析】(1)根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；
(2)将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得．
此题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．
21.【答案】证明：(1)∵∠A=∠ABE，
∴EA=EB，
∵点D是AB的中点，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
(2)∵∠A=46°，
∴∠ABE=∠A=46°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=21°，
∠F=90°−∠ABC=23°．
【解析】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的关键．
(1)根据到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上证明；
(2)根据等腰三角形的性质求出∠ABE，结合图形计算即可．
22.【答案】解：(1)AP是∠BAC的平分线，理由如下：
在△ADF和△AEF中，
AD=AEFD=FEAF=AF，
∴△ADF≌△AEF(SSS)．
∴∠DAF=∠EAF，
∴AP平分∠BAC．
(2)如图，过点P作PG⊥AC于点G．
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，
∴PG=PQ=6．
∵S△ABC=S△ABP+S△APC=12AB⋅PQ+12AC⋅PG，
∴12AB×6+12×9×6=60．
∴AB=11．
【解析】(1)是；理由：由(2)SSS判定△ADF≌△AEF，然后由该全等三角形的对应角相等证得结论；
(2)如图，过点P作PG⊥AC于点G.由三角形的面积公式作答即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式以及角平分线的定义．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
23.【答案】(1)解：如图：

∵∠BAC+∠DAE=180°，∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∵AB=AD，AC=AE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠D=∠ABC=30°，
∴∠AED=90°−∠D=60°，
∵∠DAE=90°，AC=AE，
∴∠AEC=45°，
∴∠CED=∠AED−∠AEC=15°．
(2)证明：如图，延长AF到M，使FM=AF，连接ME，
∴AF=12AM，

∵BF=EF，∠AFB=∠MFE，
∴△ABF≌△MEF(SAS)，
∴ME=AB，∠BAF=∠M，
∴AB//ME，
∴∠BAE+∠AEM=180°，
∵∠BAC+∠DAE=180°，
∵∠BAE+∠CAD=180°，
∴∠AEM=∠CAD，
∵AB=AD，AB=ME，
∴ME=AD，
∵AC=AE，
∴△AME≌△CDA(SAS)，
∴CD=AM，
∴AF=12CD．
【解析】(1)由△ABC≌△ADE(SAS)，得到∠D=∠ABC=30°，求出∠AED=90°−∠D=60°，∠AEC=45°，即可得到∠CED=∠AED−∠AEC=15°．
(2)延长AF到M，使FM=AF，连接ME，得到AF=12AM，由△ABF≌△MEF(SAS)，得到ME=AB，∠BAF=∠M，因此AB//ME，得到∠BAE+∠AEM=180°，由补角的性质推出∠AEM=∠CAD，由SAS证明△AME≌△CDA，得到CD=AM，即可证明AF=12CD．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，关键是通过作辅助线构造全等三角形．