安徽省部分省级示范学校2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题（Word版附解析）

这是一份安徽省部分省级示范学校2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
考生注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将直线方程变为斜截式,根据斜率与倾斜角关系可直接求解.
【详解】直线
变形为
所以
设倾斜角为
则
因
所以
故选:B
【点睛】本题考查了直线方程中倾斜角与斜率的关系,属于基础题.
2. 已知直线与直线垂直，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】先分别求出两条直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积为，即可求出.
【详解】由已知得直线与直线的斜率分别为、，
∵直线与直线垂直，
∴，解得，
故选：.
3. 已知数列为等差数列，则下列数列一定为等比数列的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列的定义判断．
【详解】设的公差是，即，
显然，且是常数，是等比数列，
若中一个为1，则，则不是等比数列，
只要，，都不可能是等比数列，如，，．
故选：A．
4. 已知点，，则经过点且经过线段AB的中点的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求AB的中点坐标，根据直线所过的两点坐标求直线方程即可.
【详解】由已知，AB中点为，又，
∴所求直线斜率为，故直线方程为，即．
故选：C.
5. 已知向量，，则以下说法不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可根据已知的和的坐标，通过计算向量数量积、向量的模，向量的夹角，即可对选项做出判断.
【详解】因为向量，，
所以，故，所以选项A正确；
，，
所以，故选项B正确；
，所以，，
所以，故选项C错误；
，所以，，
又，故，所以选项D正确.
故选：C
6. 2018年，伦敦著名的建筑事务所steynstudi在南非完成了一个惊艳世界的作品一一双曲线建筑的教堂，白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座教堂轻盈，极简和雕塑般的气质，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线下支的一部分，且该双曲线的上焦点到下顶点的距离为18，到渐近线距离为12，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出双曲线的方程，根据已知条件列出方程组即可求解.
【详解】设双曲线的方程为，
由双曲线的上焦点到下顶点的距离为18，即，
上焦点的坐标为，其中一条渐近线为，
上焦点到渐近线的距离为，
则，解得， ，即，
故选：.
7. 如图，A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，且平面ABC中的小方格均为单位正方形，，，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的线性运算，将向量表示为，再根据向量的数量积的运算进行计算可得答案,
【详解】因为，
所以
= ，
故选：B.
8. 如图，奥运五环由5个奥林匹克环套接组成，环从左到右互相套接，上面是蓝、黑、红环，下面是黄，绿环，整个造形为一个底部小的规则梯形．为迎接北京冬奥会召开，某机构定制一批奥运五环旗，已知该五环旗的5个奥林匹克环的内圈半径为1，外圈半径为1.2，相邻圆环圆心水平距离为2.6，两排圆环圆心垂直距离为1.1，则相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为（ ）
A. B. 2.8C. D. 2.9
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意作出辅助线直接求解即可.
【详解】如图所示，由题意可知，在中，取的中点，连接，
所以，，
又因为，所以，
所以．
即相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为.
故选：C
9. 已知直线将圆分成长度之比为的两段弧，则（ ）
A. B. 3C. 或3D. 1或
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知劣弧所对圆心角为，从而利用圆心到直线的距离公式，列出方程，求出答案.
【详解】由题意，圆的圆心为，半径，
因为直线将圆分成长度之比为1：3的两段弧，
故劣弧所对圆心角为，如图：
由题意，，，取中点，连接，所以，
即圆心为到直线的距离为，
所以，解得或.
故选：C
10. 如图，已知直线AO垂直于平面，垂足为O，BC在平面内，AB与平面所成角的大小为，，，则异面直线AB与OC所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出向量的坐标，再利用向量的夹角公式计算即可.
【详解】如图，以O为坐标原点，过点O作OB的垂线为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，
则，，，
，，
设的夹角为 ，则 ，
所以异面直线AB与OC所成角的余弦值为，
故选：B.
11. 设为数列的前n项和，，且满足，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件可得数列为首项为2，公差为2的等差数列，然后根据结合等差数列的求和公式可求得答案
【详解】在等式中，令，可得，
所以数列为首项为2，公差为2的等差数列，
因为，
所以，
化简得，，
解得或（舍去），
故选：B
12. 已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为CD，CB的中点，分别沿AE，AF将三角形ADE，ABF折起，使得点B，D恰好重合，记为点P，则AC与平面PCE所成角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，以PE，PF，PA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解
【详解】由题意得，
因为正方形ABCD的边长为2，E，F分别为CD，CB的中点，
所以，
所以，
所以
所以PA，PE，PF三线互相垂直，
故以PE，PF，PA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，则
由，，，得
，
解得，则
设平面的法向量为，则
，令，则，
因为，
所以AC与平面PCE所成角的正弦值，
因为AC与平面PCE所成角为锐角，
所以AC与平面PCE所成角为，
故选：A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 抛物线的准线方程是______．
【答案】
【解析】
【详解】由题意可得p=4,所以准线方程为,填
14. 记为等比数列的前n项和，若，公比，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据给定条件列式求出数列的首项即可计算作答.
【详解】依题意，，解得，所以.
故答案为：4
15. 以正方体的对角线的交点为坐标原点O建立右手系的空间直角坐标系，其中，，，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知点的坐标，确定出坐标系即可得．
【详解】如图，由已知得坐标系如图所示，轴过正方形的对角线交点，轴过中点，轴过中点，因此可知坐标为．
故答案：．
16. 椭圆C：的左、右焦点分别为，，点A在椭圆上，，直线交椭圆于点B，，则椭圆的离心率为______．
【答案】（也可以）
【解析】
【分析】可以利用条件三角形为等腰直角三角形，设出边长，找到边长与之间等量关系，然后把等量关系带入到勾股定理表达的等式中，即可求解离心率.
【详解】
由题意知三角形为等腰直角三角形，设，则，解得，，在三角形中，由勾股定理得，所以，．
故答案为：（也可以）
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图是一抛物线型机械模具的示意图，该模具是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，已知顶点深度4cm，口径长为12cm．
（1）以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的标准方程；
（2）为满足生产的要求，需将磨具的顶点深度减少1cm，求此时该磨具的口径长．
【答案】（1）
（2）cm
【解析】
【分析】（1）设抛物线的标准方程为，由题意可得抛物线过点，将此点代入方程中可求出的值，从而可得抛物线方程，
（2）设此时的口径长为，则抛物线过点，代入抛物线方程可求出的值，从而可求得答案
【小问1详解】
由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，
因为顶点深度4，口径长为12，所以该抛物线过点，
所以，得，所以抛物线方程为；
【小问2详解】
若将磨具的顶点深度减少，设此时的口径长为，
则可得，得，所以此时该磨具的口径长．
18 如图，第1个图形需要4根火柴，第2个图形需要7根火柴，，设第n个图形需要根火柴．
（1）试写出，并求；
（2）记前n个图形所需的火柴总根数为，设，求数列的前n项和．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题设找到规律写出，由等差数列的定义求.
（2）由等差数列前n项和求，再利用裂项相消法求.
【小问1详解】
由题意知：，，，，
可得每增加一个正方形，火柴增加3根，即，
所以数列是以4为首项，以3为公差的等差数列，则.
【小问2详解】
由题意可知，，
所以，则，
所以，，
即．
19. 已知圆C的圆心在y轴上，且过点，．
（1）求圆C的方程；
（2）已知圆C上存在点M，使得三角形MAB面积为，求点M的坐标．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）两点式求AB所在直线的斜率，结合点坐标求AB的垂直平分线，根据已知确定圆心、半径即可得圆C的方程；
（2）求AB所在直线方程，几何关系求弦长，由三角形面积求点线距离，设M所在直线为，由点线距离公式列方程求参数，进而联立直线与圆C求M的坐标．
【小问1详解】
由题意知，AB所在直线的斜率为，又，中点为，
所以线段AB的垂直平分线为，即，
联立，得，半径，
所以圆C方程为.
【小问2详解】
由题意，AB所在直线方程为，即，
圆心到直线AB的距离为，故，
因为三角形MAB的面积为，则点M到直线AB的距离为，
设点M所在直线方程为，所以，所以或，
当时，联立得：或，
当时，联立，无解；
所以或．
20. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等比数列的前项和公式，等比数列的基本量运算列方程组解得和公比后可得通项公式；
（2）用错位相减法求得和．
【小问1详解】
设数列的公比为q，由，，
得，解之得所以；
【小问2详解】
，
又，得，
，
两式作差，得
，
所以．
21. 如图1，已知矩形ABCD，，，E，F分别为AB，CD的中点，将ABCD卷成一个圆柱，使得BC与AD重合（如图2），MNGH为圆柱的轴截面，且平面平面MNGH，NG与曲线DE交于点P．
（1）证明：平面平面MNGH；
（2）判断平面PAE与平面PDH夹角与的大小，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）平面PAE与平面PDH夹角大于，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由面面垂直证明，然后得证平面MNGH后可得面面垂直；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求出二面角的余弦可得结论．
【小问1详解】
如图O，为圆柱上，下底面的中心，
可知，，平面平面MNGH，
所以是二面角的平面角，
平面平面MNGH，所以，即，
，平面MNGH，所以平面MNGH，因为平面PAE，所以平面平面MNGH；
【小问2详解】
因为，所以得，
如图，以为坐标原点，以，,所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则可知，，，，，
则，，，，
设平面AEP的法向量为，则，
令，得，
设平面DHP的法向量为，则，即
令，得，，设平面PAE与平面PDH夹角为，
则，，
因为，
即，
所以平面PAE与平面PDH夹角大于．
22. 已知椭圆C：（）过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（）的直线l（不与x轴重合）与椭圆C交于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，直线AC与x轴交于点Q，试问是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）为定值
【解析】
【分析】（1）由题意可得解方程组求出，从而可得椭圆方程，
（2）设直线AB：，，代入椭圆方程，消去，利用根与系数的关系，再表示出直线AC的方程，从而可求出点Q的坐标，从而可表示出，然后化简可得结论
【小问1详解】
由题意得解得
故椭圆C的方程为；
【小问2详解】
设直线AB：，，联立
消去y得，
设，，得，，
因为点C与点B关于x轴对称，所以，
所以直线AC的斜率为，直线AC的方程，
令，解得
可得，所以，
因为，
所以，
所以为定值．