河南省周口市项城市第三高级中学2023-2024学年高三上学期第三次段考数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省周口市项城市第三高级中学2023-2024学年高三上学期第三次段考数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
3. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
4. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，，若，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. D. 9
6. 设，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在等差数列中，，，，则下列结论中正确是（ ）
A. B. C. D.
10. 有下列几个命题，其中正确是（ ）
A. 函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数
B. 函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数
C. 函数y＝的单调区间是[－2，＋∞)
D. 已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3
11. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，、为常数）．若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是（ ）
A.
B. 储存温度越高保鲜时间越长
C. 在℃的保鲜时间是小时
D. 在℃的保鲜时间是小时
12. 已知函数的部分图象如图所示，现将的图象向左平移个单位，得到的图象，下列说法错误的是（ ）
A. 该图象对应函数解析式为
B. 函数图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数在上单调递增
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，则________．
14. 已知函数的图像在点的处的切线过点，则 ________.
15. 若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______.
16. 设当时，函数取得最大值，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数f(x)＝
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求f(x)在区间上的最大值和最小值．
18. 求下列函数导数．
（1）
（2）
（3）
（4）
19. 已知函数（且），．
（1）若，求的取值范围；
（2）求不等式的解集．
20. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
21. 已知在中，．
（1）求；
（2）设，求边上的高．
22. 已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若恰有一个零点，求a的取值范围．
项城三高2023-2024学年度上期第三次考试
高三数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题意求，再结合并集的概念求答案.
【详解】因为全集， 集合，
所以，
又因为集合，所以，
故选：D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因，所以，即．
故选：A．
3. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题“”的否定是：.
故选：C
4. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分和两种情况讨论即可.
【详解】当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，.
故选：C.
5. 已知，，若，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】由基本不等式结合乘“1”法可得答案.
【详解】由可得，
，
当且仅当等号成立，
故选：D.
6. 设，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分、两种情况解方程，求出的值，然后代值计算可得出的值.
【详解】因为，且.
当时，则，由可得，解得，合乎题意.
当时，由可得，无解.
所以，，则.
故选：C.
7. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
8. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，
则.
故选：C.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在等差数列中，，，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由，得出通项公式，进而由得出.
【详解】设等差数列的公差为d，则，，则，
，故，解得.
故选：BC.
10. 有下列几个命题，其中正确的是（ ）
A. 函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数
B. 函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数
C. 函数y＝的单调区间是[－2，＋∞)
D. 已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3
【答案】AD
【解析】
【分析】根据简单函数单调性，复合函数的单调性，以及由函数奇偶性求函数解析式，即可容易判断和选择.
【详解】由y＝2x2＋x＋1＝2在上递增知，
函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数，故A正确；
y＝在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是减函数，
但在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上不是减函数，
如－2<0，但故B错误；
y＝在上无意义，
从而在[－2，＋∞)上不是单调函数，故C错误；
设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3，
因为g(x)为奇函数，所以f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，故D正确．
故选：.
【点睛】本题考查函数单调区间的求解，复合函数的单调性判断以及利用函数奇偶性求函数解析式，属中档题.
11. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（，、为常数）．若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是（ ）
A.
B. 储存温度越高保鲜时间越长
C. 在℃的保鲜时间是小时
D. 在℃的保鲜时间是小时
【答案】AC
【解析】
【分析】根据指数的运算律以及指数复合型函数的单调性即可求解.
【详解】因为在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，
所以易知是减函数，结合复合函数的单调性可知，A正确，
则储存温度越高保鲜时间越短，B错误；
由题可知，，
则，故，
故，C正确，
，D错误，
故选：AC.
12. 已知函数的部分图象如图所示，现将的图象向左平移个单位，得到的图象，下列说法错误的是（ ）
A. 该图象对应的函数解析式为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数在上单调递增
【答案】BD
【解析】
【分析】根据图象可知，，，进而求出，再利用三角函数的平移变换求出，结合三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】由图象可知，，即，
所以，又，
可得，即，
又因为，所以，所以，故A正确；
将的图象向左平移个单位，
可得，
当时，，，故B错误；
当时，，，故C正确；
当时，则，函数单调递减，故D错误.
故选：BD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以
故答案为：.
14. 已知函数的图像在点的处的切线过点，则 ________.
【答案】1
【解析】
【详解】试题分析：
.
考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.
【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得
.
15. 若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】由零点的概念求解
【详解】令，当时，由得，即为函数的一个零点，
故当时，有一解，得
故答案为：（答案不唯一）
16. 设当时，函数取得最大值，则______.
【答案】；
【解析】
【详解】f(x)＝sin x－2cs x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cs φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cs θ＝－sin φ＝－.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数f(x)＝
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求f(x)在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）π （2）最大值1，最小值－
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的性质即可求解；
（2）将 看作整体，根据正弦函数的图像即可求解.
【小问1详解】
f(x)＝sin，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π；
【小问2详解】
因为x∈，所以2x＋∈，
根据正弦函数 的图像可知：
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值1，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－；
综上，最小正周期为 ，最大值为1，最小值为 .
18. 求下列函数的导数．
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数的求导公式，结合求导法则即可逐一求解.
【小问1详解】
由可得
【小问2详解】
由可得
【小问3详解】
由得
【小问4详解】
由得
19. 已知函数（且），．
（1）若，求的取值范围；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据求出的值，由得出的范围，由对数函数的性质可得结果；
（2）由对数的性质可得，进而可得的范围.
【详解】（1）函数（且），，
，函数．
若，，
故的取值范围为．
（2）不等式，即，，解得，
故不等式的解集为．
20. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果；
（2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
根据题意有，
解答，所以，
所以等差数列的通项公式为；
（2）由条件，得，即，
因为，所以，并且有，所以有，
由得，整理得，
因为，所以有，即，
解得，
所以的取值范围是：
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.
21. 已知在中，．
（1）求；
（2）设，求边上的高．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【小问1详解】
，
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
【小问2详解】
由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
22. 已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数单调性，求得函数的极值，即可得解.
【小问1详解】
当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
小问2详解】
，则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.