2023-2024学年吉林省吉林市永吉县九年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省吉林市永吉县九年级（上）期末数学试卷(含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.关于x的一元二次方程x2+4x=−4，则下列说法正确的是( )
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 有一个实数根
3.把抛物线y=−(x+1)2−3先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线为( )
A. y=−(x−2)2+1B. y=−x2+1
C. y=−(x−1)2−2D. y=−(x+2)2−2
4.如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是( )
A. 60°
B. 50°
C. 40°
D. 30°
5.已知双曲线y=6x，下列各点不在此双曲线上的是( )
A. (6,−1)B. (−6,−1)C. (2,3)D. (73,187)
6.如图，直线a/​/b/​/c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F.若AB：BC=1：2，DE=3，则DF的长为( )
A. 6
B. 4.5
C. 9
D. 7.5
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.抛物线y=(x+3)2−6的顶点坐标为______ ．
8.若关于x的一元二次方程x2−3x−m=0有一个根是x=−1，则此方程的另一个根是______ ．
9.已知点A(1,m)和A(3,n)都在双曲线y=12x上，则m ______ n(填“>”或“<”)．
10.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是______．
11.将一元二次方程x2−8x+10=0通过配方转化为(x−k)2=h的形式，则k+h的值为______ ．
12.如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为______．
13.在平面直角坐标系中，点A(a,1)与点B(5,b)关于原点对称，则ab= ______ ．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2.以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 (结果保留π)．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
选择适当的方法解方程：x2−2x−12=0．
16.(本小题5分)
如图，△ABC中，点D，E分别为AB，AC上的点，连接DE，若AD：AB=AE：AC=1：3，
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)△ADE与△ABC的周长比为______ ，面积比为______ ．
17.(本小题5分)
现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图(或列表)的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．(图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B)
18.(本小题5分)
向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元．
(1)求人均收入的年平均增长率；
(2)按照这个增长速度，预测2013年该村的人均收入为______ 元.
19.(本小题7分)
图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．
(1)在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；
(2)在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．
20.(本小题7分)
已知y是x的反比例函数，且x=2时，y=6．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)如果函数的图象经过点(m,−4)，求m的值．
21.(本小题7分)
如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.EM经过圆心O，并且EM⊥CD于E，若CD=4米，EM=6米．
(1)CE= ______ 米；
(2)求⊙O的半径．
22.(本小题7分)
如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部.如果王青身高1.55米，他测得自己眼睛距地面KL=1.50米，LM=30cm，SM=2m．
(1)此时∠LMK ______ ∠SMT(填“=”或“≠”)；
(2)求这栋楼的高度．
23.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB相交于点E．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)连接DE，若BC=6．
①DE= ______ ；
②若AC=8，则BE= ______ ．
24.(本小题8分)
中秋节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低1元，每天的销售量将增加40千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：设降价x(x>0)元，每天所获得的利润为w元．
(1)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
(2)这种水果的销售价定为多少时，可使每天销售利润最大？最大的利润是多少？
25.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm.动点P，Q同时从点C出发，动点P以1cm/s的速度沿C→A向终点A匀速运动；动点Q以1cm/s的速度沿C→B向终点B匀速运动.连接PQ，设点P的运动时间为t(s)，△CPQ的面积为S(cm2).
(1)当t=2时，S= ______ ；
(2)求s与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；
(3)当直线PQ把△ABC分成面积比为1：2两部分时，直接写出此时t的值．
26.(本小题10分)
如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴的一个交点为B(5,0)，另一个交点为A，且与y轴交于点C(0,5)．
(1)求抛物线所对应的函数解析式，顶点D的坐标为______ ；
(2)直线BC所对应的函数解析式为______ ；
(3)若点P是该抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点P作PQ/​/y轴，交直线BC于点Q．
①求PQ的最大值；
②当PQ取最大值时，△BCP的面积为______ ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：C．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】B
【解析】解：关于x的一元二次方程x2+4x=−4，即x2+4x+4=0，
Δ=42−4×1×4=0，
∴方程有两个相等的实数根，
故选：B．
求解一元二次方程的判别式，即可求解．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式判断一元二次方程根的情况．当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，一元二次方程没有实数根．
3.【答案】C
【解析】解：把抛物线y=−(x+1)2−3先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线为y=−(x+1−2)2−3+1，即y=−(x−1)2−2．
故选：C．
根据图象的平移规律，可得答案．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
4.【答案】D
【解析】解：∵△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=12∠AOB=30°．
故选：D．
先根据等边三角形的性质得到∠AOB=60°，然后根据圆周角定理求∠ACB的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的性质．
5.【答案】A
【解析】解：由题意，对于A选项，点(6,−1)满足6×(−1)=−6≠6，
∴点(6,−1)不在此双曲线上，符合题意．
对于B选项，点(−6,−1)满足−6×(−1)=6，
∴点(−6,−1)在此双曲线上，不符合题意．
对于C选项，点(2,3)满足2×3=6，
∴点(2,3)在此双曲线上，不符合题意．
对于D选项，点(73,187)满足73×187=6，
∴点(73,187)在此双曲线上，不符合题意．
故选：A．
依据题意，将各选项中的点的坐标分别代入解析式可以判断得解．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解：所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
6.【答案】C
【解析】解：∵直线a/​/b/​/c，
∴ABBC=DEEF，
即12=3EF，
∴EF=6，
∴DF=EF+DE=6+3=9，
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】(−3,−6)
【解析】解：∵抛物线解析式为y=(x+3)2−6，
∴顶点坐标为(−3,−6)；
故答案为：(−3,−6)．
根据二次函数的解析式的顶点式，令x+3=0即可求出顶点坐标．
本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握抛物线的顶点式进而确定出顶点坐标是解决此题的关键．
8.【答案】4
【解析】解：设方程x2−3x−m=0的另一个根是α，
则α+(−1)=3，
解得α=4．
故答案为：4．
首先设关于x的一元二次方程x2−3x−m=0的另一个实数根是α，然后根据根与系数的关系，即可得α+(−1)=3，继而求得答案．
本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，解题关键是熟知根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
9.【答案】>
【解析】解：∵把A(1,m)代入y=12x得：m=12，
把B(3,n)代入y=12x得：n=4，
∴m>n，
故答案为：>．
依据题意，分别把A、B的坐标代入解析式，即可求出m n，即可得出答案．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要考查了学生的理解能力和计算能力．
10.【答案】14
【解析】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，
其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，
所以两枚硬币全部正面向上的概率是14．
故答案为14．
画树状图展示所有等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式p=mn求解．
本题考查了树状图法：通过树状图法展示所有等可能的结果数求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数m，然后根据概率公式p=mn求出事件A或B的概率．
11.【答案】10
【解析】解：方程x2−8x+10=0，
移项得：x2−8x=−10，
配方得：x2−8x+16=−10+16，即(x−4)2=6，
则k=4，h=6，
k+h=10．
故答案为：10．
方程移项，利用完全平方公式配方后即可求出k、h的值．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12.【答案】80°
【解析】解：∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠BCD=50°，
∴∠OCB=40°，
∴∠AOC=80°．
故答案为：80°．
根据切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠OCB=40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可．
本题考查了切线的性质定理以及圆周角定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题关键．
13.【答案】5
【解析】解：∵点A(a,1)与点B(5,b)关于原点对称，
∴a=−5，b=−1，
∴ab=5，
故答案为：5．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
此题主要考查了关于原点对称，关键是掌握点的坐标变化规律．
14.【答案】23π− 3
【解析】【分析】
连接CE，由扇形CBE面积−三角形CBE面积求解．本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形CBE为等边三角形与扇形面积的计算．
【解答】解：连接CE，
∵∠A=30°，
∴∠B=90°−∠A=60°，
∵CE=CB，
∴△CBE为等边三角形，
∴∠ECB=60°，BE=BC=2，
∴S扇形CBE=22×60π360=23π
∵S△BCE= 34BC2= 3，
∴阴影部分的面积为23π− 3．
故答案为：23π− 3．
15.【答案】解：x2−2x=12，
x2−2x+1=13，
∴(x−1)2=13．
∴x−1=± 13．
∴x1=1+ 13，x2=1− 13．
【解析】先移项，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出两个方程的解即可．
本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
16.【答案】1：3 1：9
【解析】(1)证明：∵AD：AB=AE：AC，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
(2)解：∵△ADE∽△ABC.相似比为1：3，
∴AB=3AD，AE=3AE，DE=3BC，
∴△ADE与△ABC的周长比为AD+AE+DE3AD+3AE+3DE=13，
面积之比为(13)2=19．
故答案为：1：3，1：9．
(1)根据相似三角形的判定即可求证；
(2)根据相似比即可求解．
本题考查相似三角形的判断和性质，熟练掌握相似三角形的判断和性质是解题关键．
17.【答案】解：画树状图如下：
共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，
则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是19．
【解析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】15972
【解析】解：(1)设人均收入的年平均增长率为x，
根据题意得：12000(1+x)2=14520，
解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1(不符合题意，舍去)，
答：人均收入的年平均增长率为10%；
(2)14520×(1+10%)=15972(元)，
即预测2013年该村的人均收入为15972元，
故答案为：15972．
(1)设人均收入的年平均增长率为x，根据向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元．列出一元二次方程，解之取其正值即可；
(2)由题意列式计算即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19.【答案】解：(1)作点B关于直线AC的对称点D，连接ABCD，四边形ABCD为筝形，符合题意．

(2)将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点D，连接ABCD，AD//BC且AD=BC，
∴四边形ABCD为矩形，符合题意．

【解析】(1)作点B关于直线AC的对称点D，四边形ABCD为筝形．
(2)将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点D，四边形ABCD为平行四边形．
本题考查网格无刻度尺作图，解题关键是掌握平行四边形的性质．
20.【答案】解：(1)设y与x的函数解析式是y=kx(k≠0)，
把x=2，y=6代入得：k=12，
即y与x的函数解析式是y=12x；
(2)函数的图象经过点(m,−4)，
∴−4=12m，
解得m=−3．
【解析】(1)设y与x的函数解析式是y=kx(k≠0)，把x=2，y=6代入求出k即可；
(2)把点(m,−4)代入y=12x即可求得m的值．
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
21.【答案】2
【解析】解：(1)∵EM经过圆心O，并且EM⊥CD于E，
∴E是⊙O弦CD的中点，
∴CE=12CD=2米；
故答案为：2；
(2)连接OC，如图，
设圆的半径是x，
在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，
即：x2=22+(6−x)2，
解得：x=103，
所以圆的半径长是103米．
(1)根据垂径定理得出CE=12CD=2米；
(2)在Rt△COM中，有OC2=CM2+OM2，进而可求得半径OC．
此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+(a2)2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
22.【答案】=
【解析】解：(1)由反射定律可知，∠LMK=∠SMT，
故答案为：=；
(2)∵∠LMK=∠SMT，∠MLK=∠MST=90°，
∴△LMK∽△SMT，
∴KLLM=TSSM，即．
解得 TS=10；
∴这栋楼的高度为10米．
(1)由反射定律可得答案；
(2)证明△LMK∽△SMT，有，即可解得这栋楼的高度为10米．
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握反射定律，得到△LMK∽△SMT．
23.【答案】3 5
【解析】解：(1)证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠OAD．
∵∠A+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°．
∴BD是⊙O的切线；
(2)①∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=∠C=90°，
∴DE/​/BC，
∵D是AC的中点，
∴ADAC=12，
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴ADAC=DEBC=12，
∵BC=6，
∴DE=3，
故答案为：3；
②在Rt△ABC中，
∵AC=8，BC=6，
∴AB= AC2+BC2=10，
∵△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB=12，
∴AE=5，
∴BE=AB−AE=5．
故答案为：5．
(1)连接OD，通过圆的性质得到∠A=∠OAD，从而证明∠ODB=90°，即可证明BD是⊙O的切线；
(2)①证明△ADE∽△ACB，结合点D是AC的中点，利用相似三角形的性质得到DE的长度；
②利用勾股定理求出AB的长度，利用相似三角形的性质得到AE的长度后即可求出BE的长度．
本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识点．
24.【答案】解：(1)设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
(38−x−22)(160+40x)=3640，
整理得x2−12x+27=0，
∴x=3或x=9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x=9，
∴售价为38−9=29(元)，
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元；
(2)设降低x元，由题得y=(38−x−22)(160+40x)，
∴y=−40x2+480x+2560=−40(x−6) 2+4000，
当x=6时，y最大=4000．
∴售价为38−6=32(元)，
答：水果的销售价为每千克32元时，超市每天一天获利最大为4000元．
【解析】(1)设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案；
(2)设降低x元，根据题意得到y=−40x2+480x+2560，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】2cm2
【解析】解：(1)根据题意得，CP=t×1=t cm，CQ=t×1=tcm，
∵t=2，
∴CP=2cm，CQ=2cm，
∴△CPQ的面积S=12CP⋅CQ=2(cm2)，
故答案为：2cm2；
(2)当0∵PC=t cm，CQ=t cm，
∴S=12CP⋅CQ=12t2 cm2，
当3∵PC=t cm，CQ=3．
∴S=12PC×CQ=12t×3=32t，
综上所述，S=12t2(0 (3)∵∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12×4×3=6cm2，
∵直线PQ把△ABC分成面积比为1：2两部分，
∴S△CPQ=6×13=2cm2或S△CPQ=6×23=4cm2，
当12t2=2或12t2=4时，t=2或2 2，
当32t=2或32t=4时，t=43(舍去)或t=83(舍去)，
∴t=2或2 2时，直线PQ将△ABC分成面积比为1：2两部分．
(1)根据三角形面积公式求解即可；
(2)分两种情况，根据三角形面积公式求解即可；
(3)结合(2)，根据题意求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
26.【答案】(3,−4) y=−x+5 1258
【解析】解：(1)由题意得：
c=525+5b+c=0，解得：b=−6c=5，
则函数的表达式为：y=x2−6x+5，
则点D(3,−4)，
故答案为：(3,−4)；
(2)设直线BC的表达式为：y=kx+5，
将点B的坐标代入上式得：0=5k+5，
解得：k=−1，
则直线BC的表达式为：y=−x+5，
故答案为：y=−x+5；
(3)①设点P(x,x2−6x+5)，则点Q(x,−x+5)，
则PQ=(−x+5)−(x2−6x+5)=−x2+7x，
∵−1<0，故PQ有最大值，
此时，x=52，PQ的最大值为254；
②当PQ取最大值时，△BCP的面积=12×PQ×OB=12×254×5=1258，
故答案为：1258．
(1)由待定系数法即可求解；
(2)由待定系数法即可求解；
(3)①设点P(x,x2+6x+5)，则点Q(x,−x+5)，则PQ=(−x+5)−(x2+6x+5)=−x2−7x，即可求解；
②由△BCP的面积=12×PQ×OB，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到线段长度的确定、面积的计算、求解函数表达式等，难度不大．