2022-2023学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高二下学期第一次月考数学试题含答案

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高二数学试题卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某校高二年级共有名学生，其中女生有人，男生有人.为了解该年级学生对未来职业生涯的规划，现采用分层随机抽样的方法从中抽出名学生进行调查，那么应抽取女生的人数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得分层抽样抽样比，即可求得女生应抽取的人数.
【详解】根据题意，分层抽样的抽样比为，
所以应抽取的女生人数为.
故选：B
2. 下列结论不正确的是（ ）
A. 若事件与互斥，则
B. 若事件与相互独立，则
C. 如果分别是两个独立的随机变量，那么
D. 若随机变量的方差，则
【答案】A
【解析】
【分析】由已知，选项A，根据事件与互斥，可知；选项B，根据事件与相互独立，可知；选项C，根据分别是两个独立的随机变量，可得；选项D，由，可得，即可作出判断.
【详解】由已知，
选项A，若事件与互斥，则，故该选项错误；
选项B，若事件与相互独立，则，故该选项正确；
选项C，若分别是两个独立的随机变量，那么，故该选项正确；
选项D，若随机变量的方差，则，故该选项正确；
故选：A.
3. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由超几何分布的概率公式结合排列组合即可求得．
【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：
．
故选：D．
4. 甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（ ）
A. 0.09B. 0.42C. 0.51D. 0.6
【答案】C
【解析】
【分析】甲乙都不能译出密码得概率为，密码被破译概率为，得到答案.
【详解】甲乙都不能译出密码得概率为，
故密码被破译的概率为.
故选：C
5. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 3B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二项分布期望公式得，进而得，再根据方差性质求解即可.
【详解】解：因为随机变量，且，
所以，解得，
所以，
所以．
故选：C
6. 有5名学生全部分配到4个地区进行社会实践，且每名学生只去一个地区，其中A地区分配了1名学生的分配方法共（ ）种
A. 120B. 180C. 405D. 781
【答案】C
【解析】
【分析】先选一名学生分配到地，剩下的4名学生在其他三个地区任选一个，由乘法原理可得．
【详解】由题意，先选一名学生分配到地，剩下的4名学生在其他三个地区任选一个，方法数为，
故选：C．
7. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 5D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出的展开式中和项，即可求解作答.
【详解】展开式中项是与展开式中项相乘加上与展开式中项相乘的和，
于是，
所以所求系数为25.
故选：D
8. 吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可.
【详解】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物，
基本事件总数为：种
事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：
烟、糖、糖、糖：种
糖、烟、糖、糖： 种
糖、糖、烟、糖：种
包含的基本事件个数为：54，
所以，其概率为
故选：D
【点睛】此题考查古典概型，解题关键在于弄清基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数，其本质在于计数原理的应用.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（ ）
A. P(X＞32)＞P(Y＞32)
B. P(X≤36)＝P(Y≤36)
C. 李明计划7：34前到校，应选择坐公交车
D. 李明计划7：40前到校，应选择骑自行车
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先利用正态分布，确定和，再结合正态分布的对称性，和的原则，即可求解.
【详解】A.由条件可知，，根据对称性可知，故A错误；
B., ，所以，故B正确；
C. =，所以，故C正确；
D. ，，所以，故D正确.
故选：BCD
10. 在的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A. 所有项的二项式系数和为256B. 所有项的系数和为1
C. 二项式系数最大的项为第4项D. 有理项共4项
【答案】AB
【解析】
【分析】利用二项式定理以及展开式的通项，赋值法对应各个选项逐个判断即可．
【详解】选项A：所有项的二项式系数和为，故A正确；
选项B：令，则，所以所有项的系数的和为1，故B正确；
选项C：二项式系数的最大的项的上标为，
故二项式系数最大的项为第5项，故C不正确；
选项D：通项为，，1，，8，
当，2，4，6，8时为有理项，共5项，故D不正确，
故选：AB
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2
B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17
D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16
【答案】AD
【解析】
【分析】利用概率对于即可判断A；根据平均数求得值，然后利用方差公式求解即可判断B；根据百分位数的求法即可判断C；利用方差公式求解即可判断D.
【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，
以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为 ，故A正确；
对于B，数据1，2，，6，7的平均数是4，，
这组数据的方差是，故B错误；
对于C，8个数据50百分为，第50百分位数为，故C错误；
对于D，依题意，，则，
所以数据的标准差为16，D正确；
故选：AD.
12. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ）
A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B. 若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据排列组合知识分别进行计算可得正确选项
【详解】对于A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，A正确；
对于B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，B错误；
对于C，先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，
则有种安排方法，C错误；
对于D，①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有种安排方法，D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 随机变量X的分布列如表所示，若，则_________.
【答案】5
【解析】
【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得．
【详解】依题意可得，解得，
所以，
所以.
故答案为：5.
14. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种.
【答案】
【解析】
【分析】由排列组合中的捆绑法和插空法计算.
【详解】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种，
然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种，
因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位，
利用插空法排列甲，排法有种，
所以不同的排列方法有种.
故答案为：
15. 从某地抽取1000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~650kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为322，则可以估计该地居民月用电量的第60百分位数约为______.
【答案】350
【解析】
【分析】根据频率分布直方图及平均值计算出，再根据由频率分步直方图求百分位数的方法求解.
【详解】由题意可得，解得，
由知，估计该地居民月用电量的第60百分位数约为.
故答案为：350
16. （1）若，则x=______.
（2）不等式的解集为______.
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
分析】（1）根据排列数公式即可求解；
（2）根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可.
【详解】（1）且，
，化简得，
解得（不合题意，舍去），；
（2）∵，∴，即，解得.
∵，∴.∴的取值集合为.
故答案为：5；.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6．如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：
（1）甲复原三次，第三次才成功的概率；
（2）甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率．
【答案】（1）0.032
（2）0.92
【解析】
【分析】（1）“甲第三次才成功”为事件，故第三次才成功的概率，运算求得结果．
（2）“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件，由题意可得，计算即可．
【小问1详解】
记“甲第次复原成功”为事件，“乙第次复原成功”为事件，
依题意，，．
“甲第三次才成功”为事件，且三次复原过程相互独立，
．
【小问2详解】
“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件．
所以．
18. 甲和乙射箭，两人比赛的分数结果如下：
求甲和乙分数的平均数和方差，并说明甲和乙发挥的情况.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】根据平均数和方差公式可求得甲和乙分数的平均数和方差，结合平均数与方差的大小关系可得出结论.
【详解】解：甲分数的平均数为，
方差为，
乙分数的平均数为，
方差为，
所以，，，故甲乙分数的平均数相同，但甲比乙发挥更为稳定.
19. 用0，1，2，3，，9这十个数字.
（1）可组成多少个三位数？
（2）可组成多少个无重复数字的三位数？
（3）可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？
【答案】（1）900；
（2）648； （3）379.
【解析】
【分析】（1）根据题意，分别得出三位数各位的种数，根据分步乘法计数原理相乘即可得出结果；
（2）根据题意，分别得出三位数各位的种数，根据分步乘法计数原理相乘即可得出结果；
（3）根据题意，分成三种情况，分别计算得出各种情况的种数，根据分类加法计数原理相加即可得出结果.
【小问1详解】
要确定一个三位数，可分三步进行：
第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法；
第二步，确定十位数，有10种选法；
第三步，确定个位数，有10种选法.
根据分步乘法计数原理，共有种.
【小问2详解】
要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：
第一步，确定百位数，有9种选法；
第二步，确定十位数，有9种选法；
第三步，确定个位数，有8种选法.
根据分步乘法计数原理，共有个无重复数字的三位数.
【小问3详解】
由已知，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类，
第一类，满足条件的一位自然数：有10个，
第二类，满足条件的两位自然数：有个，
第三类，满足条件的三位自然数：
第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法；
第二步，确定十位数，有9种选法；
第三步，确定个位数，有8种选法.
根据分步乘法计数原理，有个.
由分类加法计数原理知共有，共有379个小于500且无重复数字的自然数.
20. 设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一批彩电.
（1）假设100台彩电中有10台次品，现采用不放回抽样从中依次抽取3次，每次抽1台，求第3次才抽到合格品的概率；
（2）若甲、乙、丙3个车间的产量依次占全厂的、、，且各车间的次品率分别为、、，.现从一批产品中检查出1个次品，求该次品来自甲、乙、丙车间的概率分别是多少?
【答案】（1）；
（2）甲车间，乙车间，丙车间．
【解析】
分析】（1）根据分步乘法计数原理，可直接求解；
（2）求出各种产量的数量，然后根据全概率公式求出次品率，然后根据条件概率求解即可.
【小问1详解】
第3次才抽到合格品的概率.
【小问2详解】
设“从一批产品中检查出1个次品”，“零件为甲车间加工”，“零件为乙车间加工”，“零件为丙车间加工”.则，且两两互斥.
由题意可知，，，，
，，.
由全概率公式可得，.
则该次品来自甲车间的概率
，
该次品来自乙车间的概率
，
该次品来自丙车间的概率
.
21. 现将9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三个社区做宣传活动．
（1）若甲、乙、丙同去一个社区，且每个社区都需要3名志愿者，求不同安排方法的总数；
（2）若每个社区至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的总数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)6名志愿者平均分为2组，再3组进行分配；
(2)由题意可分为333，225,234三种分配方案，分别分组分配计算即可.
【小问1详解】
依题意可得不同安排方法的总数为．
【小问2详解】
根据题意，这9名志愿者人数分配方案共有三类：
第一类是3，3，3，第二类是2，2，5，第三类是2，3，4．
故不同安排方法的总数为．
22. 在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于90分为优秀．
（1）从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；
（2）在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析；
【解析】
【分析】（1）先由频率直方图中频率之和为求得，从而求得不低于70分与不低于90分的人数，由此求得这名学生成绩是优秀的概率；
（2）结合（1）中结论，求得成绩在，与内的人数，从而利用分层抽样比例相同求得各区间所抽人数，由此利用组合数求得各取值的概率，进而得到X的分布列与数学期望．
【小问1详解】
依题意，得，解得，
则不低于70分的人数为，
成绩在内的，即优秀的人数为；
故这名学生成绩是优秀的概率为；
【小问2详解】
成绩在内有（人）；
成绩在内的有（人）；成绩在内的有人；
故采用分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人，在内的有5人，在内的有2人，
所以由题可知，X的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以X的分布列为：
故．
X
－1
0
1
P
a
b
甲
乙
X
0
1
2
P