2023届河南省实验中学大联考高三2月测试理科数学试卷含答案

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数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合交集运算求解.
【详解】解：因为集合，，
所以，
故选：D
2. 已知复数，若z的共轭复数，则实数（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数乘法求出和，与已知对比即可求出b的值.
【详解】，
，
，
.
故选：C.
3. 在等差数列中，，，则（ ）
A. 15B. 16C. 17D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用等差数列的性质计算即可.
【详解】由等差数列的性质可得
，
，
即.
故选：C.
4. 一组互不相等的样本数据：，…，，，其平均数为，方差为，极差为m，中位数为t，去掉其中的最小值和最大值后，余下数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则下列结论不一定正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均数、方差、极差、中位数的定义即可逐项分析判断．
【详解】对A，平均数受样本中每个数据的影响，故去掉最大值和最小值后，余下数据的平均数可能会改变，故A不一定正确；
对B，方差反映数据的离散程度，当去掉数据中的最小值和最大值后，数据的离散程度减小，故方差减小，故B正确；
对C，极差为最大值与最小值之差，是原来数据里面任意两个数之间差值的最大值，故去掉最大值和最小值后，
新数据的极差必然小于原数据的极差，故C正确；
对D，中位数是把数据从小到大依次排列后排在中间位置的数或中间位置的两个数的平均数，
因为是对称的同时去掉最小值和最大值，故中间位置的数相对位置保持不变，故新数据中位数保持不变，故D正确．
故选：A．
5. 在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】易知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O，根据几何关系求出外接球半径即可求其体积．
【详解】
如图，连接AC、BD、、，设AC∩BD＝M，∩＝N，连接MN．
∵棱台侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为O，
如图：
易得AC＝4，MC＝2，，，MN＝1，
由得，，解得OM＝1，故OC＝，
∴外接球体积为．
故选：C．
6. 已知定义在上的函数满足，，，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 是奇函数但不是偶函数B. 是偶函数但不是奇函数
C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数
【答案】B
【解析】
【分析】对a、b进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断.
【详解】的定义域关于原点对称，
因为，，，
故令时，，
令时，，
令，时，，
，即，
∴是偶函数，
又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数.
故选：B.
7. 已知过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，与圆交于M，N两点，点A，M在y轴的同侧，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知确定直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，利用设而不求法结合抛物线定义表示，并求其值.
【详解】由已知抛物线的焦点的坐标为，
若直线的斜率不存在，则其方程为，
直线和抛物线的交点为，与已知矛盾，
故可设直线直线的方程为，
联立，消，得，
方程的判别式，
设，则，
所以，
圆的圆心坐标为，半径为1，
由已知可得，
所以，
故选：A.
8. 已知，分别是方程和的根，若，实数a，，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据对称性求得，结合换元法以及基本不等式求得正确答案.
【详解】；.
函数与函数的图象关于直线对称，
由解得，设，
则，即，
，
令，则，
则
，
当且仅当时等号成立.
故选：D
9. 设函数，若，恒成立，有以下结论：
①；②为奇函数；③的单调递减区间是，；④经过点的直线必与函数的图象相交．
其中正确结论的序号是（ ）
A ①④B. ②③C. ①③D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简，根据，可得具体的函数，然后按照每个结论依次判断即可.
【详解】，
，恒成立，
为函数最小值，即，
所以且，所以，
所以，
，故①正确；
，
为非奇非偶函数，所以②错误；
因为周期，所以③中的不正确，即③错误；
要使过点的直线与函数的图象不相交，
则必须与轴平行，且，即，
，上式不可能成立，故④正确.
故选：A
10. 已知双曲线（，）的左焦点为，过点向圆引一条切线l，l与该双曲线的两条渐近线分别交于点A，B，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. 2或D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据与渐近线垂直以及求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】依题意可知直线的斜率存在，设，不妨设，
即直线的方程为，
直线和圆相切，所以，整理得，
由于，所以与渐近线垂直，设切点为，
则与渐近线的交点为.
在中，，则，
所以，
根据双曲线渐近线的对称性可知，
渐近线即直线的倾斜角为或，
即或，
由于，
所以双曲线的离心率为或.
故选：C
11. 已知定义在上的函数，当时，，为其导函数，且满足恒成立，若，则，，三者的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，，所以，故考虑构造函数，根据导数与函数的单调性的关系证明在上单调递减，利用函数的单调性比较的大小，再证明可得结论.
【详解】设，则，
因为，所以，
所以函数在上单调递减，
又，所以，
所以，所以，
设，
则，
因为，所以，
当且仅当时，，
所以在上为减函数，
所以，即，
又当时，，所以，
又，所以，
由，可得，
所以，
所以，
故选：B.
【点睛】本题的关键在于结合已知条件构造恰当的函数，利用导数与函数的单调性的关系，判断函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小即可.
12. 如图，在平行四边形ABCD中，，点E，F分别为边BC和AD上的定点，，，，将，分别沿着AE，CF向平行四边形所在平面的同一侧翻折至与处，连接，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作，证明平面，取的中点，过点作，证明平面，根据线面垂直性质定理证明，根据线面平行性质定理证明，解三角形求.
【详解】过点作，垂足为，
因，
所以，
所以，所以，又，
因为平面，，
所以平面，因平面，
所以，又，平面，，
所以平面，
由已知，，
取的中点，连接，
则，，平面，
所以平面，
过点作，
因为平面，平面，
所以，平面，，
所以平面，
所以，
因为，平面，平面，
所以平面，平面平面，
平面，所以，
所以四边形为平行四边形，
设，则，
由已知，所以为等边三角形，
所以，
在中，，，，
所以，
在中，，，
所以，
在中，，，
所以，
所以，
所以，
解得或，
由已知小于点到直线的距离，所以，
故，
故选：C.
【点睛】本题通过平面图形的翻折考查直线与平面的位置关系，平面图形的翻折问题解决的关键在于分析翻折前后的位置关系的变化和线段长度和角度的是否变化.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，且，则实数______．
【答案】1
【解析】
【分析】求出和的坐标，根据两向量垂直的坐标表示即可求出的值.
【详解】∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：1.
14. 若，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】先利用倍角公式变形转化为二次齐次式，然后利用将式子转化为分式，再分子分母同时除以，然后代入计算即可.
【详解】，
代入得
.
故答案为：.
15. 某单位要举办一场晚会，有两个歌唱、两个舞蹈、一个小品、一个相声共6个节目，要求两个歌唱不相邻演出，且两个舞蹈不相邻演出，则这6个节目共有 ______种不同的演出顺序．
【答案】
【解析】
【分析】先计算出个节目全排列的方法数，然后减去歌唱或舞蹈相邻的方法数，从而求得正确答案.
【详解】个节目全排列的方法数为，
个节目的安排中，歌唱或舞蹈相邻的方法数为，
所以符合题意的演出顺序有.
故答案为：
16. 已知函数的图象恒过定点A，圆上两点，满足，则的最小值为 ______．
【答案】
【解析】
【分析】求出定点的坐标，由条件可得点三点共线，结合点到直线的距离公式求的最小值.
【详解】因为时，，
所以函数的图象过定点，
因为，
所以点三点共线，，
因为，为圆上两点，
所以点为过点直线与圆的两个交点，
设线段的中点为，则，
因为表示点，到
直线的距离和，
表示表示点到直线的距离，
分别过点作与直线垂直，垂足为，
则，
所以，
因为，直线过点，所以，
所以，
所以，化简可得，
即点在圆上，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
所以点到直线的距离的最小值为，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题的关键在于确定所求解析式的几何意义，并将所求值转化为线段的中点到直线的距离问题.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若．
（1）求角A的大小；
（2）若，D为BC的中点，求线段AD长度的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理求得正确答案.
（2）利用圆的几何性质求得的最大值.
【小问1详解】
依题意，，
由正弦定理得，
由于是三角形的内角，所以，
所以，则为锐角，所以.
【小问2详解】
设三角形外接圆的半径为，圆心为，
则，
由于，所以在三角形外接圆上运动，
且只在优弧（不包括端点）上运动，如图所示，
则，，
当三点共线时，最大，
所以长度的最大值是.
18. 自限性疾病是指病情具有自我缓解特点、能够自行消散的疾病．已知某种自限性疾病在不用药物的情况下一般10天后可以康复．为研究A药物对该自限性疾病的作用，某研究所对其进行了双盲实验，把100名初患该疾病的志愿者随机平均分成两组，甲组正常使用A药物，乙组用安慰剂代替用药，经统计得到以下列联表：
（1）依据列联表所给数据，能否有99%的把握认为用A药物与小于10天康复有关？
（2）若将甲组中10天后康复的频率视为A药物无效的概率，现从患该疾病且用了A药物的人中随机抽取4人，记其中A药物对其无效的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，．
双盲实验：在试验过程中，测验者与被测验者都不知道被测者所属的组别（实验组或对照组），分析者在分析资料时，通常也不知道正在分析的资料属于哪一组，旨在消除可能出现在实验者和参与者意识当中的主观偏差和个人偏好．
安慰剂：是指没有药物治疗作用，外形与真药相像的片、丸、针剂．
【答案】（1）有99%的把握认为用A药物与小于10天康复有关；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】(1)根据的计算公式计算，查表可知；
(2)依题意可知X满足二项分布，根据二项分布可分别求出分布列和期望.
【小问1详解】
根据列联表，可计算
所以有99%的把握认为用A药物与小于10天康复有关.
【小问2详解】
记A药物无效的概率为p，则，
依题意可知,则，
，，
，，
X的分布列如下：
故.
19. 如图，在直棱柱中，底面ABCD是平行四边形，，M为上的点，，．
（1）证明：平面；
（2）N为线段上的点，若，，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而可得，证得平面，从而即可证得结果；
（2）由（1）中结论知两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算即可得到结果.
【小问1详解】
因为为直棱柱，则，且，，则,，
所以，即，则，
又因为，，平面，
所以平面，因为平面，
所以，因为，，平面，
所以平面;
【小问2详解】
由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，连接，设，则,
则，
所以，
则，
设平面的法向量为，
则，解得，取，则，
所以平面的一个法向量为，
由（1）知是平面的一个法向量，
设二面角为，
则，
则，即二面角的正弦值为.
20. 已知点E是圆上的任意一点，点，线段DE的垂直平分线与直线EF交于点C．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）点关于原点O的对称点为B，与AB平行的直线l与点C的轨迹交于点M，N，直线AM与BN交于点P，试判断直线OP是否平分线段MN，并说明理由．
【答案】（1）
（2）直线OP平分线段MN，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得，利用椭圆的定义，得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，进而得到椭圆的方程；
（2）设，的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可得到的中点，接着求出直线的方程、直线的方程，联立两直线方程得，由化简化简可得答案.
【小问1详解】
由题意，，又∵，
∴，
∴点的轨迹是以、为焦点的椭圆，其中，，
所以，
∴椭圆的方程为.
【小问2详解】
易得，设，
，将的方程与联立消，得，
则，得且，
且，所以，
所以的中点为即，
因为，
所以直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
联立直线与直线的方程，得，
得，
所以
，所以三点共线，
所以直线OP平分线段MN
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21. 已知函数，为函数的导函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：．
【答案】（1）答案详见解析
（2）证明详见解析
【解析】
【分析】（1）先求得，然后通过构造函数法，利用导数，结合对进行分类讨论来求得的单调区间.
（2）通过证明来证得不等式成立.
【小问1详解】
的定义域是，
，
令，则，
当时，恒成立，单调递减，
也即在区间上单调递减；
当时，在区间单调递减；在区间递增.
【小问2详解】
当时，，
要证明，
即证明，
即证明，
即证明，
构造函数恒成立，
所以在区间上递增，，
所以.
构造函数，
，，
所以在区间递减；在区间递增.
所以，即.
所以，则，
结合可得，
从而成立.
【点睛】利用导数求解含参数的函数的单调区间，要注意以下两点：一个是首项要求得函数的定义域，要在定义域的范围内研究函数的单调性.第二个是要注意对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线的参数方程为(为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）直线l与曲线，分别交于不同于原点的A，B两点，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)先将的参数方程消去参数化为直角坐标方程，再结合即可化为极坐标方程；
(2)将的极坐标方程化为直角坐标方程，分别将直线l的参数方程代入，的直角坐标方程，求出对应的t的值，从而求得A、B的直角坐标，根据两点间距离公式即可求．
【小问1详解】
，，，
又，，即，
即曲线的极坐标方程为；
【小问2详解】
由(1)知曲线的平面直角坐标方程为，
将代入，得，则；
，
将代入，得，
∵直线l与曲线交于不同于原点的B点，故，则；
∴．
[选修4—5：不等式选讲]
23. 已知函数，且．
（1）若恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】(1)根据绝对值的性质求出f(x)的最小值，解不等式即可求得a的范围；
(2)分和化简的解析式，再分别求出其最小值均为4即可．
【小问1详解】
∵，当时等号成立，
即的最小值为，
∴若恒成立，
则或，
又，∴，或，或，或，
即a的取值范围是．
【小问2详解】
，
①当时，，
∵在单调递减，在时单调递增，
∴当时，取最小值，即．
②当时，，
在单调递减，
在单调递减，则在单调递增，
∴当时，取最小值，即．
综上，．
小于10天康复
10天后康复
合计
甲组
30
20
50
乙组
10
40
50
合计
40
60
100
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
X
0
1
2
3
4
P