2024届青海省西宁市大通县高三上学期期中考试数学（理）试题含答案

这是一份2024届青海省西宁市大通县高三上学期期中考试数学（理）试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据交集运算即可求解.
【详解】,
故选：D
2．若复数（i为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算化简，即可由共轭复数的定义求解虚部.
【详解】,故，
故的虚部为，
故选：A
3．五一国际劳动节放假三天，甲、乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中随机选一天，乙同学在前两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用乘法原理计算出他们在同一天去和总的方法，再利用古典概型概率计算公式可得答案.
【详解】甲同学在三天中随机选一天共有3种方法，乙同学在前两天中随机选一天共有2种方法，
所以一共有种方法，他们在同一天去共有2种，
所以他们在同一天去的概率为.
故选：B.
4．记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．4B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.
【详解】由，可得，解得，
故
故选：B
5．我国西北某地区开展改造沙漠的巨大工程，该地区对近5年投入的沙漠治理经费x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据统计如下表所示．
根据表中所给数据，得到y关于x的线性回归方程为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用线性回归直线方程过定点，可得答案.
【详解】因为，
因回归方程过定点，将其代入，得，解得，
故选：C
6．已知向量，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据模长公式，结合数量积的运算律，即可由夹角公式求解.
【详解】由可得，所以，
同理由和可得
所以，
故，
故选：D
7．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用函数单调性及中间值比大小.
【详解】，，，故.
故选：C
8．已知圆锥的侧面积为，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆锥的侧面积和侧面展开图是半圆，求出底面圆的半径和母线长与高，再求圆锥外接球的半径和表面积．
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
则侧面积为，①
底面圆的周长为，②
由①②解得，，
所以．
设圆锥外接球的半径为，画出轴截面图形，如图所示：
由勾股定理得，
解得，
所以外接球的表面积为,
故选:D
9．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的一个可能取值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】首先求平移后的解析式，再根据函数的性质，求的一个可能取值.
【详解】函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数，函数关于奇函数，
所以当时，，解得：，
当时，.
故选：A
10．在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题.由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界.从AlphaG到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的.在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmid函数即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：.下列关于Sigmid函数的表述，正确的是（ ）
①Sigmid函数是单调递增函数；
②Sigmid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为；
③对于任意正实数，方程有且只有一个解；
④Sigmid函数的导数满足：.
A．①②B．③④C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】根据初等函数的单调性即可判断①；求出的值即可判断②；根据函数的单调性以及的范围即可判断③；分别求出与的关系式，由此即可判断④．
【详解】因为为单调递减函数，所以为单调递增函数，故①正确，
因为，
所以Sigmid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为，故②正确，
由①可知函数为单调递增函数，又，所以，
即仅当时，方程有且仅有一个解，故③错误，
，
而，所以，故④正确，
故选：D．
11．已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式、导数的性质进行逐一判断即可.
【详解】解：令、，则、，
在同一坐标系中分别绘出函数、、的图像，
因为函数的零点为，函数的零点为，所以，，
解方程组，
因为函数与互为反函数，所以由反函数性质知、关于对称，
则，，，A、B、D错误，
因为，所以在上单调递增，因为，，
所以，因为点在直线上，
所以，，故C正确，
故选：C．
【点睛】关键点睛：函数零点转化为两个函数交点的形式利用数形结合思想进行求解是解题的关键．
12．已知、分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线右支上的点且直线的斜率为，的平分线与x轴交于点M.若，则双曲线C的离心率e的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可设，根据平分，，可得，从而可求的，再根据可得三者之间的关系，再根据直线的斜率为，求得，在中，由余弦定理得三者之间的关系，再根据，分别求得从而可得出答案.
【详解】解：根据题意可设，
因为平分，所以，
因为，所以，
则，
所以，
所以，
所以，
由，得，①
因直线的斜率为，所以，所以，
所以，
在中，由余弦定理得：，②
由①②得，所以，
又因为，
所以，
因为，
所以，所以，
即双曲线C的离心率e的值为.
故选：A.
二、填空题
13．已知，，为平面内的一个动点，且满足，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】设，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解．
【详解】设，由，则，
即，
即，
所以点的轨迹方程为．
故答案为：．
14．等比数列{an}中，Sn表示前n顶和，a3＝2S2+1，a4＝2S3+1，则公比q为 ．
【答案】3
【分析】利用等比数列的基本量转化已知条件，列出方程，即可求得结果.
【详解】∵a3＝2S2+1，a4＝2S3+1
两式相减可得，a4﹣a3＝2（S3﹣S2）＝2a3
整理可得，.
故答案为：3
【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属综合简单题.
15．点P是抛物线上一动点，则点P到点的距离与到直线的距离之和的最小值是 .
【答案】
【分析】根据抛物线的定义，由A，P，F三点共线时，P到点的距离与到直线的距离之和最小求解.
【详解】因为抛物线方程为，
所以抛物线的焦点坐标为准线方程为：，
如图所示：
由抛物线的定义得：点p到的焦点的距离与到准线的距离相等，
所以当A，P，F三点共线时，P到点的距离与到直线的距离之和最小，
最小值为，
故答案为：
16．已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，若直线与函数的图象恰有11个不同的公共点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据对称性可知，时直线与函数的图象有6个交点，求得函数在上的解析式，并作出图象，可求得临界情况下的值，进而可求得的取值范围.
【详解】由题意，函数和的图象都关于原点对称，则他们的图象交点也关于原点对称，
又，可知时，直线与函数的图象有6个交点.
当时，，即，则时，，
所以，时，；
时，；
时，.
作出函数在上的图象，
①当直线与的图象在处相切时，二者图象在上5个交点，
设切点为点，联立，可得，则，解得，因为，所以只有符合题意；
②当直线与的图象在处相切时，二者图象在上7个交点，
设切点为点，联立，可得，则，解得，因为，所以只有符合题意；
显然，当时，直线与函数的图象在时有6个交点，根据对称性可知，此时直线与函数的图象恰有11个不同的公共点.
故答案为：.
【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数图象交点问题，函数的对称性，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
三、解答题
17．设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2.
（1）当时，求角A的度数；
（2）求△ABC面积的最大值.
【答案】（1）；（2）3.
【解析】（1）由求出的值，再由正弦定理可求得，从而可求出角A的度数；
（2）由余弦定理可得，再利用基本不等式可得，从而可求出三角形的面积的最大值
【详解】解：（1）因为，
所以，
由正弦定理得，即，
解得，
∵a∴.
（2）由余弦定理可得，
∴，解得，
∴.
∴△ABC面积的最大值是3.
【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题
18．某科研所为了研究土豆膨大素对土豆产量的影响，在某大型土豆种植基地随机抽取了10亩土质相同的地块，以每亩为单位分别统计了在土豆快速生长期使用的膨大素剂量xi（单位：g），以及相应的产量yi（单位：t），数据如下表：
并计算得，，.
(1)估计该试验田平均每亩使用膨大素的剂量与平均每亩的土豆产量;
(2)求该试验田平均每亩使用膨大素的剂量与土豆产量的样本相关系数（精确到0.01）;
(3)现统计了该大型土豆种植基地所有地块（每块1亩）的膨大素使用剂量，并计算得总使用剂量为1080g. 已知土豆的产量与其使用膨大素的剂量近似成正比.利用以上数据估计该基地土豆的产量.
附: 相关系数r=，.
【答案】(1)平均每亩使用膨大素的剂量12g，平均每亩的土豆产量为3.9t；
(2)0.97；
(3)351吨.
【分析】（1）根据给定的数表，求出作答.
（2）利用给定的数据，结合相关系数公式计算作答.
（3）利用（1）的结论，列式计算作答.
【详解】（1）依题意，，
，
所以该试验田平均每亩使用膨大素的剂量12g，平均每亩的土豆产量为3.9t.
（2）依题意，所求样本相关系数
.
（3）由已知及（1），得该基地的土豆产量的估计值为吨.
19．已知平行四边形中，，点在上，且满足，将沿折起至的位置，得到四棱锥.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）利用余弦定理结合勾股定理可证得，由已知可得，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证得平面平面；
（2）分析可知即为二面角的平面角，以为坐标原点，、所在的方向分别作为、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）在中，，，，
由余弦定理得，
所以，由勾股定理知.
折叠后，则有，，因为，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2），，则即为二面角的平面角.
以为坐标原点，、所在的方向分别作为、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
于是、、，，
所以，，，
设平面的一个法向量，
有，即，令，则，.
所以即为平面的一个法向量.
.
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．已知椭圆C：的一个焦点为F（2，0），离心率为．过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求四边形AMBN面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点，离心率， 之间的勾股关系即可求出答案；（2）利用设而不求联立椭圆和直线方程，利用韦达定理解出根与系数的关系，对面积表达式进行化简，利用参数的范围得出最终答案.
【详解】（1）由题意可得
解得,
故椭圆的方程为.
（2）当直线斜率不存在时 , 的坐标分别为,
四边形面积为
当直线斜率存在时 , 设其方程为 点 , 点 到直线的距离分别为
则四边形 面积为,
得,
则
所以
，
因为
所以 中点 ,
当 时 , 直线 方程为 ,
解得
所以
.
当 时 , 四边形 面积的最大值
综上四边形 面积的最大值为 .
21．已知函数.
(1)若，求函数的最大值；
(2)若恒成立，求的值；
(3)令，过点作曲线的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证：点一定在第一象限内.
【答案】(1)0
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当时，可得，利用导数即可求解单调性求解；
（2）令，可得，通过对的讨论，可知，进一步分析可得的取值；
（3），设两切点为，，进而得，两点处的切线方程分别为，，令，解得，，利用分析法可证得点一定在第一象限内．
【详解】（1）当时，的定义域为，
令，得，令，得．
因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以.
（2）令，,
若，存在，与恒成立矛盾，
所以必有，，，设方程两根分别为，则，所以方程必有一正根，记作，
所以函数在单调递增，在,单调递减，若满足条件，必有，注意,
则有，代入式，解得，
所以；
（3）因为，设两切点为，,，不妨设在的右边，则，，
所以，两点处的切线方程分别为，，
令，解得，，
因为，所以，
要证明，即证明，因为，即证，
设，则，
所以在上是增函数，所以，则，
所以，故点一定在第一象限内.
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明 不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
22．C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ<2π）.
【答案】(1)ρ2-4ρcsθ-8ρsinθ+16=0
(2)或
【分析】（1）先将C1的参数方程转换为直角坐标方程，再根据公式即可转换为极坐标方程；
（2）将曲线C2转换为直角坐标方程，联立两曲线的直角坐标方程，求得交点的直角坐标系坐标，在转化为极坐标即可.
【详解】（1）解：曲线C1的参数方程为，（α为参数），
转换为直角坐标方程为（x-2）2+（y-4）2=4，
转换为极坐标方程为ρ2-4ρcsθ-8ρsinθ+16=0；
（2）解：曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，
转换为直角坐标方程为x2+y2-4y=0，
所以，
整理出公共弦的直线方程为x+y-4=0，
联立，
解得或，
转换为极坐标为或.
23．已知函数.
(1)解不等式；
(2)记函数的最小值为，正实数，满足，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1），分段解不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式求出最小值，然后利用基本不等式乘“1”法即可求证．
【详解】（1），
由得，或或，
或或，
，
不等式的解集为：．
（2），
当且仅当，即时取等号，
，，
当且仅当，即时取等号，
故,
治理经费x/亿元
3
4
5
6
7
治理面积y/万亩
10
12
11
12
20
膨大素用量xi
8
12
8
16
16
10
10
14
14
12
亩产量yi
2.5
4
2.2
5.4
5.1
3.4
3.6
4.6
4.2
4