2023届河北省保定市高三上学期期末数学试题含答案

这是一份2023届河北省保定市高三上学期期末数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先化简集合，然后根据交集运算即可求得结果.
【详解】解可得，所以.
所以.
故选：D.
2．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（ ）
A．172B．183C．191D．211
【答案】C
【分析】构造数列，并利用等差数列的性质即可求得原数列的第20项为191
【详解】高阶等差数列： 1，2，4，7，11，16，22，，
令，则数列：1，2，3，4，5，6，，
则数列为等差数列，首项，公差，，则
则
故选：C
3．已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求，再结合诱导公式求.
【详解】因为，所以，
即，
所以．
故选：C．
4．已知平面向量，满足，，，则在上的投影为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【分析】根据模的运算性质求出，再由向量投影的公式求解即可.
【详解】，，
解得，
所以在上的投影为，
故选：B
5．若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据内函数为减函数，根据其单调性知外函数也为减函数，则，再结合对数的真数大于0，则得到，解出即可.
【详解】为减函数，
又在区间内为增函数，则，
且当时，恒成立，所以，解得，
则，
故选：B.
6．如图，在直三棱柱中，，且分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据线线平行可得或其补角是异面直线与所成的角，利用三角形三边关系，由余弦定理即可求解.
【详解】如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接 ,，
由于分别是棱的中点，所以，故四边形为平行四边形，进而,
又因为是的中点，所以,所以，则或其补角是异面直线与所成的角.
设，则，
从而，
故,
故异面直线与所成角的余弦值是.
故选：A
7．已知函数，若，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据得到，即，然后分和两种情况，利用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为，
由上面结论可得，
所以，其中，则.
当时，
当且仅当，，时等号成立；
当时，
，当且仅当，时等号成立；因为，所以的最小值为.
故选：A.
8．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，过点的直线与动点的轨迹交于，两点，记点的轨迹的对称中心为，则当面积取最大值时，直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由，设，可得的轨迹方程为，设点到的距离为，则，由几何关系求出，结合基本不等式求得，由点到直线距离公式可求直线的方程.
【详解】设，由得，
化简得的轨迹方程为，所以点，
设点到的距离为，则，
所以的面积，
等号成立时，即面积最大时，点到直线的距离为，
故直线不垂直于轴，设直线方程为，
即，则，
解得，所以直线方程为．
故选：A
二、多选题
9．数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．
【答案】AB
【分析】根据题意可得，从而可得数列是等比数列，从而可求得数列的通项，再根据分组求和法即可求出，即可得出答案.
【详解】解：∵，可得，
又
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故B正确；
则，∴，故C错误；
则，故A正确；
∴，故D错误.
故选：AB.
10．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（ ）
A．
B．若，则M到x轴距离为3
C．若，则
D．的最小值为4
【答案】ABD
【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，结合抛物线定义，逐项分析计算即可判断作答.
【详解】抛物线上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1，则有，解得，A正确；
抛物线的方程为，焦点，准线，设，
对于B，点，由抛物线的定义知，，
有，所以M到x轴距离，B正确；
对于C，，由得：，即，
又，即，则，解得，
于是得，C不正确；
对于D，抛物线中，当时，，因此点在抛物线上方，
过点P作于，交抛物线于点Q，连QF，过A作于，连AF，AP，，如图，
显然，当且仅当点A与Q重合时取等号，
所以，D正确.
故选：ABD
11．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
C．若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为
D．，在上单调递增
【答案】BCD
【分析】利用二倍角公式对进行化简，得到的最小正周期为，然后利用三角函数的性质对每个选项进行判断即可
【详解】因为，所以的最小正周期为，
对于A，因为，
所以的最小正周期，所以，得，故A错误；
对于B，图象变换后得到函数，
若其图象关于原点对称，则，解得，
当时，，故B正确；
对于C，当时，，
因为在上有且仅有4个零点，
所以，解得，故C正确；
对于D，当时，，
因为，所以，，
因为在上递增，且，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：BCD
12．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（ ）
A．M，N，B，四点共面
B．异面直线与MN所成角的余弦值为
C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形
D．三棱锥的体积为
【答案】BCD
【分析】根据直线与直线的位置关系判定A；由异面直线所成角求解判定B；作出截面判定C；由体积公式判定D
【详解】对于A，易知MN与为异面直线，所以M，N，B，不可能四点共面，故A错误；
对于B，连接，CP，易得，所以为异面直线与MN所成角，
设，则，
所以，
所以异面直线与MN所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，连接，，易得，
所以平面BMN截正方体所得截面为梯形，故C正确；
对于D，易得，因为平面MNB，平面MNB，
所以平面MNB，
所以，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．若向量的夹角为，则 .
【答案】
【分析】代入求解.
【详解】
故答案为：
14．已知函数的零点恰好是的极值点，则 .
【答案】
【分析】设是的零点，也是的极值点，进而建立方程，解方程并检验满足条件即可.
【详解】解：根据题意，设是的零点，也是的极值点，
因为
所以，解得.
此时，，
当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，
所以，函数在处取得极小值，且，满足条件.
故答案为：
15．在平面直角坐标系中，点，直线-1），动点满足，则动点的轨迹的方程为 ，若的对称中心为与交于两点，则的方程为面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】先根据条件求出 的方程，作图，分析图中的几何关系，设立参数，写出面积的解析式即可.
【详解】设，由题意得，
化简得的方程为，；
直线的方程可化为，由
解得， 所以直线过定点，
又 ，所以点在圆的内部；
作直线，垂足为，
设，易求，所以，
所以，
所以，
所以当，即时，；
故答案为：， .
16．已知函数c若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】(-2，1)
【分析】根据函数图象与的交点即可求解.
【详解】在直角坐标系中画出的图象，
当时，至多有2个实数根，如图（1），
当时，至多有2个实数根，如图（2），
当时，恰好有3个实数根，如图（3），
故的取值范围为，
故答案为：
四、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上.
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可.
【详解】（1）由得圆心，
∵圆的半径为1，
∴圆的方程为：，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．
∴，
∴，∴或．
∴所求圆的切线方程为或．
（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，
则圆的方程为．
又∵，
∴设为，则，整理得，设为圆．
所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，
∴，
由，得，
由，得．
综上所述，的取值范围为．
【解析】1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.
【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.
18．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若，求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，进而求得.
（2）结合正弦定理以及三角恒等变换的知识将三角形的周长表示为三角函数的形式，通过三角函数值域的求法求得三角形的周长的取值范围.
【详解】（1）由，
得，
由正弦定理得，
所以，
又因为，所以，
由于，所以角；
（2）由（1）知，所以，则，
由正弦定理：得，
所以，．
所以
．
因为，所以．
所以．
所以，
所以周长的取值范围为．
19．2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物……中国制造为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛．该足球队教练组对球员的使用是依据数据分析，为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了胜负）：
(1)据此能否有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；
(2)根据以往的数据统计，乙球员能够胜任边锋、中锋、后腰以及后卫四个位置，且出场率分别为：0.2，0.4，0.3，0.1，当出任边锋、中锋、后腰以乃后卫时，球队输球的概率依次为：0.4、0.3、0.4、0.2．则：
①当乙球员参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
②当乙球员参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担任边锋的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？
附表及公式：
．
【答案】(1)有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关
(2)① ；②；③应该多让乙球员担当后卫，来扩大赢球场次．
【分析】(1) 由联表数据应用公式计算与对应临界值表格数据比较后即可得出结论.
(2)①根据条件概率公式分别求出四种情况下输球的概率,相加即可
②利用乙球员担当边锋时输球的概率除以球队输球的概率即可得出答案.
③分别计算乙球员担当边锋, 乙球员担当中锋, 乙球员担当后腰, 乙球员担当后卫时输球的概率,以输球概率最小时,乙球员担任的角色,作为教练员使用乙队员的依据.
【详解】（1）由列联表中的数据可得：，
所以有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关;
（2）①设表示“乙球员担当边锋”；表示“乙球员担当中锋”；表示“乙球员担当后腰”；表示“乙球员担当后卫”；表示“球队输掉某场比赛”，
则
；
②；
③因为，
，
所以，，
所以应该多让乙球员担当后卫，来扩大赢球场次．
20．三棱台的底面是正三角形，平面，，，，E是的中点，平面交平面于直线l．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由三棱台的性质得到//，再利用线面平行的判定定理和性质定理进行证明；
（2）在平面内作，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用线面角的向量公式进行求解.
【详解】（1）在三棱台中，//，
又平面，平面，
则//平面，
又平面，平面平面，
所以//.
（2）因为平面，在平面内作，
以为原点，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．设椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设点T在直线上，过T的两条直线分别交E于A，B两点和P，Q两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根据题意建立关于a，b，c的方程组，解出即可求得椭圆的方程；
（2）设直线方程，将其与椭圆E的方程联立，求出两根之和及两根之积，再表示出，同理表示出，根据，代入化简后可得出结果．
【详解】（1）由已知椭圆的左、右焦点分别为，，∴，
方法一：
由题意得，解得，
∴椭圆的方程为；
方法二：
由，
则，又，得，
∴椭圆的方程为；
（2）设，，
由，消去得：
设，
由题意，
从而
同理，又
所以，即，又
故，直线的斜率与直线的斜率之和为0．
22．函数．
(1)若曲线存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围；
(2)设，试探究函数的零点个数．
【答案】(1)
(2)3个
【分析】（1）利用导数几何意义转化为关于的方程在上有实根，进而求得a的取值范围；
（2）先利用导数求得函数的单调区间，再依据零点存在定理即可得到函数的零点个数．
【详解】（1），则
由题意，存在，使得
即关于的方程在上有实根，
该方程等价于，
则的取值范围是函数的值域，
又函数在单调递增，
在单调递减，且，
则函数的值域为，
所以，的取值范围是
（2）当时，令，对称轴，
则，，
则存在两个零点，，
在上，递增；
在上，递减；
在上，递增.
又，，
在上，，，
则，，所以在上零点个数为1
又，所以，在上零点个数为1，又.
综上，当时，的零点个数为3个.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
球队负
球队胜
总计
甲参加
3
29
32
甲未参加
7
11
18
总计
10
40
50
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828