2024届北京市顺义区第一中学高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届北京市顺义区第一中学高三上学期12月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为，，
因此，.
故选：C.
2．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义得，然后利用乘法运算求解即可.
【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标为，故，
所以.
故选：A
3．若等差数列和等比数列满足，，，则的公差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，可得出的值，由此可求得数列的公差.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，解得，所以，，
故.
故选：D.
4．设、是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是 （ ）
①若，，则； ②若，，则；
③若，，则； ④若，，则．
A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④
【答案】B
【详解】①错；②对；③对；④错；
5．已知为第一象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同角平方和关系，结合齐次式即可得，进而由二倍角公式求解即可.
【详解】由平方可得，
所以或，
由于，且为第一象限角，故，因此，
故，
所以，
故选：B
6．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“角与角的终边关于轴对称”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据三角函数的性质，即可几何和充分必要条件的定义求解.
【详解】由角与角的终边关于轴对称可得,故，
充分性成立，
当时，或，故不必要不成立，
故选：A
7．若双曲线：的离心率为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据离心率的计算公式即可求解.
【详解】,故，
故选：B
8．Peukert于年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数．为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得出，两个等式相除可得出，利用指数式与对数式的互化可求得的值.
【详解】由已知可得，上述两个等式相除可得，
所以，.
故选：C.
9．已知点、在圆上，且，为圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可设、，设点，然后根据向量数量积的坐标表示及三角函数的性质即可得解.
【详解】因为点、在圆上，且，为圆上任意一点，
因为，所以，是等边三角形，则，
不妨设、，设点，
所以，，
所以，
即的最小值为.
故选：C.
10．某数学兴趣小组研究曲线：和曲线：的性质，下面是四位同学提出的结论：
甲：曲线，都关于直线对称；
乙：曲线与坐标轴在第一象限围成的面积；
丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的面积．
丁：曲线上的点到原点的最小距离为1，最大距离为．
对于以上四个同学的结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用曲线的对称性判断甲说法的正误，选择和作为参考，判断乙丙说法的正误，根据三角换元即可判断丁说法.
【详解】甲说法：对曲线和交换，得，方程不变，所以,关于对称，故甲说法正确，
乙说法：选择作参考，其与坐标轴在第一象限围成的面积为，
对，第一象限均有，，
此时，，等号不能同时取得，所以，
所以时，，且时，，
所以曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积，故乙说法不正确，

丙说法：选择作为参考，其与坐标轴在第一象限围成的面积为，
对于和上横坐标相同时，则，，
故，
因此的图象在的外面，
即曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积，故丙说法正确，

丁说法；根据对称性，只需要考虑第一象限的情况，令，则上任意一点为,
则，由于，
故，因此，故丁说法错误
故选：B．
二、填空题
11．在的展开式中，的系数为 ．
【答案】
【分析】写出展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】的展开式的通项为，
令，得，所以展开式中的系数为．
故答案为：.
12．若直线与圆相切，则 ．
【答案】
【分析】由题意结合圆的方程可得该圆圆心为，半径为，再利用圆心到直线的距离等于半径即可得解.
【详解】由题意圆的方程可转化为，
所以该圆圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了圆的方程的应用，考查了直线与圆的位置关系的应用以及运算求解能力，属于基础题.
13．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则 ．
【答案】3
【分析】利用抛物线的性质，结合勾股定理求解.
【详解】
如图，不妨设点在第一象限，
则，，
所以，，，
因为，所以,
所以，即，
解得或（舍），
故答案为:3.
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则 ， ．
【答案】
【解析】利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出、即可求解.
【详解】在中，，
则，即，
解得或（舍去）.
由正弦定理，
解得，，
所以.
15．已知函数给出下列四个结论：
①当时，存在最小值；
②当时，存在唯一的零点；
③的零点个数为，则函数的值域为；
④当时，对任意，，.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②③
【分析】①根据指数函数、二次函数性质求最值判断；②由函数零点概念求解零点判断；③讨论、、，分析各分段上零点的个数判断；④用特殊值，得到即可判断.
【详解】①当时，，
当时，在上单调递增，故的值域为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，，
故的值域为；由知，无最小值，故①错误；
②当时，，令得，所以有唯一的零点0，故②正确；
③至多一个零点，至多有两个零点，
当时，若，则由，
可得或，故恒有两个零点；
时，若，则存在一个零点；
若，不存在零点，
所以时，零点个数可能为2或3个；
若，则，此时，即上无零点，
而，故有一个零点，即；
若，则，此时上，无零点，
时，也无解，故无零点，即；
综上，的值域为，故③正确；
④当时，，则，
所以，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点点睛：对于③，注意结合指数函数、二次函数性质，应用分类讨论分析各分段零点的可能情况.
三、解答题
16．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数的值唯一确定，并求函数在上的最小值．
条件①：的最大值为；
条件②：的一个对称中心为；
条件③：的一条对称轴为．
【答案】(1)
(2)条件选择见解析，答案见解析
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；
（2）选①，利用函数的最大值求出的值，由求出的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求出在上的最小值；选②，根据函数的一个对称中心坐标求出的值，由求出的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求出在上的最小值；选③，根据函数的一条对称轴方程可知，不确定.
【详解】（1）解：因为
，
故函数的最小正周期为.
（2）解：选①，，解得，则，
当时，，
故当时，函数取得最小值，即；
选②，因为函数的一个对称中心为，
则，解得，所以，，
当时，，
故当时，函数取得最小值，即；
选③，因为函数的一条对称轴为直线，的值无法确定.
综上所述，选①，函数在上的最小值为；
选②，函数在上的最小值为；
选③，的值不确定.
17．为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表：
注：
1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；
2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．
(1)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；
(2)从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和数学期望；
(3)用“”和“”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)顾客是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是．
(2)的分布列见解答．的期望是1
(3)
【分析】（1）求出款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数，然后求解顾客是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率．
（2）的取值为0，1，2，设事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，说明事件与相互独立．然后求解的概率，得到分布列，然后求解期望．
（3）由两点分布的方差公式计算比较与的大小．
【详解】（1）由题意知，是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为，
故从所有的回访顾客中随机抽取1人，此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是．
（2）的取值为0，1，2．设事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，
事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，
且事件与相互独立．
根据题意，，．
则，
，
，
所以的分布列为：
的期望是：．（3）都服从两点分布，，，
，，
所以.
18．如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)相交，
【分析】（1）只要证明即可；
（2）用向量数量积计算二面角余弦值；
（3）延长、交于点，即是直线与平面交点，解直角三角求即可．
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面,
又因为，所以，所以平面．
（2）因为，所以，再由（1）知、、两两垂直，
建系如图，,0,,,0,,,0,,,4,,,2,，
,0,,,4,,,2,，
设是平面的法向量，
由，可得，取，则,1,，
设是平面的法向量，
由，可得，取，则,0,，
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
（3）由,0,,,,,得,,，
因为，
所以直线与平面不平行，所以直线与平面相交，
在四边形中延长、交于点，
因为平面，所以平面，
点是直线与平面的交点，
因为，是中点，所以，所以，
所以．
19．已知函数．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)证明：当时，．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）当时，求出、的值，即可得出函数在点处的切线方程；
（2）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（3）要证原不等式成立，即证，即证，构造函数，利用导数求出函数的最小值，根据即可证得原不等式成立.
【详解】（1）解：当时，，则，所以，，，
故当时，函数在点处的切线方程为，即.
（2）解：因为的定义域为，.
当时，对任意的，，
此时，函数的减区间为，无增区间；
当时，令，可得，解得，列表如下：
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（3）证明：当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
则，
当时，要证，即证，
即证，
令，其中，则，
令，可得，列表如下：
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
故当时，.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
20．已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，且
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）先得到，联立直线与椭圆方程，设、，根据韦达定理，以及弦长公式，得到，以及线段的中点坐标，讨论和两种情况，求出，进而可求出结果.
【详解】（1）解：因为椭圆过点，且离心率为，
则，解得，
故椭圆的方程为.
（2）解：是定值.
由已知得直线的方程为.
由，消去，整理得.
所以，
设、，则，，
所以
，
则，
因为，
所以线段的中点为.
①当时，，，所以.
②当时，线段的垂直平分线方程为，
令，得，即，所以，
所以，
综上所述，为定值.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
21．已知是无穷数列.给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意项，在中都存在两项，使得.
（1）若，判断数列是否满足性质①，说明理由；
（2）若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（3）若是递增数列，，且同时满足性质①和性质②，证明：为等差数列.
.
【答案】（1）不满足性质①，理由见解析； （2）满足性质①和性质②，理由见解析； （3）证明见解析.
【分析】（1）由，根据题意，得到，由为偶数，为奇数，即可得出结论；
（2）由，验证性质①②，即可求解；
（3）由是递增数列且，得到当时，，根据题意，得出，结合数学归纳，即可求解.
【详解】（1）由，性质①是任意，存在，
令，则要满足，
可得，可得，
其中为偶数，为奇数，所以不成立，
如：当时，，不存在这样的.
（2）当时，，所以，
所以存在使得数列满足性质①；
对性质②，取，，
则成立，所以满足性质②.
综上可得，数列同时满足性质①②.
（3）由是递增数列，，所以，当时，，
因为满足性质①和性质②，所以，即，
当时，，
已知，所以，
又由，所以，即数列前三项成等差数列.
假设前项成等差数列，即，
则当时，若，
由性质①知，必存在，使得成立，
因为，
所以必有成立，
又由性质②知，，
则与矛盾，
所以成立，
所以数列的前项也成等差数列，
所以数列为等差数列.
【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
运动鞋款式
A
B
C
D
E
回访顾客（人数）
700
350
300
250
400
满意度
0
1
2
0.24
0.52
0.24
单调递减
极小值
单调递增
单调递减
极小值
单调递增