2024届福建省部分学校高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届福建省部分学校高三上学期12月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式的解法求得，结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】由不等式，解得，所以，
又由，所以．
故选：C.
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数，
所以复数在复平面内对应的点为，该点位于第一象限．
故选：A.
3．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性判断a的范围，根据对数的运算性质以及对数函数性质判断的范围，即可得答案.
【详解】因为为R上的单调减函数，为上的单调增函数，
故，
所以,
故选:D
4．若某等差数列的前3项和为27，且第3项为5，则该等差数列的公差为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】B
【分析】由等差数列的性质求解即可.
【详解】设该等差数列为，则，则，
所以公差.
故选：B.
5．在△中，角的对边分别是，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理、二倍角公式等知识求得正确答案.
【详解】因为，所以．
因为，所以，所以．
因为，所以，则．
故选：B
6．已知是奇函数，且在上单调递减，则下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义与性质，及单调性的定义与性质判断即可.
【详解】由题意得在上单调递减，则在上单调递增，
对于A，因为与均在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，，则为偶函数，故B错误；
对于C，，
因为，所以，即，故C错误；
对于D，，则为奇函数，
与均在上单调递增，
则在上单调递增，故D正确.
故选：D.
7．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，由题意可得为的中点，然后利用中点坐标公式和斜率公式可求得结果.
【详解】设，则，
因为，所以为的中点，
所以，
故直线的斜率.
故选：D
8．已知函数在上单调递增，则的最大值是（ ）
A．0B．C．D．3
【答案】A
【分析】结合导数，将在上单调递增转化为恒成立，再参变分离，转化为恒成立，即求出的最小值即可得.
【详解】由题意可得，
因为在上单调递增，所以恒成立，
即恒成立，
设，则，
令，则，
当时，，时,,
故在为减函数，在上为增函数，
故，但，
时，，
故当0时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故，即.
故选：A.
二、多选题
9．若函数则（ ）
A．的最小正周期为10B．的图象关于点对称
C．在上有最小值D．的图象关于直线对称
【答案】AD
【分析】由正弦型函数的周期公式可求A，通过代入求值的方法可判断BD选项，利用正弦函数的图象与性质可判断C.
【详解】，A正确.
因为，所以的图象不关于点对称，B错误.
因为，所以的图象关于直线对称，D正确.
若，则，由的图象可知，
在上有最大值，没有最小值，C错误.
故选：AD.
10．设，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式即可判断AB；利用二次函数的性质判断C；利用1的妙用结合基本不等式可判断D.
【详解】∵，∴，即，
当且仅当时，等号成立，故A错误；
∵，当且仅当时，等号成立，
∴，故B正确；
∵，∴，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
∵，∴，，
∴
，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：BCD.
11．已知直线l：与圆C：，点P在圆C上，则（ ）
A．直线l过定点
B．圆C的半径是6
C．直线l与圆C一定相交
D．点P到直线l的距离的最大值是
【答案】BC
【分析】求解直线经过的定点，圆心与半径，两点间的距离判断选项的正误即可．
【详解】直线l：，即
由，解得，则直线l过定点，故A错误；
圆C：，即，
则圆C的圆心坐标为，半径为6，故B正确；
因为点与的距离为，
则点在圆C的内部， 所以直线l与圆C一定相交，故C正确；
点P到直线l的距离的最大值是，故D错误．
故选：BC．
12．已知函数，，若关于的方程有3个实数解，，，且，则（ ）
A．的最小值为4B．的取值范围是
C．的取值范围是D．的最小值是13
【答案】BCD
【分析】作出函数的图象，即可根据对数的运算可得，，结合函数图象以及基本不等式即可求解ABC，利用导数求解函数的单调性，即可求解D.
【详解】作出的大致图象，如图所示.
，其中，所以，
则，，.所以，
当且仅当，即时，等号成立，但，A错误.
当时，是偶函数，则，
所以，，B，C均正确.
因为，所以.
设函数，则，
当时，，当时，，所以，D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．若向量、为单位向量，且，则向量与的夹角为 .
【答案】
【分析】由平面向量数量积的运算性质可求得的值，结合向量夹角的取值范围可求得结果.
【详解】因为向量、为单位向量，且，
则，可得，
所以，，
因为，故，即向量与的夹角为.
故答案为：.
14．的展开式中，含项的系数是 .（用数字作答）
【答案】
【分析】利用二项展开式的通项公式，求出系数.
【详解】展开式的通项．
令，得，
则．
故答案为：
15．已知，则 ．
【答案】/
【分析】利用诱导公式和同角三角函数的商数关系求得，再由二倍角的正切公式求解.
【详解】∵，
，
∴，∴，
∴.
故答案为：.
16．过双曲线的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的左顶点为，则的离心率为 .
【答案】2
【分析】利用数形结合的方法，找出之间的等量关系式，利用解方程的方法即可求出双曲线的离心率.
【详解】设为坐标原点，的焦距为.过点作垂直于轴，垂足为.
双曲线的渐近线方程为：，
易得，
所以，
由可得，即，
所以，得，
所以，故.
故答案为：2.
四、解答题
17．在锐角中，内角的对边分别为，已知.
(1)求A;
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角分析求解；
（2）利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数的值域求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
因为为锐角三角形，可知，
则，所以，
且，所以.
（2）因为，可知，即，
且为锐角三角形，则，解得，
又因为
，
由，可知，则，
所以.
18．镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.
(1)请估计该板栗园的板栗质量的中位数；
(2)现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这 10 颗板栗中随机抽取 4 颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为 X，求 X 的分布列与数学期望.
【答案】(1)57.5
(2)分布列见解析，
【分析】（1）先通过分析确定中位数在内；再设中位数为，列出方程求解即可.
（2）先根据分层抽样确定从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗中抽取颗；再写出的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得出答案．
【详解】（1）因为，
所以该板栗园的板栗质量的中位数在内．
设该板栗园的板栗质量的中位数为，
则，解得，
所以该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5．
（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗中抽取颗．
的所有可能取值为．
，
，
．
从而的分布列为
故．
19．如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且为棱的中点．
(1)证明：平面．
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证；
（2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用两平面夹角的向量法求解.
【详解】（1）由三棱柱的性质可，
∵平面ABC，∴平面，
∵平面，∴，
∵为的中点，且是等边三角形，∴，
∵平面,,
∴平面.
（2）取的中点，连接，由题意可得两两垂直，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，
则，
故，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量，
则，令，得，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
20．已知点，动点满足，动点的轨迹记为.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据椭圆定义可确定椭圆的长轴长以及焦距，进而求得，即得答案.
（2）首先设直线方程，联立椭圆方程，可得根与系数关系式，由此求得弦长，结合原点到直线的距离，即可求得面积表达式，然后换元，利用函数的单调性，即可求得答案.
【详解】（1）因为，所以是以为焦点，且长轴长为4的椭圆.
设的方程为，则，可得.
又椭圆焦距为，所以，
所以的方程为；
（2）由题意可知直线的斜率不为0，设直线，
联立，整理得，
则，
.
由弦长公式可得
.
点到直线的距离，则的面积，
设，则，
因为，在上单调递增，此时，即时取等号，
所以，所以，当且仅当时，，
即面积的最大值为.
【点睛】方法点睛：求解面积的最大值，一般方法是要结合直线和椭圆方程，求出面积的表达式，进而利用基本不等式或者是结合函数单调性，求解最值.
21．设数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义可得为公差为1的等差数列，即可求解，
（2）由裂项求和即可求解.
【详解】（1）由以及可得，
所以，，故为公差为1的等差数列，
所以，所以，
（2），
所以
22．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程，
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导解得，然后求得切线方程；
（2）结合函数导数研究函数的单调性，从而求得函数的最小值；
【详解】（1），，.
故曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）得.
令函数，则，所以是增函数.
，，
所以存在，使得，即.
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
.
因为，所以，
所以.
故.
0
1
2
3
4