2024届江苏省苏州市南航苏州附中高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届江苏省苏州市南航苏州附中高三上学期12月月考数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则满足条件的实数的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】分，讨论，根据包含关系可得.
【详解】由可知，
当时，，满足条件；
当时，，要使，只需，或，
所以或.
综上，满足条件的实数取值为，共3个.
故选：D
2．设复数对应的点在第四象限，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】计算，设，则，，根据得到答案.
【详解】，
设，则，，，
，故复数对应的点在第四象限.
故选：D
3．条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】举反例即可说明充分性，根据不等式的性质，即可判断必要性，进而可求解.
【详解】当且时，，所以是的不充分条件，
而时，则，所以，故是的必要条件，
因此是的必要不充分条件，
故选：B
4．如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由球的表面积求出球的半径，然后通过轴截面求出圆台的高，进一步求出圆台的体积.
【详解】因为圆台外接球的表面积，所以球的半径，
设圆台的上､下底面圆心分别为，在上､下底面圆周上分别取点，
连接，如图，
因为圆台上､下底面的半径分别为3和4，
所以，，
所以，,
所以，
所以圆台体积.
故选：D.
5．对于角，甲、乙、丙、丁4人有4种不同的判断，甲：的终边在直线上，乙：，丙：，丁：，若甲、乙、丙、丁4人中只有1人判断错误，则判断错误的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】根据题意以及象限角和三角恒等变换分析判断即可得解.
【详解】对于甲：为第一象限角或第三象限角，则；
对于乙：因为，整理得，
解得或；
对于丙：因为，解得；
对于丁：因为，则；
若甲、乙、丙、丁4人中只有1人判断错误，可知：甲、乙、丙一定正确，
此时，为第一象限角或第三象限角，可知或，故丁错误.
故选：D.
6．已知M是圆上一个动点，且直线：与直线：（，）相交于点P，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线过定点及垂直关系确定P轨迹，结合圆的位置关系求最值即可.
【详解】
由两直线方程可知分别过定点，且两直线互相垂直，
设的中点为，则，
如图所示，则两直线的交点的轨迹为以为圆心为直径的圆，，
可知两圆相离，设直线交圆于E，交圆于D，
显然.
故选：D
7．设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（ ）
A．1或3B．2或3C．1或4D．2或4
【答案】A
【分析】根据与的关系，求出，则①，又②，②－①×3得，得，进而求出，由题意得，记，研究的单调性，求出的解即可．
【详解】，
时，，
相减可得：，即
又时，，解得，满足，
数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以．
对任意正整数n，都有成立，
得①，
又②，
②－①×3得：，
又，所以，得，
进而，
由，得，即，
记，则，
以下证明时，，
因为，
即时，单调递减，，
综上可得，满足等式的所有正整数的取值为1或3．
故选：A．
【点睛】关键点睛：涉及数列的单调性以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强，难度较大，解答时要结合几何知识，能熟练的应用数列的相关知识作答，关键是要注意构造新数列解决问题.
8．如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线定义和几何性质，结合圆的切线长定理与余弦定理即可求解.
【详解】
设，内切圆圆心为，内切圆在上的切点分别为，
则，
由及双曲线的定义可知，，
故四边形是正方形，
得，于是，
故，所以，
于是，在中，
由余弦定理可得，
从而，所以.
故选：D.
二、多选题
9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（ ）
A．可能取到数字4B．中位数可能是2
C．极差可能是4D．众数可能是2
【答案】BD
【分析】对于AC：根据题意结合平均数、方差和极差的定义分析判断；对于BD：举例说明即可.
【详解】设这5个数字为，
对于A：若取到数字4，不妨设为，
则，可得，
可知这4个数中至少有2个1，不妨设为，
则这5个数字的方差
，
不合题意，故A错误；
对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为，
若极差是4，这最大数为5，不妨设为，
则这5个数字的平均数，
则，可知这3个数有2个1，1个2，
此时这5个数字的方差，
不合题意，故C错误；
对于BD：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，
且中位数是2，众数是2，故BD正确；
故选：BD.
10．我国魏晋时期杰出的数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率.设圆内接正边形的周长为，圆的半径为，数列的通项公式为，则（ ）
A．B．
C．是递增数列D．存在，当时，
【答案】ABC
【分析】由圆内弦长公式可求得圆内接正n边形的周长，进而求得的通项公式，赋值可判断A项，运用二倍角公式可判断B项，由越大，越接近外接圆的周长可判断C项，由当时，，可得，进而可判断D项.
【详解】如图所示，

因为圆内接正n边形的边AB所对应的圆心角，
所以圆内接正n边形的边长，
所以圆内接正边形的周长，
所以，
对于A项，当时，，故A项正确；
对于B项，因为，所以，
所以，
所以，故B项正确；
对于C项，当越大，则的值越大，越接近外接圆的周长，所以越大，故是递增数列，故C项正确；
对于D项，设，则，
当时，，
所以在上单调递减，
所以，
所以当时，，
所以当时，，即，故D项错误.
故选：ABC.
11．半圆形量角器在第一象限内，且与轴、轴相切于D、E两点．设量角器直径，圆心为，点为坐标系内一点．下列选项正确的有（ ）
A．点坐标为B．
C．D．若最小，则
【答案】ACD
【分析】根据题意，结合平面向量的运算以及坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题意得，量角器与轴、轴相切于、两点，且，则，故A正确；
由A可知，，则，则
，故B错误；
记，则C选项
，故C正确；
设，则
，
当时，，故D正确；
故选：ACD.
12．如图过抛物线：的焦点作两条互相垂直的直线，，与相交于，两点，与相交于，，、分别是弦和弦的中点，则下列说法中正确的是（ ）

A．若点，则周长的最小值为
B．的最小值为
C．最小时，
D．和面积之和的最小值为8
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的定义及焦半径公式，用点的坐标分别表示选项要求，利用基本不等式求解即可.
【详解】
对于A，，，准线方程为，
点，过点作垂直于准线的直线,垂足为,由抛物线定义知
则周长为
当最小时，周长最小，
所以当在一条直线上时，最小，最小长度为，
所以周长最小值为,故A错误；
对于B，由题意知，两直线斜率均存在，且不为0，设直线的方程为，
联立，即 ①
，
，，
则，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，直线的斜率为，代入①中，设，得
，，
、分别是弦和弦的中点
所以，，
，，
，即，最小为4，当且仅当时等号成立，
此时，，所以，故C正确；
对于D，由抛物线定义得，，，，，
和面积之和为
当且仅当，且，等号成立，所以和面积之和的最小值为8，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】先求出定点，再将点代入直线中，结合基本不等式即可求解.
【详解】解：函数的图像恒过定点
所以
又点在直线上
所以，即
当且仅当时，取等号.
所以的最小值为
故答案为：.
14．已知同一平面内的单位向量，，，满足，则 .
【答案】
【分析】根据题意得，两边平方得到，从而求出.
【详解】由题意可知：，则，
则，
.
故答案为：
15．若函数在处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围 ．
【答案】
【分析】数形结合，函数过点，当切线过点时，切线与函数的图象有三个公共点，当切线与相切时直线与函数的图象只有两个公共点，计算出两个临界情况相应的值，即可求得的取值范围
【详解】当时，，所以切点的坐标为，
当时，，，所以切线的斜率，
所以切线的方程为：
而，即过点
当切线过点时，切线与函数的图象有三个公共点，
将代入切线方程得：，得
当切线与相切时，切线与数的图象只有两个公点，
设切线：与在处相切，
由，得，
所以，得，，所以切点坐标为
代入切线：，得，
因此在处的切线与的图像有三个公共点时，的取值范围为：.
故答案为：.
16．如图所示，已知三棱锥中，底面为等腰直角三角形，斜边，侧面为正三角形，D为的中点，底面，则三棱锥外接球的表面积为 .

【答案】/
【分析】设三棱锥外接球的球心为O，确定球心的位置，即球心落在过底面外心的垂线上，利用图形的几何性质求得外接球半径，进而求得表面积.
【详解】如图，取AC中点E，连接DE.
在等腰直角三角形中，，则
因为侧面为正三角形，所以.
因为底面为等腰直角三角形，E是AC中点，故E为的外心，
所以平面.
又底面，所以.
设三棱锥外接球的球心为O，连接，则.
所以三棱锥为正三棱锥，O在平面上的射影F是的重心，
则点F在SD上，，且平面.
因为底面为等腰直角三角形，且AC为斜边，所以.
因为D、E分别为AB、AC中点，所以，所以.
因为底面，底面，所以.
又因为平面，
所以平面，所以.
所以四边形OEDF为矩形，，
所以外接球半径，
外接球面积.
故答案为：

四、解答题
17．在中，为上一点，满足，且．
(1)证明：．
(2)若，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据边长关系得到，结合三角形面积公式和证明出结论；
（2）设，，表达出其他边长，，，根据互补关系得到，计算出，由余弦定理求出答案.
【详解】（1）因为为上一点，满足，
所以，所以，
因为，所以，
所以；
（2）由（1）知，设，则，
又因为，为上一点，，
设，则，，

在中，，
在中，，
所以，
所以，
在中，.
18．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高（单位：）与父亲身高（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
参考数据及公式：，，，，，
(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
(2)记，，其中为观测值，为预测值，为对应的残差．求（1）中儿子身高的残差的和、并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由．
【答案】(1)，规律见解析
(2)残差和为0；成立，证明见解析
【分析】（1）计算，，根据公式计算，，得到回归方程，再根据不等式，，得到规律；
（2）依次计算残差得到残差和，确定对任意具有线性相关关系的变量，再根据证明即可.
【详解】（1），，
，，
故回归方程为：，
取，解得，即时，儿子比父亲高；
取，解得，即时，儿子比父亲矮；
父亲较高时，儿子平均身高要矮于父亲，父亲较矮时，儿子平均身高要高于父亲，
即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.
（2），；
，；
，；
，；
，；
故残差的和为.
对任意具有线性相关关系的变量.
证明如下：
.
19．已知各项均不为0的数列的前项和为，且.
(1)若，求数列的前项和；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先由递推关系结合得到，再利用分组求和的方法求前n项和；
（2）首先利用将原式化简为，再构造函数，利用作差法判断函数的增减性，进而可得最大值.
【详解】（1）当时，，所以有，
得：，所以，即，
当时，，所以，不满足上式，
当时，
，
当时，满足上式，
综上：.
（2）当时，，所以，所以，即，
令，则，
令，解得，由于数列中的是正整数，
所以可得，，，，
综上：.
20．如图，在三棱锥中，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，.
【分析】（1）用余弦定理求角，再用几何关系证明线面垂直即可证明面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，用向量方法进行坐标运算即可求解.
【详解】（1）证明：在中，，所以，
过点D作于点O，连接，则，
因为，，为公共边，所以.
所以，且，又，所以，所以，
又因为，平面，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）设存在满足题意的点E，由（1）可知，，两两垂直，以点O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，，，，
，，，
设，，则，
显然平面的法向量.
设平面的法向量，则，
取，则，，所以，
若二面角的正切值为，则其余弦值为，
则，
整理得，所以，又因为，所以，
所以，即当时，二面角的正切值为.
21．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出，分、讨论可得答案；
（2）转化为对任意恒成立，令，求出，判断出，，在上单调性可得答案.
【详解】（1），
当时，，在上单调递减；
当时，，所以时，单调递增，
时，单调递减，
综上所述，当时，单调递减；当时，在上单调递增；在上单调递减.
（2）若对任意恒成立，可得，
即对任意恒成立，
令，，
，令，，
因为，所以，所以在上单调递减，
在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，
可得.
【点睛】关键点点睛：第二问的解题关键点是转化为对任意恒成立，再构造函数，还考查了分类讨论思想、转化化归思想.
22．已知双曲线，过点的直线与该双曲线的左、右两支分别交于点．
(1)当直线的斜率为时，求；
(2)是否存在定点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）根据题设写出直线的方程，联立双曲线，应用韦达定理及弦长公式求；
（2）由题设，根据向量数量积的定义及等面积法有，令，直线的方程为，其中，联立双曲线，应用韦达定理及向量数量积的坐标表示列方程求参数即可.
【详解】（1）由题设，易知直线的方程为，设，
由，得，此时，所以，
所以，．
（2）因为，所以，
所以，所以，
由及等面积法得，所以．
设，直线的方程为，其中，
由，得，此时，
所以．
因为，
所以，
，
所以，整理得，
将韦达公式代入上式，整理得，所以．
所以，存在，使得．
父亲身高
160
170
175
185
190
儿子身高
170
174
175
180
186