2024届山东省菏泽市菏泽三中高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届山东省菏泽市菏泽三中高三上学期12月月考数学试题含答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，全集，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.
【详解】因为或，全集，则，
又因为集合，因此，.
故选：C.
2．已知为复数单位，，则的模为（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】A
【分析】根据复数运算的乘除法则，结合复数相等的定义可求得，进而可求得，再结合模长公式即可求解.
【详解】由可得，所以，
所以，则.
故选：A.
3．已知函数，则函数的图象的可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在时，的符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对于函数，有，解得，
所以，函数的定义域为，
因为，即函数为奇函数，排除BD选项，
当时，，则，排除C选项.
故选：A.
4．已知，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数单调性结合中间值“0”和“1”可得的大小关系，再结合的单调性分析判断.
【详解】因为在内单调递增，则，即；
在内单调递增，则，即；
在内单调递减，则，所以；
综上所述：.
又因为在内单调递增，所以.
故选：A.
5．在中，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】和的分别为和的方向向量，结合可判断的形状，再由数量积的运算可求，再根据三角形内角和为，即可求解.
【详解】因为，所以的角平分线与垂直，所以，
因为，,所以，
则．
故选：D
6．已知定义在上的函数满足，且时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据可知函数关于对称，并求出时函数的解析式，画出大致图象，然后结合图象得到的解集.
【详解】定义在上的函数满足，所以关于对称，
当时，，因为在上单调递增,在上单调递减,
在上单调递增,所以在上单调递增，，
因为，当，即时，
，
令，即或（舍），
所以画出的大致图象

由图象知，当时，，当时，，当时，，
所以，当时，，当时，，
当时，，当或时，，
所以不等式的解集为，
故选：C.
7．已知函数，是函数的4个零点，且，给出以下结论：①的取值范围是，②，③的最小值是4，④的最大值是.其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】作出图象，结合图象判断①；对方程化简计算判断②；由对数的运算性质得出，利用基本不等式判断③④.
【详解】作出函数的图象如下图所示：

因为是函数的4个零点，
所以直线与函数的图象有四个交点，且，
根据图象知：，所以①错误；
对于②，由图可知，，则，所以，
，则，所以，
所以，所以，正确；
对于③，由图可知，，由得，
即，所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，显然不满足，
所以，错误；
对于④，因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即的最大值是，正确.
综上，正确结论为②④，共2个.
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
8．数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，，，，，，，…，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用新定义得出，然后结合换元法求出结果即可.
【详解】由，
得
，
即，
整理得，
令，则，
解得，
因为，所以，
，所以.
故选：A
二、多选题
9．已知二次函数（，a，b，c为常数）的对称轴为，其图象如图所示，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．的最小值是
C．当时，函数的最大值为
D．关于的不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】根据二次函数的对称轴得根据图象判断，即可判断A，利用基本不等式求最值判断B，利用函数的单调性求最值判断C，解一元二次不等式判断D.
【详解】对于A，因为二次函数（，a，b，c为常数）的对称轴为，
所以，即，由图知，则，
所以，错误；
对于B，因为，所以，
则，
当且仅当即时等号成立，正确；
对于C，因为，所以函数在上单调递减，
所以函数的最大值为，正确；
对于D，不等式等价于，
由得，解得，即原不等式的解集为，正确.
故选：BCD
10．已知是两个不共线的向量，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是B．
C．在方向上的投影向量不可能为D．与的夹角的最大值为
【答案】BD
【分析】根据判断A；根据，从而求出的范围判断B；根据投影向量的概念判断C；利用向量夹角公式判断D.
【详解】选项A：由以及不共线可知，，故A错误；
选项B：由于不共线，所以，又，
因此，故B正确；
选项C：当时，在方向上的投影向量为，故C错误；
选项D：设与的夹角为，则
，
由于，
所以，，
因为，所以，
即与的夹角的最大值为，故D正确．
故选：BD.
11．已知函数，若数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．该数列是周期数列且周期为3B．该数列不是周期数列
C． D．
【答案】BC
【分析】根据函数的解析式，求出数列的前面的项，找到数列的项出现的规律，即可判断A，B；结合数列的项的规律求出，即可判断C，D.
【详解】由题意知，故；；
；；；
；……
∴数列从开始每3项，即重复出现，
但前2项和后面项并不重复，故数列并不是周期数列，A错误，B正确．
，
，C正确，D错误．
故选：BC．
12．如图，棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，则（ ）
A．直线为异面直线
B．平面
C．过点的平面截正方体的截面面积为
D．点是侧面内一点（含边界），平面，则的取值范围是
【答案】BCD
【分析】由可判断A；由线面垂直的判定定理和面面平行的判定定理可判断B；求出过点的平面截正方体的截面，求其面积可判断C；由题意求出点的轨迹为线段，求解可判断D.
【详解】对于A，连接，

由题意可知，因为，所以，所以共面，
故选项A错误；
对于B，因为，平面，平面，
所以平面，同理，平面，
且，平面,
所以平面平面,
连结，
因为，，，且平面，
所以平面，平面，
所以，同理，，且，平面，
所以平面，且平面平面，
所以平面，故选项B正确；

对于C，连接，

根据正方体的性质可得，且，
所以平面即为过点的平面截正方体的截面，该四边形为等腰梯形，
其上底，下底，腰,高为，
所以截面面积为，故选项C正确；
对于D，取的中点，的中点H，连结，
因为，且，所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面，且，平面，
所以平面平面，
因为点是侧面内一点（含边界），平面，
所以点的轨迹为线段，
连接，

在中，，
点到的距离为，
的取值范围为，故D错误.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：
（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
三、填空题
13．已知，则= ．
【答案】
【分析】先求出，进而利用向量数量积坐标公式求出答案.
【详解】，
故.
故答案为：
14．若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是 .
【答案】100
【分析】先判定正项数列为等差数列，利用等差数列的性质得到，再利用均值定理即可求得的最大值
【详解】正项数列为“调和数列”，则可令（为常数），
则正项数列为等差数列，公差为
则
则，则
则（当且仅当时等号成立）
则的最大值是100
故答案为：100
15．如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是 .
【答案】
【分析】求点到平面的距离，建立空间直角坐标系，由顶点到平面的距离分别为，，利用空间点到平面距离公式，求出平面的法向量，即可求出结论.
【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则点到平面距离为，①
点到平面距离为，②
由①②可得，
所以到平面的距离为.
故答案为:.
【点睛】本题考查点到平面的距离，利用空间直角坐标系解题时，正确建立空间坐标系是关键，属于较难题.
16．若定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为
【答案】
【分析】构造，利用导数得在上单调递增，把转化为，利用单调性解不等式即可.
【详解】构造，
所以，
所以在上单调递增，且，
不等式可化为，即，所以，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题
17．数列为等差数列，为等比数列，公比．
(1)求的通项公式；
(2)证明：恒成立.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列以及等比数列的通项公式列方程组，求得公差和公比，即可求得答案；
（2）利用错位相减法求得的表达式，即可证明结论.
【详解】（1）由题意知数列为等差数列，为等比数列，
设的公差为d，则或（舍去），
故，；
（2）证明：令，
则，
两边乘以得，，
错位相减整理得，，
则，由于，，
所以，所以恒成立.
18．锐角的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理得到，化简得到，得到答案.
（2）确定，根据正弦定理得到，化简得到，得到范围.
【详解】（1），故由正弦定理得，
则，又，故，
，，故，又，；
（2），由为锐角三角形，故，
故，，，
，
，故，即.
19．如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，E、F、G分别DD1、BD、BB1是中点.
(1)证明：EFCF；
(2)求EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）建立空间直角坐标系如图，根据向量的数量积为0证明垂直即可；
（2）利用向量法求异面直线所成角的余弦值；
（3）根据向量的模计算两点间的距离即可.
【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，,
因为,
所以，即EFCF.
（2）由（1）知，
所以，
所以与所成角的余弦值是；
（3）由（1）知，
所以，
即CE的长为.
20．某工厂在2020年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的领取工资．该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资收入为每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为元．
(1)求的通项公式．
(2)当时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？
(3)当时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？
【答案】(1)
(2)这个人第三年的收入最少，为元
(3)当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入
【分析】（1）根据题意得到时，，进而得到数列的通项公式；
（2）由时，，结合基本不等式，即可求解；
（3）由时，，结合基本不等式的等号成立的条件，即可得到结论.
【详解】（1）解：由题意得，当时，，
当时，，
所以
（2）解：由，当时，，
当且仅当，上式的等号成立，即，解得，
所以这个人第三年的收入最少，最小值为元．
（3）解：当时，
，
当且仅当且，上式等号成立，
因此，等号不能取到，
当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．
21．如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，是线段上的点.
（1）当是的中点时，求证：平面；
（2）试确定点的位置，使二面角的大小为，并指出的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）点的位置见解析，.
【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得平面；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量法求出的值，由此可求得的长.
【详解】（1）如图，取的中点，连接、.
、分别为、的中点，则且，
四边形是矩形，为的中点，则且，
且，所以，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面；
（2）平面，且四边形为矩形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，，
平面的一个法向量为，
设，其中，设平面的法向量为，
，，
由，得，令，则，，，
由，解得，即.
【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查计算能力，属于中等题.
22．已知函数
(1)当时，求在上的最小值；
(2)若在上存在零点，求的取值范围.
【答案】(1)0；
(2).
【分析】（1）对函数式进行两次求导分析即得；
（2）对于含参数函数的零点问题，常常考虑运用分析讨论法，即对导函数中的参数进行分类逐个分析，找到符合题意的情况即得.
【详解】（1）当时，， ，
，
令，，，
则在上是增函数，则>0，所以，
即在上是增函数，则.
（2）， ，
，
令，，，
（1）当时，，则在上是减函数，则，
①若，易得，则在上是减函数，，不合题意；
②若，因，，则根据零点存在定理，必，使，即，
变化时，，的变化情况如下表：
则，故要使函数在上存在零点，需使，即；
（2）当时，，而，
当时，，
故在上是增函数，，不合题意；
（3）当时，在上是增函数，在上是增函数，
则在上是增函数，，不合题意，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）分析讨论法：对含参函数的导函数进行分类讨论，逐个判断求得；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
0
单调递增
极大值
单调递减