2024届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第四中学高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第四中学高三上学期12月月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数满足（其中为虚数单位），则对应的点在第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
【答案】D
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z对应的点的坐标可得结果．
【详解】由题意可得：，
则z在复平面内所对应的点的坐标为
∴对应的点在第四象限.
故选：D
2．若集合且，则实数m的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解方程得集合A，分为，，，分别求出的值，综合可得答案.
【详解】由于，，
对B分3种情况讨论：，即方程无解，可得；
，即方程的解为，即，可得；
，即方程的解为，即，可得；
综上可得：实数的值组成的集合为；
故选：A.
【点睛】本题主要考查集合间的包含关系的运用，注意集合可能为空集，属于基础题.
3．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡六千七百七十三人，西乡五千二百二十七人，南乡若干人，凡三乡，发役五百人，而南乡需遣二百人，问南乡人数几何？”其意思为：今某地北面有6773人，西面有5227人，南面有若干人，这三面要征调500人，而南面共征调200人（用分层抽样的方法），则南面共有（ ）人．
A．7200B．8000C．8200D．8800
【答案】B
【分析】根据分层抽样的概念及计算方法，列出方程，即可求解.
【详解】设南面有人，则，解得.
故选：B.
4．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称B．函数在上单调递增
C．函数在上无零点D．函数的图象关于直线对称
【答案】C
【分析】先对函数化简，得，由函数，均为奇函数，所以可判断函数的对称性，进而可判别断A，D，对于B，取特殊值即可判断；对于C，由，可得，，从而可判断
【详解】依题意，，易知，均为奇函数，图象关于原点对称，故函数的图象关于对称，故A、D错误；
易知，故B错误；
当时，，，即，即函数在上无零点．
故选：C
5．直线与圆相交于，两点（其中，是实数），且是直角三角形（是坐标原点），则点与点之间距离的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得圆心到直线的距离等于，化简可得，故点在椭圆
上，可得当点的坐标为时，点与点之间距离最小．
【详解】解：由题意可得是等腰直角三角，且斜边的长等于1．
故圆心到直线的距离等于，，
化简可得，即．
故点在椭圆 上．
故点与点之间距离的最小值为点与点之间的距离，其值等于，
故选：．
【点睛】此题考查学生灵活点到直线的距离公式化简求值，综合运用所学的知识求动点形成的轨迹方程，属于中档题．
6．若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出导数，由题意得在上恒成立，由分离参数思想可得结果.
【详解】由得，
由于函数在区间内单调递减，
即在上恒成立，即，
即得在恒成立，所以，
故选：D.
7．已知，，则等于
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据余弦的半角公式化简、运算，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，可知，则，
又由半角公式可得，故选B．
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟练应用余弦函数的半角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
8．已知各项均为正数的等比数列的公比为，数列共6项，和为63，前3项和与后3项和的积为392，则（ ）．
A．B．2C．D．2或
【答案】B
【分析】设数列前3项和为A，后3项和为B，由题可得A，B，后可得答案.
【详解】设数列前3项和为A，后3项和为B，
则，解得，或，
又各项均为正数，且，则，得，，
即，，
两式相除得，则．
故选：B．
二、多选题
9．如图所示，是圆锥底面圆的一条直径，点在底面圆周上运动（异于两点），以下说法正确的是（ ）
A．恒为定值
B．三棱锥的体积存在最大值
C．圆锥的侧面积大于底面圆的面积
D．的面积大于的面积
【答案】ABC
【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，用表示的三角函数值，三棱锥的体积，圆锥的侧面积和底面积，和的面积，再进行判断即可
【详解】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
对于A，为定值，所以A正确，
对于B，设为到平面的距离，则，因为，所以当平面时，有最大值，则三棱锥体积的最大值为，所以B正确，
对于C，圆锥的侧面积为，底面积为，因为，所以，所以C正确，
对于D，因为，与的大小无法比较，所以D错误，
故选：ABC
10．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
11．已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数可能的取值有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】作出函数的图象，结合图象可知关于的一元二次方程根的分布，根据一元二次根的分布列出不等式求解即可.
【详解】作出函数的图象如下，
因为关于的方程有5个不同的实根，
所以关于的一元二次方程有两个不同的根且满足，，
令, 则的两根满足，
令，
则，即，
解得
故选：BC
12．某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C，D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览景点的个数，下列说法正确的是（ ）
A．该游客至多游览一个景点的概率为
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据题设确定随机变量X的可能取值，结合各选项的描述，结合对立、互斥事件概率及独立事件乘法公式求出对应，即可判断A、B、C，最后应用随机变量期望公式求判断D.
【详解】由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，
A：游客至多游览一个景点，即游览0个或1个景点，即或，
，，游客至多游览1个景点概率为，正确；
B： ，正确；
C：，错误；
D：，所以，正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．已知O为的外心，若，且，则 .
【答案】
【分析】由平面向量数量积公式进行求解.
【详解】由圆的性质可得，，
故.
故答案为：
14．若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，对角线长为9，则该棱台的高为 ．
【答案】3
【分析】利用正四棱台的对角面为等腰梯形，再根据条件即可求出结果.
【详解】由题意，得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上底长为5，下底长为7，对角线长为9，则高为=3.
故答案为：3.
15．已知圆，以点为中点的弦所在的直线的方程是 ．
【答案】
【分析】设，利用以为中点的弦所在的直线即为经过点且垂直于AC的直线求得直线斜率，由点斜式可求得直线方程
【详解】圆的方程可化为，可知圆心为．
设，则以为中点的弦所在的直线即为经过点且垂直于的直线．又知，所以，所以直线的方程为，即．
故答案为：
【点睛】本题考查圆的几何性质，考查直线方程求解，是基础题
16．设，则 .
【答案】0
【分析】由已知求得，，，，由三角函数的特征求得函数的周期为4，由此可求得答案.
【详解】解：因为，所以，，
，
，
又函数的周期为，
所以，
故答案为：0.
四、解答题
17．中，角，，的对边分别为，，，面积满足.
（1）求；
（2）若，且，求的长.
【答案】（1）（2）
【分析】(1)根据余弦定理与三角形面积公式化简可得,再结合可构造关于的二次方程,再求解即可.
(2) 结合正、余弦定理化简即可得,再代入余弦定理求解即可
【详解】（1）由,又,
于是,
即,
结合,可得,
解得或（舍去）,故.
（2）由结合正、余弦定理,可得,即,
解得,又,所以.
由,得,解得.
【点睛】本题主要考查了正余弦定理以及同角三角函数的关系在解三角形中的运用,属于中档题.
18．已知数列是首项为1，公差为1的等差数列．
(1)求：
(2)若求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由于数列是首项为1，公差为1，则可求得，即得；
（2）按照裂项求和求即可.
【详解】（1）解：∵是首项为1，公差为1的等差数列，
则，
可得．
（2）解：∵，
时，，
∴
．
19．某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频率分布表

（Ⅰ）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
（Ⅱ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：

估计哪个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
【答案】（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
【详解】试题分析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.（II）由直方图得的估计值为,的估计值为,所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
试题解析：（Ⅰ）
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.
（Ⅱ）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
记 表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”；表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”.
由直方图得的估计值为,
的估计值为,
所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
【解析】本题主要考查频率分布直方图及概率估计.
20．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面平面，，，为上的点，.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）先由面面垂直的性质，得到平面，推出，根据题中条件，得到，利用线面垂直的判定定理，得到平面；得出，再次利用线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；
（2）过点作交于，根据题中条件，求出，设到平面的距离为，再利用等体积法，由，即可求出结果.
【详解】（1）证明：在正方形中，有，
∵平面平面，且平面平面，
∴平面，
因为平面，所以；
∵，，，所以，
∴，即，
又，平面，平面，∴平面；
因为平面，所以；
又，，平面，平面，
∴平面；
（2）解：过点作交于，
∵平面平面，平面平面，
∴平面，则，
设到平面的距离为，
由，得.
∴.
即点到平面的距离为.
【点睛】方法点睛：
求解空间中点到面的距离的常用方法：
（1）等体积法：先设所求点到面的距离，根据几何体中的垂直关系，由同一几何体的不同的侧面（或底面）当作底，利用体积公式列出方程，即可求解；
（2）空间向量法：先建立适当的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及平面的一条斜线所对应的向量，则点到面的距离即为.
21．（1）已知直线l过点，它的一个方向向量为．
①求直线l的方程；
②一组直线，，，，，都与直线l平行，它们到直线l的距离依次为d，，，，，（），且直线恰好经过原点，试用n表示d的关系式，并求出直线的方程（用n、i表示）；
（2）在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线，，，，的直线簇，使它同时满足以下三个条件：①点；②，其中是直线的斜率，和分别为直线在x轴和y轴上的截距；③.
【答案】（1）①；②，；（2）不存在.
【分析】（1）根据直线的方向向量可得直线的斜率,结合点斜式即可求得直线方程;根据直线平行且过原点,可得直线的方程,由平行线间距离公式可得n与d的关系式,设出直线的方程,根据点到直线距离公式可求得直线方程.
（2）假设存在这样的直线簇.先求得,的表达式,进而表示出.通过迭加法求得,即可证明当时,与不能成立.
【详解】（1）①直线l方向向量为
所以直线的斜率为
直线l过点,由点斜式方程可得
即直线l的方程为：；
②直线且经过原点,
直线的方程为：
由题意知直线到l的距离为,根据平行线间距离公式可得
则
设直线的方程为：
由题意知：直线到直线l的距离为,
所以直线的方程为：；
（2）假设存在满足题意的直线簇．由①知的方程为：,,
分别令,得,,
由,即,,
迭加得．
由③知所有的同号,仅讨论的情形,
由,
所以
显然,当时,与矛盾！
故满足题意的直线簇不存在．
【点睛】本题考查了直线的方向向量与点斜式方程,点到直线距离公式的应用,直线方程的新定义应用,正确理解题目所给条件是关键,属于难题.
22．已知函数，，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）用表示，中的较大者，记函数．若函数在内恰有2个零点，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）
【分析】（Ⅰ）根据垂直关系，利用求得；（Ⅱ）求导后，分别在和两个范围内判断导函数的正负，根据导函数的符号确定原函数的单调区间；（Ⅲ）首先确定在内单调递减；当时，由于，根据定义可知此时无零点；当时，则为零点，反之则不是零点，由此可得两种情况下的范围；当时，结合单调性和零点存在定理可判断出时，有一个零点.此时综合为零点时的范围，即可得到所求结果.
【详解】（Ⅰ）
由题意得：，解得：
（Ⅱ）由（1）知，
①当时，
函数在内单调递增
②当时，令，解得：或
当或时，，则单调递增
当时，，则单调递减
函数的单调递增区间为和；单调递减区间为
（Ⅲ）函数的定义域为，
在内单调递减
⑴当时，
依题意，，则函数无零点；
⑵当时，，
①若，即，则是函数的一个零点；
②若，即，则不是函数的零点；
⑶当时，，只需考虑函数在内零点的情况
①当时，，函数在内单调递增
又
（i）当时，，函数在内无零点；
（ii）当时，
又
此时函数在内恰有一个零点；
②当时，由（Ⅱ）知，函数在内单调递减，在内单调递增
，
此时函数在内恰有一个零点
综合⑴⑵⑶可知，当时，在内恰有个零点
【点睛】本题考查导数几何意义的应用、利用导数讨论含参数函数的单调性问题、根据函数零点个数求解参数范围的问题.本题的难点在于通过零点个数确定参数范围上，首先需要通过函数的定义将问题转变为对零点个数的讨论上，进而在每一段区间中去分别讨论无零点和有零点两种情况所需的条件，从而锁定参数的取值范围，属于难题.
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